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第十五章　分　式
15.1　分　式
15.1.1　从分数到分式
学习目标
1.了解分式的概念，能确定分式有意义的条件，能确定使分式的值为0的条件.(重、难点)
2.通过解决实际问题，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式.(重点)
3.体会类比等数学思想或方法，获得代数学习的成功经验.(难点)
自主学习
学习任务一　探究列关系式
1.一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km所用的时间与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，求水的流速.(只列方程)
2.(1)长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，宽应为　　　　cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为　　　　.
(2)把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形容器中，水面高度为
　　　　cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度为　　　　.
学习任务二　探究整式与分式的区别
1.小组讨论
(1)式子，以及问题1中的式子，是整式吗？
(2)式子，以及问题1中的式子，有什么共同点？
(3)它们与分数有什么不同？
(4)，，，都是分数吗？
2.分式的定义：　　　　.
3.下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
5x-7，3x2-1，，，-5，，，，.
4.整式与分式的区别：　　　　.
学习任务三　探究分式有意义的条件
1.要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？
2.下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
(1)；(2)；(3)；(4)；
(5)；(6)；(7).
合作探究
小组合作探究下列问题：
以下分式何时有意义？何时值为0？
(1)；(2).
当堂达标
1.式子①，②，③，④中，是分式的为(　　)
A.①② B.③④
C.①③ D.①②③④
2.若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是(　　)
A.x>-2 B.x<-2 C.x＝-2 D.x≠-2
3.若分式的值为0，则x的值是(　　)
A.3 B.-3 C.3或-3 D.0
4.下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是(　　)
A. B.
C. D.
5.下列各式的值可能为0的是(　　)
A. B.
C. D.
6.填空：
(1)当x　　　　时，分式有意义；
(2)若分式的值为0，则x的值为　　　　.
(3)代数式有意义时，x应满足的条件是　　　　.
(4)若分式有意义，则x的取值范围是　　　　.
7.解答：
(1)若分式无意义，求x的值.
(2)若分式的值为0，求x的值.
(3)当x为何值时，分式的值为负数？
反思感悟
我的收获：
　　 　　
　　 　　
我的易错点：
　　 　　
　　 　　
参考答案
当堂达标
1.C　2.D　3.A　4.D　5.B
6.(1)x≠　(2)-3　(3)x>8　(4)x≠
7.解：(1)x＝±4.(2)x＝1.
(3)分式的值为负数，说明分子、分母异号，本题中分子大于0，只要分母小于0即可，即x-2<0，解得x<2.
15.1.2　分式的基本性质
第1课时
学习目标
1.探索分式的基本性质，初步掌握类比的思想方法.(难点)
2.掌握分式的基本性质，并会利用基本性质化简分式.(重、难点)
3.掌握分式的分子、分母及分式本身的符号变化规律，会利用变号规律对分式进行变形.(重、难点)
自主学习
学习任务一　复习回顾
(1)分数的基本性质：　　　　.
(2)如果数c≠0，那么与相等吗？与相等吗？
(3)对于任意一个分数，如何来表达它的基本性质？
学习任务二　探究分式的基本性质
引例：有一列匀速行驶的火车，如果t h行驶s km，那么2t h行驶2s km，3t h行驶3s km，…，nt h行驶ns km，火车的速度可以分别表示为 km/h， km/h， km/h， …， km/h.
这些分式的值相等吗？
思考并回答：
(1)如果分式的分子和分母分别乘同一个不等于0的实数，所得到的分式和原分式仍相等吗？分别乘同一个不等于0的整式呢？
(2)猜想分式的基本性质：　　　　.
(3)你能用式子表示分式的基本性质吗？
(4)分式的基本性质中，分式的分子与分母乘(或除以)同一个不为0的整式，能否去掉“不为0”？为什么？
(5)对性质中的A，B，C有什么要求？
学习任务三　分式基本性质的运用
填空：
(1)＝，＝；
(2)＝，＝(b≠0).
合作探究
小组合作探究下列问题：
(1)不改变分式的值，使的分子、分母中的最高次项的符号为正.
(2)不改变分式的值，使下列两个分式的分子、分母的系数化为整数.
①；②.
当堂达标
1.下面各组中的分式相等吗？为什么？
(1)与；(2)与；
(3)与；(4)与-.
2.如果把分式中的x，y都扩大到原来的2倍，那么分式的值(　　)
A.不变 B.扩大到原来的2倍
C.缩小到原来的 D.缩小到原来的
3.分式可变形为(　　)
A. B.- C. D.-
4.下面的式子正确吗？为什么？
(1)＝；(2)＝.
5.在下面的括号内填上适当的整式，使等式成立.
(1)＝；(2)＝；
(3)＝.
6.不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“-”号.
(1)；
(2)；
(3).
7.不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中各项的系数化为整数.
(1)；
(2).
反思感悟
我的收获：
　　 　　
　　 　　
我的易错点：
　　 　　
　　 　　
参考答案
当堂达标
1.相等的有：(1)(2)(3)(4).理由略.
2.A
3.D　解析：＝-＝-.
4.(1)不正确；(2)不正确.都不符合分式的基本性质.
5.(1)16x3　(2)x-1　(3)ap
6.(1)-　(2)　(3)-
7.(1)　(2)
15.1.2　分式的基本性质
第2课时
学习目标
1.理解分式约分的意义，明确分式约分的理论依据.(重点)
2.能熟练进行分式约分，并能准确判别最简分式.(重、难点)
3.通过分式约分的过程，体验复杂与简洁，从而体验数学的简洁美.(重点)
自主学习
学习任务一　复习回顾
1.结合分式的基本性质进行判断：
(1)＝　(　　)；(2)＝　(　　)；
(3)＝　(　　).
