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微专题：数列不等式恒成立问题
【考点梳理】
数列不等式恒成立求参数范围的综合问题的解题策略有：①分离参数法：对于参数与主变量未分开的不等式恒成立问题，优先考虑分离参数，再转化为最值问题处理；②单调性法：对于与数列单调性有关的不等式恒成立问题，可以利用数列单调性定义转化为不等式恒成立问题的一般形式，再求参数范围；③最值(有界性)法：对于一边能求和(或放缩后能求和)的数列不等式恒成立问题，一般先求和再求出数列和的最值(或上界、下界)，进而求出参数范围.
【典例剖析】
典例1．已知数列的前n项和为，且，，若，则k的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
典例2．设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，是的间隔数.若是间隔递增数列，且最小间隔数是3，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
典例3．数列满足，，若为等比数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
典例4．{bn}为正项等比数列，b1=1.等差数列{an}的首项a1=2，且有a2=b3，a4=b4.记，数列{cn}的前n项和为Sn. ，k≤Sn恒成立，则整数k的最大值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【双基达标】
5．数列的前n项和为，且，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知数列中，，是公比为的等比数列，记，若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若是函数的极值点，数列满足，，设，记表示不超过的最大整数.设，若不等式对恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．设数列的前项和为，已知，若对恒成立，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知正项数列的前项和为，且满足，，，记数列的前项和为，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
10．对于数列，定义为数列的“加权和”，已知某数列的“加权和”，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，则实数p的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．， B． C．， D．
12．设为数列的前项和，，且.记为数列的前项和，若对任意，，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
13．已知数列中，，，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
14．设是以为首项，为公差的等差数列，是为首项，为公比的等比数列，记，则中不超过的项的个数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
15．已知数列满足，，记数列的前项和为则（ ）
A． B． C． D．
16．已知数列的前项和为，对任意，有，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
17．已知数列满足，若数列是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（ ）
A． B． C．(-1，1) D．
18．已知数列，满足，若的前项和为，且对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
19．已知数列满足，若对任意的正整数恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
20．形如的数被称为费马数，费马完成了,,,,的验证后，于1640年提出猜想：费马数都是质数，但由于及之后的费马数都实在太大了，费马也未能完成验证及证明.直到1732年才被数学家欧拉算出不是质数，从而宣告了费马数的猜想不成立.现设，若任意，使不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．(1,+∞) B． C．(,+∞) D．
21．已知数列的前项和为，，，且，若对任意都成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
22．已知数列满足，，令，若对于任意不等式恒成立，则实数t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
23．已知数列满足，，若对于任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．已知数列满足：，则下列选项正确的是（ ）
A．时， B．时，
C．时， D．时，
25．已知数列满足，，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
单选题
26．已知数列满足，，且，，则下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
27．已知数列是公比为的等比数列，是其前和，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
28．设，若数列是无穷数列，且满足对任意实数不等式恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A．存在数列为单调递增的等差数列 B．存在数列为单调递增的等比数列
C．恒成立 D．
二、多选题
29．已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，那么下列选项正确的是（ ）
A．数列是等比数列 B．数列的通项公式为
C． D．
30．已知正项数列满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等比数列 B．对任意的，
C．对任意都成立 D．
31．对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，则k的可能取值为（ ）
A．2 B． C． D．
32．设是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，k是的间隔数，下列说法正确的是（ ）
A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列
B．已知，则是间隔递增数列
C．已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是2
D．已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则
33．若不等式对于任意正整数n恒成立，则实数a的可能取值为（ ）
A． B． C．1 D．2
34．设数列是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，k是的间隔数．则下列说法正确的是（ ）
A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列
B．已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是4
C．已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是3
D．已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则
三、填空题
35．以为首项 以为公比的等比数列满足，，设数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围是______.
36．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，则满足的最大的正整数等于_________．
37．已知等比数列的前项和为，若，且.数列满足，若存在常数，使不等式恒成立，则的最小值为___________.
38．已知数列{an}对任意m，n∈N*都满足am+n=am+an，且a1=1，若命题“ n∈N*，λan≤+12”为真，则实数λ的最大值为____.
39．设为正数列的前项和，，，对任意的，均有，则的取值为__________.
