资源简介

4.3 角
4.3.1 角
学习目标
1.在现实情境中，认识角是一种基本的几何图形，理解角的概念，学会角的表示方法.(重点)
2.认识角的度量单位：度、分、秒，会进行简单的换算和角度计算.(重点，难点)
3.提高识图能力，学会用运动变化的观点看问题.
4.经历在现实情境中认识角的过程，感受图形世界的丰富多彩，增强审美意识，激发求知欲.
自主学习
学习任务一 角的概念、角的表示
1. 叫做角， 是角的顶点.角的两边是两条 ，角的大小与边的长短 (填“有关”或“无关”).
2.图1①中的角可表示为 ，也可以表示为 ，还可以表示为 ，图1②中的角可表示为 .
图1
3.如图2所示，图形中有 个角，它们可表示为 .能用∠O表示图中的角吗？为什么？
图2
学习任务二 平角，周角，角的单位度、分、秒及换算
1.角也可以看作由一条 绕着它的 旋转而形成的图形.如图3①所示，射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，形成 角，如图3②所示，OB和OA重合时，又形成 角.
图3
2.角的度量：
1周角＝ °，1平角 °，
1°＝ ′，1′＝ ″.
合作探究
1.表示一个角的方法有几种？
2.38°15′和38.15°相等吗？为什么？
当堂达标
1.如图4所示，下列表示角的方法，不正确的是( )
A.∠A B.∠E
C.∠α 　　　 　D.∠1
图4
2.下列说法中正确的有( )
①由两条射线组成的图形叫做角；②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关；③角的两边是两条射线；④把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角的度数也扩大10倍.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.在图5中，角的表示方法正确的有( )
① ②
③ ④
图5
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.若∠A＝20°18′，∠B＝20°15′30″，∠C＝20.25°，则( )
A.∠A>∠B>∠C B.∠B>∠A>∠C
C.∠A>∠C>∠B D.∠C>∠A>∠B
5. °＝ ′＝ ″；
6 000″＝ ′＝ °.
6.在钟表上，当1时30分时，时针与分针所成的角是( )
A.150° B.165°
C.135° D.120°
7.已知α，β是两个钝角，计算(α+β)的值.甲、乙、丙、丁四位同学算出了下列四种不同的答案，其中只有一个答案是正确的，则正确的答案是( )
A.86° B.76° C.48° D.24°
8.计算：
(1)53°28′+47°32′；(2)17°50′-3°27′；
(3)15°24′×5；(4)31°42′÷5(精确到1″).
课后提升
1.如图6所示，分别确定四个钟表上时针与分针所成角的度数.
图6
2.归纳与猜想：
(1)观察图形填空：图7中有 个角；图8中有 个角；图9中有 个角.
(2)根据第(1)题猜想：在一个角内引出(n-2)(n≥3)条射线可组成几个角？
图7 图8 图9
反思感悟
我的收获：
我的易错点：
参考答案
当堂达标
1.B 2. B
3. B 解析：因为平角是由处在同一直线上方向相反的两条射线构成的角，不能将直线和射线混为一谈，所以图①错误，图②正确；图③④中，点A为顶点，可表示为∠CAB.故题图中角的表示方法正确的有2个.故选B.
4.A 解析：因为∠A＝20°18′，∠B＝20°15′30″，∠C＝20.25°＝20°15′，所以∠A>∠B>∠C.故选A.
5.7.5 450 100
6. C 解析：当1时时，时针与分针的夹角为30°，当1时30分时，时针又走过了30分钟，时针每分钟走0.5°，共走过0.5°×30＝15°，分针共走过180°，即时针与分针的夹角是180°-30°-15°＝135°.故选C.
7. C
8.解：(1)101°；(2)14°23′；(3)77°；(4)6°20′24″.
课后提升
1.解：30°，0°，120°，90°.
2.(1)3 6 10 (2)
4.3.2 角的比较与运算
学习目标
1.在现实情境中，运用类比的方法，学会比较两个角的大小，丰富对角的大小关系的认识，会分析图中角的和差关系.(重点，难点)
2.通过动手操作，学会借助三角尺拼出不同度数的角，认识角的平分线及角的等分线，会画角的平分线.
