资源简介

15.2　分式的运算
15.2.1　分式的乘除
第1课时
学习目标
1.理解并掌握分式的乘除法法则，能进行简单的分式乘除法运算，能解决一些与分式乘除有关的实际问题.(重点)
2.经历从分数的乘除法运算到分式的乘除法运算的过程，培养学生类比的探究能力，加深从特殊到一般的数学思想认识.(难点)
3.感悟类比转化的思想，培养主动探究、合作交流的能力，在学知识的同时感受探索的乐趣和成功的喜悦.
自主学习
学习任务一　课前热身
1.一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的时，水面的高度为多少？
2.大拖拉机m天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？
学习任务二　探究分式的乘除法法则
1.计算：(1)×；(2)÷.
2.类比分数的乘除法法则完成下面表格内容的填写：
乘法法则 除法法则
分数
分式
符号表示
学习任务三　分式乘除法法则的运用
1.计算：
(1)·；
(2)÷.
2.计算：
(1)·；
(2)÷.
合作探究
小组合作探究下列问题：
如图1所示，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m(a>1)的正方形减去一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1) m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg.
　　　
图1
(1)哪种小麦的单位产量高？
(2)较高的单位面积产量是较低的单位面积产量的多少倍？
当堂达标
1.下列分式运算中，结果正确的是(　　)
A.·＝ B.÷＝
C.·＝ D.＝x-y
2.下列各式计算正确的是(　　)
A.6x2y·＝x B.6x2y·＝4x
C.6x2y·＝ D.6x2y·＝4xy2
3.计算·的结果为(　　)
A. B.
C. D.1
4.在等式＝中，M的值为(　　)
A.a B.a+1 C.-a D.a2-1
5.小马虎在下面的计算题中只做对了一道题，你认为他做对的题目是(　　)
A.×＝ B.÷＝-
C.÷＝1 D.(x-y)2×＝1
6.计算÷的结果是(　　)
A.a B.-a C. D.
7.计算：·＝　　　　.
8.化简：·.
反思感悟
我的收获：
　　 　　
　　 　　
我的易错点：
　　 　　
　　 　　
参考答案
当堂达标
1.A　2.D　3.A　4.A　5.D　6.B
7.
8.解：·
＝·
＝.
15.2.1　分式的乘除
第2课时
学习目标
1.能应用分式的乘除法法则进行混合运算.(重点)
2.明确分式的乘方的意义及其运算法则.
3.能灵活运用分式的乘除法法则、乘方法则进行分式的混合运算.(重、难点)
自主学习
学习任务一　复习回顾
1.(1)分式的乘法法则：　 　　　；
(2)分式的除法法则：　　 　　　.
2.计算：
(1)·；(2)3xy2÷.
3.计算：÷·.
学习任务二　探究分式的乘方法则
1.＝　　　　 ，＝　　　　，＝　　　　，＝　　　　.
2.写出你发现的规律：　 　　　.
3.分式的乘方法则：　　 　　.
学习任务三　分式乘方法则的运用
计算：(1)；(2)÷·.
合作探究
小组合作探究下列问题：
1.计算：÷(x+2)2·.
2.在进行分式的乘除运算和乘方运算时需要注意什么问题？
当堂达标
1.下列运算正确的是(　　)
A.2a+3b＝5ab B.(-ab)2＝a2b
C.a2·a4＝a8 D.＝2a3
2.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简.过程如图1所示：
图1
接力中，自己负责的一步出现错误的是(　　)
A.只有乙 B.甲和丁
C.乙和丙 D.乙和丁
3.计算·÷得(　　)
A.x5 B.x3y C.y5 D.x15
4.如果÷＝3，那么a8b4等于(　　)
A.6 B.9 C.12 D.81
5.计算：
(1)·；(2)；
(3)÷；(4)·÷.
6.已知|x-4|+(y-9)2＝0，试求· ÷的值.
课后提升
7.计算：(1)·÷；
(2)÷(a2-4)·.
反思感悟
我的收获：
　　 　　
　　 　　
我的易错点：
　　 　　
　　 　　
参考答案
当堂达标
1.D　2.D　3.B
4.B　解析：因为÷＝·＝a4b2，
所以a4b2＝3，所以a8b4＝(a4b2)2＝32＝9.
5.(1)-；(2)-；(3)-；(4)-
6.解：∵ |x-4|+(y-9)2＝0，∴ x＝4，y＝9.
·÷
＝··＝.
当x＝4，y＝9时，原式＝＝＝.