40．已知数列{}中，＝，＝＋，若对于任意，使得＜恒成立，则实数的取值范围是__________．
41．已知数列的首项，且满足.若对于任意的正整数，存在，使得恒成立，则的最小值是___________.
42．已知，满足对于任意的，都有，设，若对于任意的，，都有成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题
43．在①数列为递增的等比数列，，且是和的等差中项，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求出k的最小值；若不存在，说明理由．
已知数列的前n项和为，____，，设数列的前n项和为，是否存在实数k，使得恒成立？
44．已知正项数列的首项，前n项和满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
45．为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是毫克，（即）.
(1)已知，求 ；
(2)该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m的最大值.
46．已知数列的前项和为，且满足，
(1)求和
(2)求证：．
47．已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．
48．已知数列的前项和满足：
（1）求证：数列是等比数列并写出的通项公式；
（2）设如果对任意正整数，都有，求实数的取值范围.
49．已知数列满足：，，，且；等比数列满足：，，，且．
(1)求数列、的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若不等式对任意都成立，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
【分析】由得数列的递推式，构造新数列是等比数列，求出后解不等式可得．
【详解】,
，，，
所以是等比数列，公比为2，所以，，
，．的最小值为6．
故选：B．
2．A
【解析】依题意得到，成立，则，对于 成立，且对于 成立，即可求出参数的取值范围；
【详解】解：若 是间隔递增数列且最小间隔数是 3，则
，成立，
则，对于 成立，且对于 成立，
即，对于 成立，且，对于 成立，
所以，且，
解得，
故选：A．
3．D
【分析】分别讨论两种条件下数列的通项公式，在根据确定的数列通项公式建立不等式求解参数的取值范围.
【详解】根据题意，时，，即，
此时，，
，，从而有，
此时，与为等比数列矛盾
由，得，
所以，当时，恒成立，即时，恒成立
即对恒成立，所以，
设，则
而，当时，
解得，，所以时有
即，当时，即
所以当时 所以，选项D正确，选项ABC错误
故选：D.
4．C
【分析】运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到an，bn，再由可得Sn单调递增，求得Sn的最小值，结合不等式恒成立思想可得所求k的最大值.
【详解】设正项等比数列{bn}的公比为q，q>0，等差数列{an}的公差为d，
由a1=2，b1=1，a2=b3，a4=b4，可得2+d=q2，2+3d=q3，
化为q3-3q2+4=0，即为（q+1）（q-2）2=0，
解得q=2（-1舍去），
则d=2，
所以an=2+2（n-1）=2n，bn=2n-1，
因为数列{cn}的前n项和为Sn. ，k≤Sn恒成立，
只需.
因为恒成立，
所以Sn单调递增，所以
可得k≤2，
即k的最大值为2.
故选：C.
5．A
【分析】根据，利用数列通项与前n项和的关系，求得，，再根据对任意，恒成立求解.
【详解】解：当时，，
∴，当时，符合上式，
∴，
∴．
当n为奇数时，，
令知，当时，，
∴，
当n为偶数时，，
令，
∴，
∴．
故选：A．
6．A
【分析】由递推关系得，结合若不等式对一切恒成立，代入解得或，分别讨论在这两个范围内的条件满足情况，从而解得参数a的范围.
【详解】由知，，
则
，
解得或，
若，则不可能对一切正整数成立；
若，则对一切正整数成立，只需即可，
即，
解得
故选：A
7．D
【分析】由极值点得数列的递推关系，由递推关系变形得数列是等比数列，求得，由累加法求得，计算出，然后求和，利用增函数定义得此式的最小值，从而得出的最小值，再由不等式恒成立可得的最大值．
【详解】，∴，即有，
∴是以2为首项3为公比的等比数列，∴，
∴，
∴，
又为增函数，当时，，，若恒成立，则的最大值为1010.
