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实际问题与二次函数
—利用二次函数求图形最大面积
知识链接
Hi，在开始挑战之前，先来热下身吧！
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大
（或最小）值，即当x= 时，y的最值 ．
学习任务
（一）读教材，首战告捷
让我们一起来阅读教材，并做好色笔区分吧。
（二） 试身手， 初露锋芒
让我们来试试下面的问题和小练习吧。
练习1． 二次函数的最小值_________．
练习2．已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在自变量取
值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，有最大值0
C．有最小值－1，有最大值3 D．有最小值－1，无最大值
（三）攻难关，自学检测
让我们来挑战吧！你一定是最棒的！
一、选择题
1．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点
为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=－x2+4x
（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（　　）
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
2．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了
牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点
距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（　　）
A．50m B．100m C．160m D．200m
二、填空题
3．如图所示，用长为8 m的木板围建一个一边靠墙的矩形养鸡场，则养鸡场的
最大面积为________m2．
4．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x（m）与面积
y（m2）满足函数关系y=－（x－12）2+144（0＜x＜24），则该矩形面积的
最大值为 ．
三、解答题
5． 某农场要建一个长方形ABCD的养鸡场，花圃的一边靠墙，（墙长25m）
另外三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）设AB为xm，则BC长 m．
（2）养鸡场面积S= m2；S有最大面积 （是或否）？
最大的面积是 m2（无最大面积不用填）．
（3）养鸡场面积能达到205m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，
请说明理由．
6．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆
的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．
（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．
◆测一测，大显身手
1．如图，铅球运动员掷铅球的高度（m）与水平距离（m）之间的函数关系式是：
，则该运动员此次掷铅球的成绩是 m．
2．某幢建筑物，从10 m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直，如图，如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB
是 m．
3．如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1 m，球路的最高点B（8，9），则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米（精确到0.1 m）．
4．如图所示，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x m，面积为S m2．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米
（3）能围成面积比45m2更大的花圃吗 如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能请说明理由．
5．如图，用18米长的木方做一个有一条横档的矩形窗子，窗子的宽不能超过2米．为使透进的光线最多，则窗子的长、宽应各为多少米？
参考答案
试身手， 初露锋芒
练习1、【答案】－4
练习2、【答案】C
【解析】观察图象在0≤x≤3时的最低点为（1，－1），最高点为（3，3），
故有最小值－1，有最大值3．
攻难关，自学检测
1．【答案】A
2．【答案】C
3．【答案】8
【解析】设矩形与墙垂直的一边长为x m，则另一边长为（8－2x）m．
由题意知y＝x（8－2x）＝－2x2+8x＝－2（x－2）2+8，即当x＝2时，y有最大值为8．
4．144
5．解：（1）在PPT图形中进行分析BC=（40－2x）m，然后结果在横线中出现；
（2）同上，有长和宽，S=（40－2x）×x=－2x2+40x，横线出最终化简结果；
因为S是x的二次函数，且二次项系数a=－2＜0，所以S有最大值，
当x=,S最大值=200;
（3）不能，由（2）可知养鸡场最大面积为200m2，所以不能达到205m2．
6．解：（1）∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃长为（24－4x）米
根据实际情况花圃的长宽都要大于0，
所以建立不等式组 ，解之得 0＜x＜6
∴ S＝x（24－4x）＝－4x2＋24 x（ 0＜x＜6）
（2）由（1）得S＝－4x2＋24 x
S是x的二次函数，因为二次项系数a=－4＜0，所以S有最大值，
当x= ，（在自变量的取值范围内）
∴ S最大值= =36（平方米）
（3）∵墙的可用长度为8米
∴ 0＜24－4x ≤8
∴ 4≤x＜6
∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米
测一测，大显身手　
1．【答案】10
【解析】令，则： ，（舍去），．
2．【答案】3
【解析】顶点为，设，将点代入，
令，得：，所以OB=3．
3．【答案】；24．5米．
【解析】设，将点A代入，得
令，得
，，∴OC=≈16．5 （米）
4．【答案】
解：（1）因为宽AB＝x m，则长BC＝24－3x（m）．
∴ 面积．
（2）由，即．解得，．
∵ ，解得，∴ 仅有符合题意．
∴ AB＝5，即花圃的宽为5m．
（3）∵ ，
∴ 当时，S随x的减小而增大，当时，S取最大值．
即当花圃宽，长BC＝10时，．
答：花圃的长取10m，宽取m时，达到最大面积m2，大于45 m2．
5．【答案】
解：设窗子的宽为x m，长为：m，透光面积y m2．
根据题意可得：y=（0＜x≤2）
∵不在0＜x≤2范围内，并画出示意图；
∴由函数图象可知：当x=2时，y最大=12
∴当宽为2 m，长为6 m时，透进的光最多．
注：利用图象在端点处找最值．

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