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15.3　分式方程
第1课时
学习目标
1.理解分式方程的意义，了解解分式方程的基本思路和方法，理解分式方程可能无解的原因，会解分式方程.(重、难点)
2.经历“实际问题—分式方程—整式方程”的过程，发展分析问题、解决问题的能力，感悟数学的转化思想，培养应用意识.(重、难点)
自主学习
学习任务一　课前热身
一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km所用的时间与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等，江水的流速为多少？
分析：设江水的流速是v km/h.
填空：(1)轮船顺流航行速度为　　　　km/h，逆流航行速度为　　　　km/h；
(2)顺流航行90 km所用时间为　　　　h；
(3)逆流航行60 km所用时间为　　　　h；
(4)根据题意可列方程为　　　　　　　　.
学习任务二　探究分式方程
1.(1)方程＝的特征：　　　　　　　.
(2)分式方程的定义：　　　　　　　　　　　　.
2.(1)方程x+(x+1)＝是不是分式方程？
(2)如何区分分式方程和整式方程？
3.在方程①＝8+，②＝x，③＝，④x-＝0中，是分式方程的有(　　)
A.①和② B.②和③
C.③和④ D.①和④
学习任务三　探究分式方程的解法
1.解方程：-＝1.
2.解方程：＝.
3.解方程：＝.
4.增根的定义：　　 　　.
产生增根的原因：　　　 　.
5.你能结合解法，归纳出解分式方程的基本步骤吗？
学习任务四　解分式方程
1.解方程：＝.
2.解方程：-1＝.
合作探究
小组合作探究问题：
解分式方程需要注意的问题.
当堂达标
1.下面是分式方程的是(　　)
A.+ B.＝
C.x+5＝(x-6) D.+＝1
2.分式方程＝1的解是(　　)
A.x＝1 B.x＝-1 C.x＝2 D.x＝-2
3.甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是(　　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
4.关于x的方程＝的根是x＝2，则a的值为(　　)
A.1 B.3 C.-2 D.-3
5.分式方程+＝的解是(　　)
A.无解 B.x＝2
C.x＝-2 D.x＝2或x＝-2
6.若关于x的分式方程+3＝有增根，则增根为(　　)
A.x＝1 B.x＝-1
C.x＝3 D.x＝-3
7.若关于x的分式方程+＝1的解为正数，则a的取值范围是　　　　.
8.解分式方程.
(1)-＝；
(2)+3＝；
(3)＝.
反思感悟
我的收获：
　　 　　
　　 　　
我的易错点：
　　 　　
　　 　　
参考答案
当堂达标
1.D　2.B　3.D　4.C　5.B　6.A
7.a<5且a≠3　解析：去分母得1-(a-2)＝x-2，
整理得x＝5-a.
因为分式方程的解为正数，
所以5-a>0，解得a<5.
又因为x≠2，所以5-a≠2，即a≠3.
所以a的取值范围是a<5且a≠3.
8.解：(1)方程变形为+＝.
两边同时乘(x2-9)，得x-3+2x+6＝12，
解得x＝3，经检验x＝3是原方程的增根，
故原方程无解.
(2)原方程去分母，得2+3(x-2)＝-(1-x)，
解得x＝.
经检验x＝是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为x＝.
(3)方程两边乘x(x2-1)，得5x-2＝3x，解得x＝1，
经检验x＝1是原方程的增根，故原方程无解.
15.3　分式方程
第2课时
学习目标
1.会分析题意，找出等量关系，会列出分式方程解简单应用题.(重、难点)
2.知道检验时既要检验整式方程的根是不是所列分式方程的根，还要检验分式方程的根是不是符合题意.(重、难点)
3.在列分式方程解应用题的过程中，感悟方程思想，同时培养分析问题和解决问题的能力.(难点)
自主学习
学习任务一　复习回顾
1.解分式方程的一般步骤是什么？
(1)　 　　　.
(2)　　 　　.
(3)　　 　　.
2.解方程：
(1)+＝1；(2)＝2×.
学习任务二　探究列分式方程解决实际问题
两个工程队共同参与一项修路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？
1.分析：甲队1个月完成总工程的，设乙队单独施工1个月能完成总工程的，那么甲队半个月完成总工程的　　　　，乙队半个月完成总工程的　　　　 ，两队半个月完成总工程的　　　　　　　　　.题目中的等量关系为　　 　　.
列方程的关键是　　 　　.
2.写出解题过程.
学习任务三　再探究列分式方程解决实际问题
某列车平均提速v km/h，用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，求提速前列车的平均速度.
1.分析：这里的字母v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km/h，那么提速前列车行驶s km所用时间为　　　　h，提速后列车的平均速度为　　　　km/h，提速后列车行驶(s+50)km所用时间为　　　　h.根据“用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km”可列方程求解.
2.写出解题过程.
合作探究
小组合作探究下列问题.
列分式方程解应用题的一般步骤：
(1)　　　 　.
(2)　　 　　.
(3)　　 　　.
(4)　　 　　.
(5)　　 　　.
(6)　 　　　.
当堂达标
1.若5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率.设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是(　　)
A.-＝45 B.-＝45
C.-＝45 D.-＝45
2.斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图1，某路口的斑马线路段A-B-C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍，求小明通过AB时的速度.设小明通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程得　　　　.
图1
3.小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球，他们两家到体育公园的距离分别是1 200米、3 000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍.若两人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度.
4.在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3 600 m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600 m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天.
(1)求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；
(2)若甲队每天绿化费用为1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应按排乙工程队绿化多少天？
5.为了更进一步优化环境，甲、乙两工程队承担整治河道任务.甲、乙两个工程队每天共整治河道1 500米，且甲工程队整治3 600米河道用的时间与乙工程队整治2 400米河道用的时间相等.求甲工程队每天能整治河道多少米？
反思感悟
我的收获：
　　 　　
　　 　　
我的易错点：
　　 　　
　　 　　
参考答案
当堂达标
1.A　2.+＝11
3.解：设小明的速度为x米/分，则小刚的速度为3x米/分，根据题意，得-4＝，解得x＝50.
经检验，得x＝50是分式方程的解且符合题意.
所以3x＝150.
答：小明的速度为50米/分，小刚的速度为150米/分.
4.解：(1)设乙队每天能完成的绿化面积为x m2，则甲队每天能完成的绿化面积为2x m2，
根据题意，得-＝6，解得x＝50.
经检验，x＝50是原方程的解且符合题意，
所以2x＝100.
答：甲队每天能完成的绿化面积为100 m2，乙队每天能完成的绿化面积为50 m2.
(2)设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务.由题意得100a+50b＝
3 600，则a＝＝-b+36.根据题意，得1.2×+0.5b≤40，解得b≥32.
答：至少应安排乙工程队绿化32天.
5.解：设甲工程队每天能整治河道x米，则乙工程队每天能整治河道(1 500-x)米，根据题意，得
＝，解得x＝900.
经检验x＝900是原方程的根且符合题意.
所以1 500-x＝600.
答：甲工程队每天能整治河道900米，乙工程队每天能整治河道600米.

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