故选：D．
【点睛】思路点睛：本题考查函数的极值，等比数列的判断与通项公式，累加法求通项公式，裂项相消法求和，函数新定义，不等式恒成立问题的综合应用．涉及知识点较多，属于中档题．解题方法是按部就班，按照题目提供的知识点顺序求解．由函数极值点得数列的递推公式，由递推公式引入新数列是等比数列，求得通项公式后用累加法求得，由对数的概念求得，用裂项相消法求和新数列的前项和，并利用函数单调性得出最小值，然后由新定义得的最小值，从而根据不等式恒成立得结论．
8．B
【分析】由已知条件可得，，由累加法求得，又对恒成立，得，即，即可求解
【详解】由条件得，
于是可得，
又，即，
累加得到，
由对恒成立，得，
即，由得，
故选：B
9．B
【分析】由结合等比数列的定义得出，再由裂项相消法求出，进而得出恒成立，令，求出其单调性，进而得出实数的取值范围.
【详解】由，得，
又，是以为首项，2为公比的等比数列
恒成立等价于恒成立
令，则
当时，，当时，
当或时，取得最大值，
故选：B.
10．A
【分析】根据与的关系求出，再根据等差数列的求和公式求出，将化为对任意的恒成立，分类讨论可求出结果.
【详解】由，
∴时,，
∴，∴，
时，也成立，∴，
∴数列的前n项和为：
，
∵对任意的恒成立，∴，
即，
即，
即，
即，
即对任意的恒成立，
当时，对任意的恒成立，
因为，∴，所以，
当时，恒成立，，
当时，对任意的恒成立，
因为，∴，所以，
综上可得：实数p的取值范围为．
故选：A．
11．D
【分析】由等差数列通项公式得，再结合题意得数列单调递增，且满足，，即，再解不等式即可得答案.
【详解】解：根据题意：数列是首项为，公差为1的等差数列，
所以，
由于数列满足，
所以对任意的都成立，
故数列单调递增，且满足，，
所以，
解得．
故选：．
12．B
【分析】由已知得.再求得，从而有数列是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得，再利用分组求和的方法，以及等比数列求和公式求得，从而求得得答案.
【详解】解：由，得，∴.
又由，得，又，∴.所以，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，则，
∴，
∴，
∴.
∴.
∵对任意，，∴的最小值为.
故选：B.
13．B
【分析】由题意可得，运用累加法和“裂项相消法”求和可得，再将不等式恒成立问题转化为成立，由此可得实数的取值范围．
【详解】∵，∴，∴，∴
∴
∴ ．
∵，∴，∴，
故选：B．
14．C
【分析】求出数列、的通项公式，可得出数列的通项公式，利用分组求和法可求得，找出使得不等式成立的最大正整数的值，进而可得出结论.
【详解】由题意可得，，所以，，
则，
所以，数列单调递增，
因为，，则，
则使得不等式成立的最大正整数的值为.
因此，数列中不超过的项的个数为.
故选：C.
【点睛】本题考查数列不等式的求解，考查了数列单调性的应用以及分组求和法，考查计算能力，属于中等题.
15．A
【分析】分析可知对任意的，，则，推导出数列为单调递减数列，可得出，再利用不等式的性质推导出，即可求得，由此可得出合适的选项.
【详解】因为，，易知对任意的，，则，
所以，，即，故数列为单调递减数列，则，
由于，则，，
所以，，
所以，，
因此，.
故选：A.
16．D
【分析】由求得数列的奇数项递减，偶数项递增，求得奇数项的最大值，偶数项的最小值，根据不等式恒成立可得结论．
【详解】因为，所以时，，
两式相减得，
当为偶数时，，，
所以为奇数时，，这是一个递减数列，，所以，
当为奇数时，，，
所以为偶数时，，这是一个递增数列，，，
恒成立，所以（为奇数时）或（为偶数时），
所以，所以．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题考查数列不等式恒成立问题，解题关键是利用得出数列的递推关系，按的奇偶分类讨论得数列奇数项递减，偶数项递增，求出奇数项的最大值，偶数项的最小值，由不等式恒成立得出参数范围．
17．A
【解析】由题在恒成立，即 ，讨论为奇数和偶数时，再利用数列单调性即可求出.
【详解】数列是单调递减数列，在 恒成立，
即恒成立，
即，
当为奇数时，则恒成立，
单调递减， 时，取得最大值为 ，
，解得；
当为偶数时，则恒成立，
单调递增， 时，取得最小值为20，
，解得，
综上，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查已知数列单调性求参数，解题的关键由数列单调性得出恒成立，需要讨论 为奇数和偶数时的情况，这也是容易出错的地方.
