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1.4 充分条件与必要条件
知识清单
1、充分条件与必要条件
命题真假 “若，则”是真命题 “若，则”是假命题
推出关系
条件关系 是的充分条件 是的必要条件 不是的不充分条件 不是的不必要条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
2、充要条件
对于集合，，
条件 结论 集合关系
若 则是的充分条件，是的必要条件；
若，且 则是的充分不必要条件；
若且 则是的必要不充分条件；
若 则是的充要条件；
若且 则是的既不充分也不必要条件. 没有关系
【注意】：小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围.
3、判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
（1）定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
（2）集合法：即利用集合的包含关系判断．
（3）传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性．
典型例题
母题1：充分、必要条件的判断
若条件两个三角形相似，两个三角形全等，则是的________条件。
已知，则“”是“”的________条件。
，，则是的________条件。
，，则是的________条件。
“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
已知“”是“”的（ ）条件．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
设且，，则是成立的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
已知，都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则（ ）
A．是的既不充分也不必要条件 B．是的必要条件
C．是的必要不充分条件 D．是的充要条件
已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（ ）
A．是的充分不必要条件 B．是的充分不必要条件
C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件
母题2：充分、必要条件的选择
（多选）“”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
（多选）的必要不充分条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
使得“”成立的一个必要且不充分的条件是（　　）
A． B． C． D．
“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
下列是“”成立的必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
（多选）若：，则成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
（多选）已知命题:，，则命题成立的一个充分条件可以是（ ）
A． B． C． D．
方程至少有一个负实根的充要条件是（ ）
A． B． C． D．或
母题3：文字中的充分、必要条件
1943年深秋的一个夜晚，年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成《没有共产党就没有新中国》，今年恰好是建党100周年，请问“没有共产党”是“没有新中国”的（ ）条件．
A．充分条件 B．必要条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19(新冠肺炎)新冠肺炎,患者症状是发热 干咳 浑身乏力等外部表征.“新冠肺炎患者”是“患者表现为发热 干咳 浑身乏力”的（　　）（已知该患者不是无症状感染者）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
伟人毛泽东的《清平乐 六盘山》传颂至今，“天高云淡，望断南飞雁.不到长城非好汉，屈指行程二万，六盘山上高峰，红旗漫卷西风，今日长缨在手，何时缚住苍龙？”现在许多人前往长城游玩时，经常会用“不到长城非好汉”来勉励自己，由此推断，“到长城”是“为好汉”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
必修一课本有一段话：当命题“若，则”为真命题，则“由可以推出”，即一旦成立，就成立，是成立的充分条件。也可以这样说，若不成立，那么一定不成立，对成立也是很必要的。王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”。从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（　　）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
《左传》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”则“有毛”是“有皮”的（ ）条件。
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
母题4：根据充分、必要条件求参数
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
已知实数满足，其中；实数满足。若是的充分条件，求实数的取值范围。
已知实数满足，其中；实数满足。若是的必要条件，求实数的取值范围。
已知实数满足，其中；实数满足。若是的充分条件，求实数的取值范围。
已知实数满足 (其中)实数满足。
（1）若，且与都为真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围。
若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是________。
已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是____________。
设，，是的充分条件，则实数的取值范围是 。
若“”是“”的必要条件，但“”不是“”的充分条件，则的取值范围是________。
已知“，使等式”是真命题。
（1）求实数的取值范围；
（2）设关于的不等式的解集为，若“”是“”的充分条件，求的取值范围。
母题5：充分、必要条件的证明
充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性．
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．
求证：是等边三角形的充要条件是.（这里a，b，c是△ABC的三条边）
求证：一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是.
设证明:的充要条件是.
求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1.
设，求证成立的充要条件是．
求证：关于的方程有两个负实根的充要条件是．1.4 充分条件与必要条件
知识清单
1、充分条件与必要条件
命题真假 “若，则”是真命题 “若，则”是假命题
推出关系
条件关系 是的充分条件 是的必要条件 不是的不充分条件 不是的不必要条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
2、充要条件
对于集合，，
条件 结论 集合关系
若 则是的充分条件，是的必要条件；
若，且 则是的充分不必要条件；
若且 则是的必要不充分条件；
若 则是的充要条件；
若且 则是的既不充分也不必要条件. 没有关系
【注意】：小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围.
3、判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
（1）定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
（2）集合法：即利用集合的包含关系判断．
（3）传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性．
典型例题
母题1：充分、必要条件的判断
若条件两个三角形相似，两个三角形全等，则是的________条件。
答案　必要
已知，则“”是“”的________条件。
答案　充分
，，则是的________条件。
答案　必要
解析　∵x＝y |x|＝|y|，即q p，
∴p是q的必要条件．
，，则是的________条件。
答案　充分
“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由可得，由可得所以“”是“”的充分不必要条件故选：C
设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由，
由不一定能推出，但是由一定能推出，
所以“”是“”的必要不充分条件，故选：C
已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】或，因此由不一定能推出，
但是由一定能推出，所以是的必要不充分条件，故选：B
已知“”是“”的（ ）条件．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，
所以是的充分不必要条件.故选:A
设且，，则是成立的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】若“且”则“”成立，
当，时，满足，但且不成立，
故且”是“”的充分非必要条件．故选：A．
若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】充分性：若，，则，充分性不成立；
必要性：若，则，由不等式的性质可得，必要性成立.