2.因式分解：
(1)x2+xy；(2)4m2-n2；(3)a2+8a+16.
3.把下列分数化为最简分数或整数：
＝　　　　； ＝　　　　；＝　　　　.
学习任务二　探究约分
1.(1)仿照分数约分的方法，化简下面的分式：
①＝　　　　；②＝　　　　.
(2)依据是　　　　　　　　　　　　.
2.(1)分式的约分：　　 　　 　　.
分式约分的依据是　　 　　 　　.
(2)分式约分的关键是　　　 　　.
(3)总结找公因式的方法：①　　　　　　　　　　，②　　　　　　　　　　.
3.教师出示问题：
(1)观察上面得到的分式，，它们还能继续约分吗？
(2)最简分式：　　　　.
分式约分的结果：　　　　.
学习任务三　约分训练
约分：
(1)；(2)；(3).
合作探究
小组合作探究下列问题：
1.如何判断是不是最简分式？
2.化简求值：，其中x＝1，y＝-2.
当堂达标
1.下列分式中，最简分式是(　　)
A. B.
C. D.
2.下列约分正确的是(　　)
A.＝-1 B.＝0
C.＝ D.＝3
3.(1)化简：＝　　　　；
(2)分式化简的结果为　　　　.
4.当35.约分：
(1)； (2)；　　　(3)； (4).
6.若a＝2b≠0，求的值.
7.化简求值：若a＝，求的值.
8.(选做题)请将下面的代数式尽可能地化简，再选择一个你喜欢的数(要合适哦！)代入求值：2a-(a+1)+ .
反思感悟
我的收获：
　　 　　
　　 　　
我的易错点：
　　 　　
　　 　　
参考答案
当堂达标
1.A　2.A
3.(1)　(2)
4.0　解析：∵ 3∴ |x-3|＝x-3，|x-6|＝6-x.
+＝+＝1+(-1)＝0.
5.(1)　(2)　(3)　(4)
6.解：＝＝.
∵ a＝2b≠0，∴ 原式＝＝＝.
7.解：原式＝，将a＝代入得，原式＝-.
8.解：原式＝2a.把a＝2代入原式，得2×2＝4.(合理即可)
15.1.2　分式的基本性质
第3课时
学习目标
1.经历用类比、观察、联想的方法探索分式通分方法的过程，理解通分的意义、依据和方法.(重、难点)
2.能正确、熟练地运用分式的基本性质，对分式进行通分.(重、难点)
自主学习
学习任务一　复习回顾
1.把下列分式约分成最简分式：
(1)；(2)；(3).
2.观察：
(1)上面三个分式约分前有什么共同点？
(2)约分后所得分式还是同分母分式吗？
学习任务二　探究分式的通分
1.异分母分数，，是如何化成同分母分数的？
2.分数的通分：　　 　　.
关键是　　　　　　　　　　　　.
3.分式的通分与分数的通分类似之处：　　　　，
分式通分的根据是　　　　.
4.分式的通分：　　　　　　　　　　　　　.关键是　　　　　　　　　　　.
学习任务三　探究最简公分母
1.(1)，，的最简公分母是　　　　.
(2)分式，的最简公分母是　　　　.
2.指出下列各组分式的最简公分母：
(1)，，：　　　　.
(2)，，：　　　　.
3.确定最简公分母的一般方法：
(1)　 　　　.
(2)　　 　　.
学习任务四　通分训练
通分：(1)与；(2) 与.
合作探究
小组合作探究下列问题：
1.分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？
2.甲工程队完成一项工程需要n天，乙工程队要比甲工程队多3天才能完成这项工程，写出甲、乙两队每天完成的工作量的式子，如果两式的分母不同，请进行通分.
当堂达标
1.分式，，的最简公分母是　　　　.
2.下列三个分式，，的最简公分母是(　　)
A.4(m-n)x B.2(m-n)x2
C. D.4(m-n)x2
3.分式，，的最简公分母是(　　)
A.(x-1)2 B.(x-1)3
C.(x+1)(x-1)2 D.(x-1)2(x2-1)
4.下列说法中，错误的是(　　)
A.与通分后为，
B.与通分后为，
C.与的最简公分母为m2-n2
D.与的最简公分母为ab(x-y)(y-x)
5.判断下列通分是否正确：
通分：，.
解：∵ 最简公分母是6(a+b)2(a-b)，
∴ ＝，
＝.
6.填空：
(1)将，，通分后的结果是　　　　；
(2)分式与的最简公分母是　　　　.
7.通分：
(1)，，；
(2)，；
(3)，，.
8.(选做题)已知-＝3，求分式的值.
反思感悟
我的收获：
　　 　　
　　 　　
我的易错点：
　　 　　
　　 　　
参考答案
当堂达标
1.12a2b4c　2.D　3.C　4.D
5.解：不正确.
＝，
＝.
6.(1)，，　(2)m2-9
7.解：(1)最简公分母是18x3y2.
＝＝，
＝＝，
＝＝.
(2)最简公分母是(a+1)2(a-1).
＝＝，
＝＝
＝.
(3)最简公分母是xy2(a-b)2.
，，.
8.解：由-＝3，得＝3，∴ y-x＝3xy，∴ x-y＝-3xy.
∴ ＝
＝＝＝＝.

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