18．D
【分析】由求得，即得，把不等式分离变量变形后转化为求新数列的最大项．
【详解】由题意，时，，
综上，，
题设不等式为，整理得，
记，则，
当时，，，时，，，
所以是中的最大值，，
所以．
故选：D．
19．A
【分析】依题意，即可得到是以为首项，以为公比的等比数列，从而求出，依题意可得恒成立，令，利用作差法说明的单调性，即可得到的最大值，即可得解；
【详解】解：因为，所以，所以是以为首项，以为公比的等比数列，所以，所以，恒成立，的最大值，令，，所以时，单调递增，时，单调递减，，的最大值，；
故选：A．
20．B
【分析】由题知，，进而根据裂项求和得，进而根据不等式恒成立即可得答案.
【详解】解：因为，，
所以，
所以，
所以
，
因为，，所以
所以，对任意，使不等式恒成立，则.
所以，实数的取值范围是.
故选：B
21．C
【分析】由与的关系得，则，设，利用数列的单调性即可求解．
【详解】解：数列的前n项和为，，，且，
所以，
故，
因为，所以，
所以，，，，
则，
故，
所以，
所以，
因为对任意都成立，
所以．
设，则，
当时，，当时，，
因此
即，故的最小值为．
故选：C
【点睛】本题解答的关键利用求出数列的递推公式，再利用累加法求出的通项；
22．D
【分析】根据递推关系，利用裂项相消法，累加法求出，可得，原不等式转化为恒成立求解即可.
【详解】，，
，
由累加法可得，
又，，
符合上式，，
，
对于任意不等式恒成立，则，解得.
故选：D
23．B
【解析】利用排除法，将，代入验证排除，即可得结果.
【详解】解：用排除法：当时，，明显有，
下面用数学归纳法证明，
当时，，成立；
假设当时，成立，
则当时，，
所以当时，成立，
综上：对任意，都有；
另外，
所以，
所以当时，恒成立，排除CD；
当时，，若，则，因为，此时是有可能的，故排除A，
故选：B.
【点睛】本题考查数列的函数性质，如单调性，值域，利用排除法可方便得出结果，是一道难度较大的题目.
24．D
【分析】由函数的单调性，可判定A、B不正确； 由，得到，得到，可判定C错误，D正确.
【详解】对于A中，由于，则，
又由函数，当时为单调递减函数，
可得，所以，所以A错误.
对于B中，由于，且，
由在上单调递增，
可得，所以B错误
对于C、D中，由于，可得，
当，时，可得，所以C不正确；
又由当，可得，从而，
利用叠加法，可得，
故当时，，所以D正确.
故选：D.
【点睛】方法点拨：构造函数，结合函数的单调性，是判定与的大小关系的关键；同时化简，得到是解答的关键.
25．C
【分析】由已知得，根据等比数列的定义得数列是首项为，公比为的等比数列，由此求得，然后利用裂项求和法求得，进而求得的取值范围.
【详解】解：依题意，当时，，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，，即，
所以，
所以
，
所以的取值范围是.
故选：C.
26．D
【分析】分析得出，可判断出CD选项的正误；分析得出，利用累加法可判断出A选项的正误；当时，分析得出，利用放缩法可判断D选项的正误.
【详解】由已知，数列满足，，且，，
即，
故，
由，，有，，故与同号，
因为，则，，，
以此类推可知，对任意的，，
所以，，则，所以，，D错；
，C对；
因为，则，，，，
累加得，所以，，可得，A对；
当时，，
故，B对.
故选：D.
【点睛】结论点睛：几种常见的数列放缩方法：
（1）；
（2）；
（3）.
27．A
【分析】根据分类讨论确定的表达式，再根据恒成立问题的解法即可求出．
【详解】当时，，符合题意；
当时，恒成立，
当时，不等式变形得，，因为，此时符合题意；
当时，不等式变形得，，因为，此时符合题意；
当时，若为偶数，则不等式变形得，，即，
若该不等式恒成立，则，即，所以设，
，，
所以当时，，此时，
此时该不等式不可能恒成立；
当时，，若该不等式恒成立，只需，
解得（舍去）或，综上，；
若为奇数，不等式变形得，，满足题意；
综上所述，实数的取值范围是．
故选：A．
28．D
【解析】求出，根据数列的性质可判断A、B，举例可判断C，利用数学归纳法判断D.