课后提升
7.解：(1)·÷
＝··
＝3(x+3)＝3x+9.
(2)÷(a2-4)·
＝··
＝.
15.2.2　分式的加减
第1课时
学习目标
1.类比同分母分数的加减，熟练掌握同分母分式的加减.(重、难点)
2.类比异分母分数的加减及通分，熟练掌握异分母分式的加减及通分.(重、难点)
3.在分式的加减运算中，体验知识的转化联系和思维灵活性，培养整体思考和分析问题的能力.(难点)
自主学习
学习任务一　课前热身
1.甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
分析：甲工程队一天完成这项工程的　　　　，乙工程队一天完成这项工程的　　　　，则两队共同工作一天完成这项工程的　　　　.
2.2009年、2010年、2011年某地的森林面积(单位：km2)分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？
分析：2011年的森林面积增长率是　　　　，2010年的森林面积增长率是　　　　，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了　　　　.
学习任务二　探究分式的加减法法则
1.计算：+＝　　　　；-＝　　　　；
+＝　　　　；-＝　　　　.
2.类比分数的加减法法则完成下面表格内容的填写：
同分母加减法法则 异分母加减法法则
分数
分式
符号表示
学习任务三　分式加减法法则的运用
1.计算：(1)-；
(2)+.
2.计算：a+2-.
合作探究
小组合作探究下列问题：
小组讨论总结异分母分式加减法的步骤.
当堂达标
1.计算+的结果等于(　　)
A.2 B.2a+2 C.1 D.
2.计算+，结果正确的是(　　)
A.1 B. C.a D.
3.化简-的结果为(　　)
A. B.a-1 C.a D.1
4.填空：
(1)化简：-a＝　　　　.
(2)化简-的结果是　　　　.
(3)计算：+＝　　　　.
5.计算：
(1)-；
(2)-.
6.计算：(1)+-；
(2)--.
7.计算：(1)--；
(2)-a-1.
8.(选做题)已知f (x)＝，则 f (1)＝＝＝1-，f (2)＝
＝＝-，….若f (1)+f (2)+f (3)+…+f (n)＝，求n的值.
反思感悟
我的收获：
　　 　　
　　 　　
我的易错点：
　　 　　
　　 　　
参考答案
当堂达标
1.A　2.A　3.B　4.(1)a-4　(2)　(3)x+1
5.(1)；(2).
6.(1)；(2).
7.(1)；(2).
8.解：∵ f (x)＝＝-，
∴ f (1)+f (2)+f (3)+…+f (n)
＝1-+-+-+…+-
＝1-＝.
∵ f (1)+f (2)+f (3)+…+f (n)＝，
∴ ＝，∴ n＝14.
15.2.2　分式的加减
第2课时
学习目标
1.类比分数的混合运算，能熟练进行分式的加减、乘除、乘方混合运算.(重、难点)
2.能够利用分式的加减、乘除、乘方法则来解决分式混合运算的实际问题.(重、难点)
3.培养观察、类比、推理的能力.在对分式的运算中，培养分析问题的能力，提高思维的整体性、灵活性和化归能力.(难点)
自主学习
学习任务一　回顾复习
1.分式的约分：　 　　　.
2.分式的通分：　　　 　.
3.分式的乘除法法则：①　 　　　；
②　　 　　.
4.分式的乘方法则：　　 　　.
5.分式的加减法法则：①　　 　　；
②　　 　　.
6.小学所学的分数的混合运算的顺序：　　 　　.
学习任务二　探究分式的混合运算的顺序
1.大胆猜想分式的混合运算的顺序与分数的混合运算的顺序是否相同：　　　　.
2.类比分数混合运算的顺序，猜想写出分式的混合运算的顺序：先算　　　　，再算　　　　，最后算　　　　.有括号时，按照先去　　　　，再去　　　　，最后去　　　　的顺序，先做括号内的运算，再做括号外的运算.
学习任务三　分式混合运算
1.计算：·-÷.
2.计算：(1)·；
(2)÷.
合作探究
小组合作探究下列问题：
1.计算：÷.
2.请同学们归纳讨论进行分式的混合运算时需要注意的问题.
当堂达标
1.化简÷的结果为(　　)
A. B.
C. D.
2.已知x+＝6，则x2+＝(　　)
A.38 B.36 C.34 D.32
3.若x+y＝-4，xy＝-12，则+的值为(　　)
A. B. C.3 D.-
4.化简：当a＝2 018时，代数式÷ 的值是　　　　.
