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人教A版（2019）3.2.2函数的奇偶性
一、函数的奇偶性
1、奇函数与偶函数
(1)一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f(x)中，f(x)与f(－x)绝对值相等，符号相反，即f(－x)＝－f(x)；反之，满足f(－x)＝－f(x)的函数y＝f(x)一定是奇函数．
(2)一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．在偶函数f(x)中，f(x)与f(－x)的值相等，即f(－x)＝f(x)；反之，满足f(－x)＝f(x)的函数y＝f(x)一定是偶函数．
(3)当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数f(x)具有奇偶性．
2、函数奇偶性的方法判断
【例1】函数f(x)＝，x∈(0,1)是(　 　)
A．奇函数　　　　 　B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇数又是偶函数
【例2】设函数f(x)＝x|x|定义在(－∞，＋∞)上，则f(x)(　 　)
A．既是偶函数，又是减函数 B．既是奇函数，又是减函数
C．既是偶函数，又是增函数 D．既是奇函数，又是增函数
【例3】下列条件，可以说明函数y＝f(x)是偶函数的是(　　 )
A．在定义域内存在x使得f(－x)＝f(x)
B．在定义域内存在x使得f(－x)＝－f(x)
C．对定义域内任意x，都有f(－x)＝－f(x)
D．对定义域内任意x，都有f(－x)＝f(x)
【例4】画出下列函数的图像，判断奇偶性。
① ②
【例5】根据题中函数的奇偶性及所给部分图象，作出函数在y轴另一侧的图象，并解决问题：
(1)如图①是奇函数y＝f(x)的部分图象，则f(－4)·f(－2)＝________.
(2)如图②是偶函数y＝f(x)的部分图象，比较f(1)与f(3)的大小的结果为________．
【例6】设定义在上的奇函数在区间上单调递减，若，求实数的取值范围。
【例7】函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A．　　　　 B． C．0 D．1
二、函数奇偶性的六个重要结论
1、如果一个奇函数在处有定义，即有意义，那么一定有
2、如果函数是偶函数，那么
3、既是奇函数又是偶函数的函数只有一种，即，，其中定义域D是关于原点对称的非空数集。
4、奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
5、偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量的值互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量的值也互为相反数.
6、在公共定义域内有：奇＋奇=奇；偶＋偶=偶；奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇
【例8】函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　 　)
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
【例9】设f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增加的，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是(　 　)
A．{x|－33} B．{x|x<－3或0C．{x|x<－3或x>3} D．{x|－3【例10】定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则不等式xf(x)<0的解集为( 　　)
A．(－3,0)∪(0,3) B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
C．(－3,0)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)
【例11】已知函数在R是奇函数，且当时，，则时，的解析式为 。
【例12】已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有.
（1）求的值；
(2) 判断的奇偶性并证明；
（3）如果，且在上是增函数，求的取值范围。
课后作业
下列函数不具备奇偶性的是（ ）
B. C. D.
已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意，都有成立，则的值为（ ）
A．2022　　　　 B．2020 C．0 D．2018
函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的x的取值范围是（ ）
A．　　　　 B． C． D．
4．下列说法中不正确的是(　 　)
A．图像关于原点成中心对称的函数一定是奇函数
B．奇函数的图像一定过原点
C．偶函数的图像若不经过原点，则它与x轴交点的个数一定是偶数个
D．图像关于y轴呈轴对称的函数一定是偶函数
5. 函数f(x)＝＋x－1，若f(a)＝2，则f(－a)＝ (　 　)
A．－2 B．2 C．1 D．－4
6. 已知定义域为R的函数f(x)在(2，＋∞)上是增加的，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则下列结论不成立的是 (　 　)
A．f(0)>f(1) B．f(0)>f(2) C．f(1)>f(2) D．f(1)>f(3)
7．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f(2x－1)<的x的取值范围是(　 　)
A. B. C. D.
8. 已知，其中为常数，若，则____
9．已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x2－1，那么f(－1)＝________
10．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[－2,0]上单调递减，若f(1－m)11．(1)函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增加的，试比较f(－2)与f(3)的大小；
(2)已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．
12．已知函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数且是减函数，若f(m－1)＋f(1－2m)≥0，求实数m的取值范围．

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