3.进一步培养和提高识图能力和动手操作能力，体会类比的数学思想方法.
自主学习
学习任务一 比较角的大小、角的和差
1.类比线段长短的比较方法，如何比较两个角的大小呢？你有几种方法？在练习本上画两个角，比较它们的大小，两个角的大小关系有几种情况？
2.如图1所示，图中有几个角？它们之间有什么关系？
图1
学习任务二 角平分线、角的三等分线
1. 叫做这个角的平分线.
2.如图2所示，OB是∠AOC的平分线，则有 ＝ ＝ .
图2 图3
3.如图3所示，OB，OC是∠AOD的三等分线，
则有 ＝ ＝ ＝ .
合作探究
1.如何得到一个角的平分线？
图4
2.如图4所示，已知∠AOB，如何画出∠AOB的平分线呢？
当堂达标
1.按图5填空：
(1)∠AOM+∠AON＝ ；
(2)∠NOB+∠AOB＝ ；
(3)∠MON-∠NOB＝ ； 图5
(4)∠BOM-∠AOM＝ .
2.如图6所示，已知O是直线AB上一点，∠1＝40°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是( )
A.20° B.25° C.30° D.70°
图6 图7
3.如图7所示，已知∠BOC＝40°，OD平分∠AOC，∠AOD＝25°，那么∠AOB等于( )
A.65° B.50° C.40° D.90°
4.若∠AOB＝50°，∠BOC＝10°，则∠AOC的度数为( )
A.60° B.40° C.40°或60° D.50°
5.如图8所示，∠AOB是直角，∠AOC＝50°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线.
(1)求∠MON的度数.
(2)当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小也会发生改变吗？为什么？ 图8
课后提升
已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线.
(1)当点C，E，F在直线AB的同侧(如图9①所示)，∠AOC＝38°时，求∠BOE和∠COF的度数，∠BOE和∠COF有怎样的数量关系？
(2)当点C与点E，F在直线AB的两侧(如图9②所示)，∠AOC＝38°时，(1)中∠BOE和∠COF的数量关系的结论是否还成立？请给出你的结论并说明理由.
　　　　　
① ②
图9
反思感悟
我的收获：
我的易错点：
参考答案
当堂达标
1.(1)∠MON (2)∠NOA (3)∠MOB (4)∠AOB
2.D 3. D
4.C 解析：本题需要讨论射线OC的位置.
(1)当射线OC在∠AOB的内部时，∠AOC＝∠AOB-∠BOC＝50°-10°＝40°.
(2)当射线OC在∠AOB的外部时，∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝50°+10°＝60°.故选C.
5.解：(1)∠MON＝∠MOC-∠CON＝(∠BOC-∠AOC)＝∠AOB＝45°.
(2)当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小不会发生改变.理由同(1).
课后提升
解：(1)因为∠COE＝90°，∠AOC＝38°，
所以∠AOE＝∠COE+∠AOC＝90°+38°＝128°，
所以∠BOE＝180°-∠AOE＝∠180°-128°＝52°.
因为OF平分∠AOE，
所以∠AOF＝∠AOE＝×128°＝64°，
所以∠COF＝∠AOF-∠AOC＝64°-38°＝26°，
所以∠BOE＝2∠COF.
(2)成立.
理由如下：因为∠COE＝90°，∠AOC＝38°，
所以∠AOE＝∠COE-∠AOC＝90°-38°＝52°，
所以∠BOE＝180°-∠AOE＝180°-52°＝128°.
因为OF平分∠AOE，
所以∠AOF＝∠AOE＝×52°＝26°，
所以∠COF＝∠AOF+∠AOC＝26°+38°＝64°，
所以∠BOE＝2∠COF.
4.3.3 余角和补角
学习目标
1.在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质.了解方位角，能确定物体的具体方位.(重点，难点)
2.进一步提高学生的抽象概括能力和知识运用能力，发展空间观念，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想.(难点)
3.体会观察、归纳、推理对从数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步体会数学推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益.
自主学习
学习任务一 互为余角、互为补角的定义
1.如果 ，就说这两个角互为余角.
2.如果 ，就说这两个角互为补角.
