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圆中鬼魅，阿波罗尼斯圆
8.1 定义
引例 已知动点 P与两定点 A、B的距离之比为 ( 0)，那么点 P的轨迹是什么？
证 明 不 妨 设 A( c , 0) 、 B(c , 0)(c 0) ， P(x , y) PA， 由 ( 0) 得 ：
PB
(x c)2 y2
，即
(x c)2 y2
(1 2 )x2 2c(1 2 )x c2 (1 2 ) (1 2 )y2 0，
2
1 x2 2c(1
2 ) 2 2 x c y 0 x
2 1 c y2 2 c
2
①当 时，即为
1 2
，整理得： ，
2 1 2 1
2 1 2 c
即点 P的轨迹是以 2 c , 0 为圆心， 为半径的圆； 1 2 1
②当 1时，化简得 x 0，即点 P的轨迹为 y轴．
定理 一般地，平面内到两个定点距离之比为常数 ( 0 , 1)的点的轨迹是圆，此
圆被叫做“阿波罗尼斯圆”．特殊地，当 1时，点 P的轨迹是线段 AB的中垂线．
起名背景 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时
期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥
曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一．
注 在研究完椭圆和双曲线的标准方程后，对于 PA PB 2a， PA PB 2a，我
PA
们可以清楚地了解点 P的轨迹；类似地，如果改成： 2a或 PA PB 2a，点 P的轨
PB
迹方程又当如何？
PA
显然，本专题就是对 2a进行的探究，对于 PA PB 2a的探究，可参见后续圆
PB
锥曲线之卡西尼卵形线专题．
8.2 调和点列 vs 阿波罗尼斯圆
如图，①A、C、B、D为调和点列；②PC、PD分别为∠APB的内、外角平分线；③PC
⊥PD；以上三个条件中，知道任意两个都可以推得第三个！
P
A C B D
设阿波罗尼斯圆的圆心为 O OC PA AC AD，半径 OD r，则有 ， 即
PB CB DB
OA r OA r OA r OA r OA r (OA r)
OA r， 即 ， 即 ， 即
r OB OB r r OB r OB r OB (r OB) r OB
OA OB r 2 （反演）．
OA
OA r

r OA OB AB 1 AB同时，
r OB
，即 r ．
OB 1 r r r
1

r
P
A C B O D
已知两个定点及定比，求阿波罗尼斯圆
半径公式 已知动点 P与两定点 A、B的距离之比为 ( 1)，则已知两个定点 A、B，
及定比 ，则．【最好熟记！】
PA OA r AB
注 菠萝圆的常用公式 ，OA OB r2 ，菠萝圆的半径为：r 1
PB r OB

很常用，形式也很简单，最好熟记！！

圆心坐标 利用定比分点求内外分点的坐标，即 AD DB，D包括 D内、D外，由于
内外分点也是圆直径的两个端点，故圆心坐标和半径可以一起确定．
已知一个定点和阿波罗尼斯圆，求另一个定点和定比
如图，已知其中一个定点 A，以及动点 P对应的阿波罗尼斯圆，如何快速确定另一个定
点 B和定比 的位置？
注 圆心 O在线段的延长线上！！有些粗心的同学在数形结合画草图的时候，肯定会犯
模糊？
1
例 已知动点 P 与两定点 A(0 , 0)、 B(3 , 0)的距离之比为 ，则动点 P 的轨迹方程
2
为 ．
法一 直译法
x2 y2
设点 P(x , y) 1是曲线上任意一点，则 ，化简整理可得：(x 1)2 y2 4．
(x 3)2 y2 2
法二 利用定比分点，确定内外分点法
1
设 D为分点，则 AD DB，可得： D (1 , 0)， D外( 3 , 0)，由于内外分点也是圆直2 内
径的两个端点，易得圆心坐标为 ( 1 , 0)，半径为 2．
法三 设圆心为 C AB 3 PA CA r 1，半径为 r，则 r 2，又 ，即CA 1，
1 2 1 PB r CB 2
2
由定比可知圆心 C在定点 A的左侧，故C( 1 , 0)．
例 (1)(2006 四川文理)已知两定点 A( 2 , 0)，B(1 , 0)，如果动点 P满足条件 PA 2 PB ，
则点 P的轨迹所包围的图形的面积等于( )．
A． B．4 C．8 D．9
(2)在平面直角坐标系中，圆 x2 y2 1交 x轴于 A、B两点，且点 A在点 B左边，若直
线 x 3y m 0 上存在点 P，使得 PA 2 PB ，则 m的取值范围为 ．
(1) B r AB 3
13
解 选 ； 1 1 2
；(2) , 1 ．
2 3
2
例 (1)(2008 江苏)满足条件 AB 2， AC 2BC的△ABC 的面积的最大值是______．
(2)已知等腰三角形腰上的中线长为 3，则该三角形面积的最大值是______．
解 (1) AB 2法一 易知 C的轨迹为圆 O，且半径 r 2 2 ，分析易得：
1 2 1
2
当且仅当 CO⊥AB时，面积取最大，即为 2 2．
法二 作高法；作 CD⊥AB于点 D，设 AD x，CD h，则 BD 2 x ，由 AC 2BC
可得：
x2 h2 2((x 2)2 h2 )，即 h2 x2 8x 8，
故 h2 8，易知面积最大为 2 2．
A A
D E DG
B C B C
(2)法一 如图所示， AB AC，中线 BD 3， S△ABC 2S△ABD，又 AB 2AD，A的
BD 3 2 3
轨迹是以 B、D 为定点的菠萝圆，其半径 r ，故△ABC 最大值为
1 2 1 3
2
2 1 BD r 2．
2
G CG BG 2法二 借助重心的性质：如图所示，设重心为 ，则 BD，故
3
S 1 4 2△ABC 3S△BGC 3 BD sin BGC 2，2 9