5.化简：÷.
6.化简，再求值：÷，其中a＝1.
课后提升
7.计算：÷.
反思感悟
我的收获：
　　 　　
　　 　　
我的易错点：
　　 　　
　　 　　
参考答案
当堂达标
1.A　2.C　3.B　4.2 019
5.解：原式＝÷
＝×＝x+1.
6.解：原式＝×
＝×
＝×＝.
当a＝1时，原式＝＝.
课后提升
7.解：原式＝÷
＝·
＝·＝.
15.2.3　整数指数幂
第1课时
学习目标
1.理解负整数指数幂的意义，熟练运用整数指数幂的运算性质进行运算.(重、难点)
2.通过观察、推理、总结得出负整数指数幂的意义，体验利用负整数指数幂进行乘除法的转化.(重点)
3.通过独立思考、同伴交流，自主发现问题、解决问题，从而提高学习兴趣和学习主动性.
自主学习
学习任务一　复习回顾扎实基础
1.用公式表达正整数指数幂的运算性质：
(1)同底数幂的乘法：　 　　　.
(2)幂的乘方：　　 　　.
(3)积的乘方：　　 　　.
(4)同底数幂的除法：　　 　　.
(5)分式的乘方：　　 　　.
(6)a0＝　　　　 　　　　.
2.根据上述性质，计算下列各题：
(1)·；(2)(-32)2；(3)；
(4)÷.
学习任务二　探究整数指数幂的意义
1.计算：(1)25÷27；(2)a4÷a7(a≠0)；(3)am÷am+2 (a≠0，m是正整数).
2.负整数指数幂的意义：　 　　　.
3.(a≠0，m是正整数)
学习任务三　探究整数指数幂的运算性质
1.(1)a3·a-5＝a3+(-5)，a3·a-5＝a3·＝＝＝a-2＝a3+(-5).
仿照(1)式完成下列各式：
(2)(a-3)2＝　　　　，(a-3)2＝　　　　.
(3)(ab)-3＝　　　　，(ab)-3＝　　　　.
(4)a-3÷a-5＝　　　　，a-3÷a-5＝　　　　.
(5)＝　　　　，＝　　　　.
2.根据正整数指数幂的运算性质，写出整数指数幂的运算性质：
(1)　　　　；(2)　　　　；(3)　　　　；
(4)　　　　；(5)　　　　.
学习任务四　整数指数幂的性质应用
计算：(1)a-2÷a5；(2)；(3)(a-1b2)3；
(4)a-2b2·(a2b-2)-3.
合作探究
小组合作探究下列问题：
1.(1)计算：+|-2|+÷＝　　　　；
(2)计算：(-1)0+＝　　　　.
2.学生合作交流，整数指数幂的5条性质能否归结为3条？
当堂达标
1.下列各式计算正确的是(　　)
A.(-1)0＝-1 B.(-1)-1＝1
C.3a-2＝ D.(-x)5÷(-x)-3＝x2
2.下列计算：①(-3)0＝1；②＝1；③2-1＝；④(-x)-5÷(-x)-3＝.其中正确的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.若x＝-3-2，y＝，z＝，则有(　　)
A.x4.已知ab≠0，则a-1+b-1等于(　　)
A.a+b B. C. D.
5.(1)计算：(π-1)0＝　　　　；
(2)计算：-()0 ＝　　　　；
(3)计算：(2ab-2)2b5＝　　　　；
(4)计算：(-a5)4÷a12＝　　　　.
6.计算：
(1)(x3y-2)2；(2)x2y-2·(x-2y)3；
(3)(3x2y-2)2÷(x-2y)3；
(4) 6|-+(1-)0- (-3)；
(5) (π-3.14)0-+-.
7.若a+a-1＝3，则a2+a-2等于多少？
反思感悟
我的收获：
　　 　　
　　 　　
我的易错点：
　　 　　
　　 　　
参考答案
当堂达标
1.C　2.C　3.D　4.D
5.(1)1　(2)+1　(3)4a2b　(4)a8
6.解：(1)　(2)　(3)
(4)|-6|-+(1-)0-(-3)
＝6-3+1+3＝7.
(5)(π-3.14)0-+-
＝1-4+3-＝-.
7.解：∵ a+a-1＝3，∴ a+＝3，
∴ ＝9，∴ a2+2+＝9，
∴ a2+＝7，即a2+a-2＝7.