3.如果一个角为70°，那么它的余角为 ，它的补角为 .
4.∠α(∠α＜90°)的余角为 ，∠α的补角为 .
学习任务二 余角的性质、补角的性质
1.∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，那么∠1与∠3相等吗？
∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1＝∠3，那么∠2与∠4相等吗？
结论： .
2.∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，那么∠1与∠3相等吗？
∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1＝∠3，那么∠2与∠4相等吗？
结论： .
学习任务三 方位角
1.如图1所示，认识方位，并填空.
图1
图2
2.如图2所示，表示方位角.
①点B在点O的 偏 .
②点A在点O的 偏 .
③点C在点O的 偏 .
④点D在点O的南偏西20°方向上，在图2中画出射线OD.
合作探究
一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数.
当堂达标
1.如图3所示，∠1的余角可能是( )
图3
A B C D
2.已知∠α与∠β互余，若∠α＝43°26′，则∠β的度数是( )
A.56°34′ B.47°34′
C.136°34′ D.46°34′
3.若一个角的补角是120°，那么这个角的余角是( )
A.150° B.90° C.60° D.30°
4.在点O北偏西60°的某处有一点A，在点O南偏西20°的某处有一点B，则∠AOB的度数是( )
A.100° B.70° C.180° D.140°
5.若∠α和∠β互补，且∠α>∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°-∠β；②∠α-90°；③(∠α+∠β)；④(∠α-∠β).正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
图4
6.如图4所示，将一副三角尺的直角顶点C叠放在一起.
(1)判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由；
(2)若∠DCE＝30°，求∠ACB的度数；
(3)猜想∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系，并说明理由.
课后提升
1.设∠α，∠β的度数分别为(2n-1)°和(68-n)°，且∠α，∠β都是∠γ的补角.解答下列问题：
(1)试求n的值.
(2)∠α与∠β是否互余？为什么？
2.如图5所示，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°.
图5
(1)求∠AOB及其补角的度数.
(2)求∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由.
反思感悟
我的收获：
我的易错点：
参考答案
当堂达标
1.C 2.D 3. D 4.A
5.B 解析：因为∠α和∠β互补，所以∠α+∠β＝180°.因为90°-∠β+∠β＝90°，所以①正确；因为∠α-90°+∠β＝∠α+∠β-90°＝180°-90°＝90°，所以②正确；(∠α+∠β)+∠β＝×180°+∠β＝90°+∠β，故③错误；(∠α-∠β)+∠β＝(∠α+∠β)＝×180°＝90°，故④正确.综上，①②④均正确.故选B.
6.解：(1)∠ACE＝∠BCD.
理由如下：因为∠ACE+∠DCE＝90°，∠BCD+∠DCE＝90°，所以∠ACE＝∠BCD.
(2)由余角的定义，得∠ACE＝90°-∠DCE＝90°-30°＝60°，由角的和差，得∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝60°+90°＝150°.
(3)∠ACB+∠DCE＝180°.
理由如下：由角的和差，得∠ACB＝∠BCE+∠ACE，∠ACB+∠DCE＝∠BCE+(∠ACE+∠DCE)＝∠BCE+∠ACD＝90°+90°＝180°.
课后提升
1.解：(1)根据题意，得2n-1＝68-n，
解得n＝23.
(2)互余.
理由如下：∠α＝(2n-1)°＝(2×23-1)°＝45°，
∠β＝(68-n)°＝(68-23)°＝45°.
因为∠α+∠β＝45°+45°＝90°,所以∠α与∠β互余.
2.解：(1)因为∠BOC＝70°，∠AOC＝50°，
所以∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝70°+50°＝120°，
所以∠AOB的补角的度数为180°-120°＝60°.
(2)因为OD平分∠BOC，∠BOC＝70°，
所以∠DOC＝∠BOC＝×70°＝35°.
因为OE平分∠AOC，∠AOC＝50°，
所以∠AOE＝∠EOC＝∠AOC＝×50°＝25°.
∠DOE与∠AOB互补.
理由如下：
因为∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝35°+25°＝60°，
所以∠DOE+∠AOB＝60°+120°＝180°，
所以∠DOE与∠AOB互补.

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