当且仅当 BGC 时取等号．
2
例 (2014 湖北文压轴)已知圆O：x2 y2 1和点 A( 2 , 0)，若定点 B(b , 0)(b 2)和常
数 满足：对圆 O 上任意一点 M，都有 MB MA ，则 (1) b ；
(2) ．
解 此题的背景是阿波罗尼斯圆，熟悉背景的话，此题可以直接口算，是送分题！
2 1 r x 1由于 xAxB r ，故 b ，结合图形可知 MB MA ，即 1，即
B ．
2 xA r 2
r
例 在平面坐标系 xOy 中，已知圆 x2 y2 r 2 (r 0) ，两个定点 A , 0

和
3
PA
B(a , 0) a
r
，且 P为圆上任意一点，若 为定值 k，则 a ，k ．
3 PB
r
解 结合草图必有 a 0 且 0 k 1 ，由 OA OB r2 ，即 a r2 a 3r ，
3
k r OB 3．
OA r
例 (2015 湖北理压轴)如图，圆 C与 x轴相切于点T (1 , 0)，与 y轴正半轴交于两点 A、
B（B在 A的上方），且 AB 2．
(1)圆 C的标．准．方程为 ；
(2)过点 A任作一条直线与圆O：x2 y2 1相交于 M、N两点，下列三个结论：
NA MA NB MA NB MA
① ；② 2；③ 2 2．
NB MB NA MB NA MB
其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）
y
B
C
N
M A
O x
解 (1) (x 1)2 (y 2)2 2；
(2) 显然圆 O是以 A、B为定点的阿波罗尼斯圆，易得 A(0 , 2 1)， B(0 , 2 1)，阿
NA MA OA r NB
波罗尼斯圆的半径 r 1，故 2 1， 2 1，因此，①②
NB MB r OB NA
③都正确．
例 (1)已知点 P在边长为 2的正方形 ABCD的内切圆上运动，则 AP 2BP的最小值
是_______．
(2) 已知 P 在边长为 2 的正三角形 ABC 的内切圆上运动，则 AP 2BP 的最小值是
_______．
解 (1)有圆 O和一个定点（A或 B），由于OA OB，故不妨取 A为定点，设另一个

OA 2 PA
定点为 A ，定比为 （结合图形，必有 1），则OA OA r2 2 ，则 2 ．
PA
2
因 此 ， AP 2BP 2(AP BP) 2A B ， 又 A B OA 2 OB2 5 ， 故
2
AP 2BP 5 ．
C
D C
O
A OA
P
A B A P B
3
(2) OA 和上题分析类似，OA OA r2 6 ，AP 2BP 2(AP BP) 2A B 7．
2
例 (1)已知 A、B分别为 x、y轴上的两个动点，且 AB 10，M为 AB的中点，P(10 , 0)，
Q 13
1
, 3 ，则 PM QM 的最小值为 ．
2 2
(2)设点 M在圆C：(x 4)2 ( y 4)2 8上运动，点 A(6 , 1)，O为原点，则MO 2MA
的最小值为 ．
(3)如图所示，直角扇形 AOB的半径为 6，C、D分别为 OA、OB上的点，其中OC 3，
OD 5，点 P为弧 AB上任意一点，则 2PC PD的最小值为 ．
A
P
C
O BD
解 (1)易知M的轨迹方程为： x2 y2 25，即 r 5；
1
根据“ PM QM 1 OP”可以确定菠萝圆的定比必为 2或 ，又OP 10， 2，显然
2 2 r
菠萝圆的一个定点必定可以是 P，设另一个定点为 N(n , 0)，利用OP ON r 2 ON 5 ，
2
即 N 5 , 0