因此，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.
已知，都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则（ ）
A．是的既不充分也不必要条件 B．是的必要条件
C．是的必要不充分条件 D．是的充要条件
【答案】D
【分析】
根据题意得到，再逐项判断.
【详解】
由题意得，
所以 ，
所以，所以是的充分条件，故A错误；
是的充分条件，故B错误；
是的充要条件，故C错误；
是的充要条件，故D正确；
故选：D.
已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（ ）
A．是的充分不必要条件 B．是的充分不必要条件
C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件
【答案】B
【分析】
利用推出号表示充分条件和必要条件，然后可得结论．
【详解】
由题意，但是不能推出成立，则，所以是等价的，
因此ACD都错误，B正确．
故选：B．
母题2：充分、必要条件的选择
（多选）“”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】，所以.设,设选项对应的集合为,
因为选项是“”的一个充分不必要条件，所以是的真子集.故选：BC.
（多选）的必要不充分条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】,
即的充要条件是，
其必要不充分条件必须满足，其集合的一个真子集是充要条件的集合，
观察选项发现是的真子集，
故选：BD.
使得“”成立的一个必要且不充分的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】使成立的一个必要不充分条件，满足不等式的范围包含，但不完全一致，
A选项解集为或，成立，A选项正确；
B选项解集为，为充要条件，B选项错误；
C选项解集为，不成立，C选项错误；
D选项错误；故选：A.
“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由关于的不等式的解集为，
可得，解得，所以的取值范围是.
根据必要不充分条件的概念可知B项正确.故选：B.
下列是“”成立的必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出不等式的解集，然后根据必要不充分条件的定义分析可得．
【详解】
，分析各选项，只有B是必要不充分条件．
故选：B．
（多选）若：，则成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】
先由求出的范围，记其组成的集合为A，要求成立的一个充分不必要条件，就是要求出集合A的真子集即可
【详解】
由，得，记为，
所以要求成立的一个充分不必要条件，就是要求出集合A的真子集，
对于A，集合 不是集合A的真子集，所以A不正确，
对于B，集合不是集合A的真子集，所以B不正确，
对于C，集合是集合A的真子集，所以C正确，
对于D，集合是集合A的真子集，所以D正确，
故选：CD
（多选）已知命题:，，则命题成立的一个充分条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】
根据一元二次方程根的判别式，结合充分性的定义、子集的性质进行求解即可.
【详解】
由命题:，成立，得，解得.
故命题成立的一个充分条件是的子集，因此选项A、B、D符合，
故选：ABD.
方程至少有一个负实根的充要条件是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】
按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答.
【详解】
当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得；
当时，，
若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负，
反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得，
若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数，
反之，方程两根都为负，则，解得，于是得，
综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有.
所以方程至少有一个负实根的充要条件是.
故选：C
母题3：文字中的充分、必要条件
1943年深秋的一个夜晚，年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成《没有共产党就没有新中国》，今年恰好是建党100周年，请问“没有共产党”是“没有新中国”的（ ）条件．
A．充分条件 B．必要条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】记条件p: “没有共产党”，条件q：“没有新中国”，由歌词知，p可推出q，故“没有共产党”是“没有新中国”的充分条件.故选：A.
王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意知：“攻破楼兰”未必“返回家乡”，即“攻破楼兰” “返回家乡”；
若“返回家乡”则必然“攻破楼兰”，即“返回家乡” “攻破楼兰”；
“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.故选：A.
2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19(新冠肺炎)新冠肺炎,患者症状是发热 干咳 浑身乏力等外部表征.“新冠肺炎患者”是“患者表现为发热 干咳 浑身乏力”的（　　）（已知该患者不是无症状感染者）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】新冠肺炎患者症状是发热 干咳 浑身乏力等外部表征，充分的同，但有发热 干咳 浑身乏力等外部表征的不一定是新冠肺炎患者，不必要，即为充分不必要条件．故选：A．
伟人毛泽东的《清平乐 六盘山》传颂至今，“天高云淡，望断南飞雁.不到长城非好汉，屈指行程二万，六盘山上高峰，红旗漫卷西风，今日长缨在手，何时缚住苍龙？”现在许多人前往长城游玩时，经常会用“不到长城非好汉”来勉励自己，由此推断，“到长城”是“为好汉”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】设为不到长城，推出非好汉，即，则，即好汉到长城，
故“到长城”是“好汉”的必要条件，故选：．
必修一课本有一段话：当命题“若，则”为真命题，则“由可以推出”，即一旦成立，就成立，是成立的充分条件。也可以这样说，若不成立，那么一定不成立，对成立也是很必要的。王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”。从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（　　）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
本题可根据充分条件与必要条件的定义得出结果.
【详解】
因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立，
所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件，
故选：B.