15.2.3　整数指数幂
第2课时
学习目标
1.理解和掌握绝对值小于1的数用科学记数法表示的方法.(重点)
2.经历绝对值小于1的数用科学记数法表示的探究过程，体会负整数指数幂的应用.(重、难点)
3.培养观察、迁移、交流的意识，形成良好的学习态度，感悟演绎推理在数学学习过程中的价值.
自主学习
学习任务一　复习回顾
1.科学记数法：　　　　.
2.2019年4月10日，人类首张黑洞照片面世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球约 5 500万光年，数据5 500万用科学记数法表示为　　　　.
3.请用科学记数法表示下列各数.
(1)地球上的海洋面积约为361 000 000平方千米；
(2)木星的赤道半径约为71 400 000米.
学习任务二　探究引入负整数指数后的科学记数法
1.填空：
10-1＝0.1，
10-2＝　　　　，
10-3＝　　　　，
10-4＝　　　　，
10-5＝　　　　，
归纳：10-n＝　　　　.
2.尝试：0.000 01＝1×　　　　，
0.000 025 7＝2.57×　　　　，
-0.001 02＝-1.02×　　　　.
3.认真观察，小数点后第一个非0数字前0的个数与10的负指数-n(n为正整数)是什么关系？
　　　 　
4.引入负整数指数后，怎样概括新的科学记数法？
　　 　　
学习任务三　科学记数法的应用
1.纳米(nm)是非常小的长度单位，1 nm＝10-9 m，把1 nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上. 1 mm3的空间可以放多少个1 nm3的物体(物体之间的间隙忽略不计) ？
2.计算：
(1)(3×10-3)×(1.2×102)；
(2)(5×10-2)3÷(4×10-3)-2.
合作探究
小组合作探究下列问题：
科学记数法a×10-n中的n等于什么？
当堂达标
1.肥皂泡的泡壁厚度大约是0.000 7 mm，将0.000 7用科学记数法表示为(　　)
A.0.7×10-3 B.7×10-3
C.7×10-4 D.7×10-5
2.某种计算机完成一次基本运算时间为1纳秒(ns)，已知1纳秒＝0.000 000 001秒，该计算机完成15次基本运算所用时间用科学记数法表示为(　　)
A.1.5×10-9秒 B.15×10-9秒
C.1.5×10-8秒 D.15×10-8秒
3.一次抽奖活动中特等奖的中奖率为，把用科学记数法表示为(　　)
A.5×104 B.5×10-5
C.2×10-4 D.2×10-5
4.已知一个正方体的棱长为2×10-2米，则这个正方体的体积为(　　)
A.6×10-6立方米 B.8×10-6立方米
C.2×10-6立方米 D.8×106立方米
5.用科学记数法填空：
(1)1秒是1微秒的1 000 000倍，则1微秒＝　　　　秒；
(2)1毫克＝　　　　千克；
(3)1微米＝　　　　米；
(4)1纳米＝　　　　微米；
(5)1平方厘米＝　　　　平方米；
(6)1毫升＝　　　　立方米；
(7)氢原子的半径约为0.000 000 000 05 m，用科学记数法把0.000 000 000 05表示为　　　　.
6.用科学记数法表示下列各数：
(1)-0.000 60；(2)0.000 072 83(精确到0.000 001)；
(3)0.006 18；(4)-0.002 58(精确到万分位).
7.下列用科学记数法表示的数的原数是多少？
(1)3×10-4；(2)-1.08×10-7；
(3)-4.1×10-5；(4)3.05×10-3.
8.计算：
(1)(3×10-6)×(4×103)；
(2)(2×10-3)2÷(10-3)3；
(3)(2×10-6)×(3.2×103)；
(4)(2×10-6)2÷(10-4)3.
9.地球的体积约为1.1×1012立方千米，月球的体积约为2.2×1010立方千米，地球体积是月球体积的多少倍？
反思感悟
我的收获：
　　 　　
　　 　　
我的易错点：
　　 　　
　　 　　
参考答案
当堂达标
1.C　2.C　3.D　4.B
5.(1)10-6　(2)10-6　(3)10-6　(4)10-3
(5)10-4　(6)10-6　(7)5×10-11
6.(1)-6.0×10-4　(2)7.3×10-5　(3)6.18×10-3　(4)-2.6×10-3
7.(1)0.000 3　(2)-0.000 000 108　(3)-0.000 041
(4)0.003 05
8.(1)1.2×10-2　(2)4×103　(3)6.4×10-3　(4)4
9. 50倍.

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