；
2
MP 1
结合图形可知 2，故 PM QM MN QM QN 5．
MN 2
y y
Q
C
P
O N P x
M M
O A x
(2)根据“MO 2MA 1”可以确定菠萝圆的定比必为 2或 ，又 r 2 2 ，OC 4 2 ，
2
OC
2 ，显然菠萝圆的一个定点必定可以是原点 O，设另一个定点为 P ，利用
r
CP CO r 2 CP 2 ，点 P 在直线 y x上，易得 P MO3 , 3 ，结合图形可知 2，故
MP
MO 2MA 2MP 2MA 2PA 10．
(3) 13；方法类似，具体过程略．
8.3 角平分线 vs 阿波罗尼斯圆

例 (1)(2016 台州一模) MA MC MB MC已知 C是线段 AB上的一点，AC 2CB， ，
MA MB

MA MB
则 2 的最小值范围为 ．
AB
1 r
(2)(2016 杭州一模)已知OA、OB是非零不共线的向量，设OC OA OB，定
r 1 r 1

KA KC KB KC
义点集M K , KA KB

，当 K1 、K2 M 时，若对于任意的 r 2，
KA KB

不等式 K1K2 c AB 恒成立，则实数 c的最小值为 ．

(1) 2 MA MC MB MC解 ； BMC AMC ，故点 M 轨迹是以 A、B为定
9 MA MB
点的菠萝圆．
设 AB的中点为 D，利用极化恒等式：
2 2
AB AB2 2 2 2
MA MB MD AD CD AD
6 2 2 2 2 2 2 ．
AB AB AB AB 9

4
(2) ；OC 1 OA r OB AC rCB KA KC KB KC， AKC BKC ，
3 r 1 r 1 KA KB

K K
故点 K的轨迹为圆，又不等式 K K c AB 恒成立，故 c 1 21 2 ，
AB max

K K
显然，当 K1K2为圆的直径时取得最大值，故K K
AB 1 2
1 1 41 2 ，即 ．
r 1 AB r 1 2 1 3
r r 2
例 在△ABC中， AC 2， AB mBC(m 1) ，若恰好当 B 时，△ABC面积最大，
3
则m ．
y
B
O C M A x
答案 2 3 ；如图所示，点 B的轨迹为菠萝圆 O，因此，当△ABC面积最大时，OB r，

由于 ABC ，故 ABM CBM ，又 BMC ，则
3 6 4
m BA OA r OB tan OCB tan 75 2 3 ．
BC r OC OC
MP
例 P、Q是两个定点，点 M为平面内的动点，且 ( 0且 1)，点 M的轨
MQ
迹围成的平面区域的面积为 S，设 S f ( )，则以下判断正确的是( )．
A． f ( )在 (0 ,1)上是增函数，在 (1 , )上是减函数
B． f ( )在 (0 ,1)上是减函数，在 (1 , )上是减函数
C． f ( )在 (0 ,1)上是增函数，在 (1 , )上是减函数
D． f ( )在 (0 ,1)上是减函数，在 (1 , )上是增函数
d 2
解 设 PQ d r d S f ( ) r2，则 ，故 1 ，结合对勾函数的性质，
1 2 2
2
显然选 A．
例 已知点 A(0 ,1)， B(1 , 0)，C(t , 0)，点 D是直线 AC上的动点，若 AD 2BD恒成
立，则实数 t的取值范围是___________．
4 2AD 2BD D x y 1
2
8
解 对 直译可得点 的轨迹是： ，
3 3 9
x 2 2 x 4 y 1 8依题意，只须直线 AC： y 1与圆 相切或相离即可，即t 3 3 9
4 1
t t
3 3 2 2 ，解得 t 2 3或 t 2 3．
1 t 2 3
例 过△ABC的重心G作直线MN分别交边AB、AC于点M、N，若 AB 2，AC 3BC，
则当△ABC的面积最大时，四边形 MNCB面积的最大值为( )．
A 5 6 B 5 6 C 5 3 D 5 3． ． ． ．
18 9 9 18
解 选 D ； 由 “ AB 2 ， AC 3BC ” 可 知 点 C 的 轨 迹 为 圆 ， 且 半 径
r AB 2 6 ．
1 1 3 2
3
当 △ ABC 的 面 积 最 大 时 ， 则 此 时 的 点 C 到 AB 的 距 离 为 半 径 r ， 此 时
S 1△ABC AB r
3
．欲使得四边形 MNCB面积最大，则等价于△AMN的面积最小，
2 2