《左传》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”则“有毛”是“有皮”的（ ）条件。
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据已知条件分析“有毛”和“有皮”的互相推出情况，由此判断属于何种条件.
【详解】
根据条件可知：“有毛”则一定“有皮”，但是“有皮”不一定“有毛”，
即“有毛”可以推出“有皮”，但是“有皮”不一定能推出“有毛”，
所以“有毛”是“有皮”的充分不必要条件，
故选：A.
母题4：根据充分、必要条件求参数
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解不等式可得.
因为“”是“”的充分不必要条件，则 ，
由题意可得，解得.因此，实数的取值范围是.故选：A.
已知实数满足，其中；实数满足。若是的充分条件，求实数的取值范围。
解　p：3aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为p q，所以A B，
所以 －≤a<0，
所以a的取值范围是－≤a<0.
已知实数满足，其中；实数满足。若是的必要条件，求实数的取值范围。
解　p：aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为q p，所以B A，
所以 a∈ .
已知实数满足，其中；实数满足。若是的充分条件，求实数的取值范围。
解　p：3aq：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}．
因为p是q的充分条件，所以p q，所以A B，
所以 －1≤a<0.
所以a的取值范围是－1≤a<0.
已知实数满足 (其中)实数满足。
（1）若，且与都为真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围。
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）当时，：实数满足，又：实数满足，
因为与都为真命题，所以，解得，即；
（2）记，，因为是的必要不充分条件，所以
所以，解得：，
所以实数的取值范围是．
若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是________。
【答案】
【解析】由得，
因为是不等式成立的充分不必要条件，
∴满足且等号不能同时取得，即，解得．
已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是____________。
【答案】
【解析】，，且是的必要不充分条件，
所以是的真子集，
所以或，解得，
设，，是的充分条件，则实数的取值范围是 。
【答案】（﹣∞，2]
【解析】∵α：2＜x≤4，β：x＞m，若α是β的充分条件，则m≤2．
∴实数m的取值范围是（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．
若“”是“”的必要条件，但“”不是“”的充分条件，则的取值范围是________。
【答案】
【解析】由题意可知，“”是“”必要不充分条件，则，
所以，.故答案为：.
已知“，使等式”是真命题。
（1）求实数的取值范围；
（2）设关于的不等式的解集为，若“”是“”的充分条件，求的取值范围。
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）若“，使等式”是真命题，
则，
因为，所以，
所以，
（2）由不等式可得，
所以，
若“”是“”的充分条件，
则是的子集，所以解得，
经检验、符合题意，
所以的取值范围是
母题5：充分、必要条件的证明
充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性．
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．
求证：是等边三角形的充要条件是.（这里a，b，c是△ABC的三条边）
【答案】详见解析
【解析】先证明充分性：
由，
即，
所以，
所以，三角形为等边三角形.
然后证明必要性.
当三角形是等边三角形时，，所以.
综上所述，是等边三角形的充要条件是.
求证：一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是.
【答案】答案见解答过程．
【分析】【分析】根据韦达定理，先证明必要性，由“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”能推出“ac＜0”成立，反之再证明充分性，由韦达定理，判断出“ac＜0”成立能推出“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”，利用充要条件的有关定义得到证明．
【解答】证明：证明必要性：若“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”成立，
由韦达定理可得，x1x2=＜0，
所以ac＜0成立；
证明充分性：若“ac＜0”成立，
此时一元二次方程ax2+bx+c=0的△＞0，此时方程有两个不等的根
由韦达定理可得，x1x2=＜0，
即方程两个根的符号相反，
即一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根．
所以“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”的充要条件是“ac＜0”．
设证明:的充要条件是.
【答案】见解析
【解析】证明:(1)充分性:如果,
那么,
.
(2)必要性:如果,
那么,
,.
由(1)(2)知,的充要条件是.
求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明　充分性：因为a＋b＋c＝0，
所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0，
得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1.
证明　充分性：若a2－b2＝1成立，
则a4－b4－2b2＝(a2＋b2)(a2－b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1，
所以a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的充分条件．
必要性：若a4－b4－2b2＝1成立，
则a4－(b2＋1)2＝0，
即(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0.
因为a，b为实数，所以a2＋b2＋1≠0，
所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1.
综上可知，a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1.
设，求证成立的充要条件是．
【答案】见试题解答内容
【分析】证明充要条件关键是证明其互相推出性，要根据|x+y|=|x|+|y|证明出xy≥0，也要在xy≥0下证明出|x+y|=|x|+|y|．
【解答】解：证明：充分性：如果xy=0，那么，①x=0，y≠0②x≠0，y=0③x=0，y=0于是|x+y|=|x|+|y|明显成立．
如果xy＞0即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，
当x＞0，y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|，
当x＜0，y＜0时，|x+y|=-x-y=（-x）+（-y）=|x|+|y|，
总之，当xy≥0时，|x+y|=|x|+|y|．
必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x，y∈R，
得（x+y）2=（|x|+|y|）2即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2，
得|xy|=xy所以xy≥0故必要性成立，
综上，原命题成立．
故结论成立．
求证：关于的方程有两个负实根的充要条件是．

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