直线 MN过△ABC的重心 G，设 AM xAB， AN yAC，其中 0 x、y 1，
1

1 AM AN AG AB AC M N G 3 1 1则 ， 、 、 三点共线可得： ，3 3 x y x y
由于3 1 1 1 4 2 ，故 xy ，S△AMN xy S
4
△ABC S△ABC ，因此，四边形 MNCBx y xy 9 9
5 5 3
面积的最大值为 S
9 △ABC
，此时的直线 MN恰好和直线 BC平行．
18
例 已知△ABC的面积为 1，∠A的平分线交对边 BC于 D，AB 2AC ，且 AD kAC，
k R ，则当 k 时，边 BC的长度最短．
y
A
O C D B x
2 10
解 ；由 AB 2AC OC R 1可知：点 A的轨迹为阿氏圆，设其半径为 R，则 ，
5 R OB 2
R
故OC ，OB 2R，如图所示，作出相应的几何图形．
2
由于△ABC的面积为定值，欲使得边 BC的长度最短，则 BC边上的高必须最大，即为
半径 R，即在阿氏圆与 y轴的交点处，此时 AD2 OD2 R2 2R2 ，AC 2 OC 2 5 R2 R2．
4
例 在△ABC中，点 D在边 BC上，且 DC 2BD， AB：AD：AC 3：k：1，则实数 k
的取值范围为 ．

法 一 根 据 题 意 有 DC 2BD ， 即 AD 2 AB 1 AC ， 两 边 平 方 整 理 得 ：
3 3
37 12 k 2 cos 5 7 ，其中 为 AB和 AC的夹角，故 (0 , )，注意到 k 0，易解得 k , ．
9 9 3 3
y
A
O C D B x
AB 3 OB R
法二 由于 ，如图所示，构造菠萝圆模型，设菠萝圆的半径为 R，则 3，
AC 1 R OC
R
即OC ，OB 3R CD 2 BC 16 ， R．
3 3 9
不妨令 R 9，则菠萝圆方程为： x2 y2 81，C(3 , 0)， D(19 , 0)，故
k AD (x 19)
2 y2 442 38x
， x ( 9 , 9)，
AC (x 3)2 y2 90 6x
5 7
注意到15 ( 9 , 9) ，故 k在区间端点处取得最值，易得 k , ．
3 3
注 法一中的向量手法，可以积累一下，在解三角形中，与线段分点有关的题，可以尝
试使用！
法二利用了阿氏圆的背景，相对法一，思路也很简单，就是计算量是硬伤！！
例 已知共面向量 a 、 b 、 c 满足 a 3， b c 2a ，且 b b c ．若对每一个确定
的向量 b ，记 b ta (t R)的最小值为 dmin，则当 b 变化时， dmin的最大值为( )．
A 4． B．2 C．4 D．6
3
答案 选 B．
B
b A
a
O c C
3
解 如图所示，易知点 B的轨迹为阿氏圆，dmin的最大值即为阿氏圆的半径 r 2．
2 1
2
x2 y2
例 已知椭圆 2 2 1 a b 0 ，A、F是其左顶点和左焦点，P是圆 x
2 y2 b2 上
a b
PA
的动点，若 （ 为常数），则此椭圆的离心率为 ．
PF
解 点 P的轨迹是菠萝圆，故 OA OF r2 ，即 ac b2 5 1，解得 e ．
2
例 (2013 江苏)如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(0 , 3)，直线 l：y 2x 4，设圆
C的半径为 1，圆心在直线 l上．
(1)若圆心 C在直线 y x 1上，过点 A作圆 C的切线，求切线的方程．
(2)若圆 C上存在点 M，使MA 2MO ，求圆心 C的横坐标 a的取值范围．
y
A l
O x
解 (1)圆心 C为直线 y 2x 4和 y x 1的交点，解得C(3 , 2)，易知切线的斜率必存
3k 1
在，故设切线为 y kx 3，则 1 3，解得 k 0或 k ，故切线的方程为 y 3或
k 2 1 4
3x 4y 12 0．
(2)圆心 C在直线 y 2x 4上，故圆 C的方程为： (x a)2 y 2(a 2) 2 1，
设M (x , y)，由MA 2MO 得： x2 ( y 3)2 2 x2 y2 ，即 x2 (y 1)2 4，因此，
点 M的轨迹是以圆心D(0 , 1)，半径为 2的圆．
由题意可知点 M也在圆 C上，因此，只需要圆 C和圆 D有公共点即可，故
2 1 CD 2 1，即1 a2 (2a 3)2 3，
12 C a 0 , 12 解得 0 a ，故圆心 的横坐标 的取值范围为 ．
5 5
例 (2002 全国文)已知点 P到两定点M ( 1 , 0)、N (1 , 0)距离的比为 2 ，点 N到直线
PM的距离为 1，求直线 PN的方程．
解 设 P的坐标为 (x, y) PM，由题意有 2 ，即 (x 1)2 y2 2 (x 1)2 y2 ，
PN
整理得 x2 y2 6x 1 0，因为点 N到 PM 的距离为 1，MN 2，所以 PMN 30 ，直线 PM
3 3 3
的斜率为 ，直线 PM 的方程为 y (x 1)，将 y (x 1)代入 x2 y2 6x 1 0
3 3 3
整理得 x2 4x 1 0
解得 x 2 3 ， x 2 3 ，则点 P 坐标为 (2 3,1 3) 或 (2 3, 1 3) ，
(2 3, 1 3)或 (2 3,1 3)，直线 PN 的方程为 y x 1或 y x 1．
例 在 x轴正半轴上是否存在两个定点 A、B，使得圆 x2 y2 4上任意一点到 A、B两
1
点的距离之比为常数 ？如果存在，求出点 A、B坐标；如果不存在，请说明理由．
2
PA OA r 1
分析 设点 P为圆 O上任一点，半径 r 2，假设 A在 B的左侧，则 ，
PB r OB 2
即OA 1、OB 4，即 A(1,0)、 B(4,0)，显然，利用背景很简单，不过，对于解答题，需
要转化为恒成立的问题．
解 假设在 x轴正半轴上是否存在两个定点 A、B，使得圆 x2 y2 4上任意一点到 A、
B 1两点的距离之比为常数 ，设 P(x , y)、 A(x1,0)、 B(x2 ,0)，其中 x2 x1 0．2
(x x1)
2 y2 1
即 对满足 x2 y2 4的任何实数对 (x , y)恒成立，整理得：
(x x2)
2 y2 2
2x(4x x ) x21 2 2 4x
2
1 3(x
2 y2 )，
将 x2 y2 4代入上式得：2x(4x1 x2) x
2
2 4x
2
1 12，欲使得这个式子对任意 x [ 2,2]
4x1 x2 0
恒成立，所以一定有： ，因为 x2 x1 0，所以解得： x 1、 xx2 4x2 12 1 2
4．
2 1
因此，在 x轴正半轴上存在两个定点 A(1,0)、 B(4,0)，使得圆 x2 y2 4上任意一点到
A、B 1两点的距离之比为常数 ．
2
例 有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商
品后运回的费用是：每单位距离 A地的运费是 B地的运费的 3 倍．已知 A、B两地距离为
10公里，顾客选择 A地或 B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求
A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何
选择购货地点．
分析：该题不论是问题的背景或生活实际的贴近程度上都具有深刻的实际意义和较强的
应用意识，启示我们在学习中要注意联系实际，要重视数学在生产、生活以及相关学科的应
用．解题时要明确题意，掌握建立数学模型的方法．
解 以 A、B所确定的直线为 x轴，AB的中点 O为坐标原点，建立如图所示的平面直
角坐标系．
∵ AB 10，∴ A( 5 , 0)， B(5 , 0)．
设某地 P的坐标为 (x , y)，且 P地居民选择 A地购买商品便宜，并设 A地的运费为 3a
元/公里，B地的运费为 a元/公里．因为 P地居民购货总费用满足条件：
价格＋A地运费≤价格＋B地的运费
即 3a (x 5)2 y2 a (x 5)2 y2 ． ∵ a 0 ， ∴
3 (x 5)2 y2 (x 5)2 y2
(x 25)2 y2 (15)2 ( 25 , 0) 15化简整理得： ，∴以点 为圆心 为半径的圆是两地
4 4 4 4
购货的分界线．
圆内的居民从 A地购货便宜，圆外的居民从 B地购货便宜，圆上的居民从 A、B两地购
货的总费用相等．因此可随意从 A、B两地之一购货．
说明：实际应用题要明确题意，建议数学模型．

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