【详解】因为，，
当时，，解得。
当时，因为，所以，解得。
因为无穷数列，对任意实数不等式恒成立，
所以。
对选项A，若为单调递增的等差数列，设，
则，故A错误；
对选项B，若为单调递增的等比数列，设，
则，故B错误；
对选项C，因为，设，取，则，，显然不成立；故C错误；
对于选项D：当时，由，显然恒成立，
假设当时，成立，则当时，故恒成立，故D正确.
故选：D
【点睛】本题主要考查了数列的性质以及数学归纳法证明数列问题，综合性比较强，属于难题.
29．ABD
【分析】根据题设的关系，可判断是否为等比数列，进而可得的通项公式，应用分组求和及等比数列前n项和得，再写出通项，应用裂项法求，即可判断各选项的正误.
【详解】由题设知：，则且，即是等比数列；
∴，且，
又，
∴.
故选：ABD.
30．BCD
【分析】根据所给数列性质利用判断A，由函数不等式推导出可判断B, 利用B中结论递推可判断C，由对数运算及数列求和后放缩可判断D.
【详解】由，
显然，则不是等比数列，A；
由当且仅当时等号成立，由为正项数列，得，
故，故B正确；
由B知，故C正确；
则，故D正确.
故选：BCD
31．BCD
【分析】根据“好数”的定义求得，对也成立，可得，由于数列为等差数列，对任意的恒成立可化为，，结合选项即可得出答案．
【详解】由题意，，则，
时，，
两式相减得：，
所以，，
当时，上式对也成立，
故，
则，
则数列为等差数列，
故对任意的恒成立可化为，；
即，解得，．
结合四个选项，BCD符合的取值，
故选：BCD．
32．BCD
【分析】根据间隔递增数列的定义求解.
【详解】A. ，因为，所以当时，，故错误；
B. ，令，t在单调递增，则，解得，故正确；
C. ，当为奇数时，，存在成立，当为偶数时，，存在成立，综上：是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确；
D. 若是间隔递增数列且最小间隔数是3，
则，成立，
则，对于成立，且，对于成立
即，对于成立，且，对于成立
所以，且
解得，故正确.
故选：BCD
【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
33．ABC
【解析】根据不等式对于任意正整数n恒成立，即当n为奇数时有恒成立，当n为偶数时有恒成立，分别计算，即可得解.
【详解】根据不等式对于任意正整数n恒成立，
当n为奇数时有：恒成立，
由递减，且，
所以，即，
当n为偶数时有：恒成立，
由第增，且，
所以，
综上可得：，
故选：ABC.
【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中档题.
34．BD
【分析】根据间隔递增数列的定义，结合数列的增减性，进而求得答案.
【详解】对于A，设数列的公比为，则，
因为，所以，若，则，不是间隔递增数列，故A错误；
对于B，，易得是递增数列，
则，所以时，一定是间隔递增数列，且最小间隔数是4，故B正确；
对于C，，
当为奇数时，，显然时，，
当为偶数时，，显然时，，故C错误；
对于D，由是间隔递增数列，则对恒成立，
即对恒成立，则恒成立，
因为最小间隔是3，所以即对于恒成立，且时， ，于是，故D正确.
故选：BD.
35．
【解析】利用等比数列的前项和公式求出从而可得，进而可得，解不等式即可.
【详解】由题意得，
可得，所以，
所以，即.
故答案为：
36．25．
【分析】由，化简整理得到，求得，进而求得时，，根据，得到，即可求解.
【详解】由题意数列的各项均为正数，且满足，
当时，可得，
整理得，
又由，所以数列表示首项为1，公差为1的等差数列，所以，
因为数列的各项均为正数，可得，
所以当时，，
当时，，
由，即，即，
又由，所以，所以满足的最大的正整数等于.
故答案为：.
37．
【分析】由已知与作差，可求得等比数列的公比，从而得通项公式，再求出，利用基本不等式求得的最大值后可得结论．
【详解】将与作差，可得，即.
所以等比数列的公比.
因为，所以.
所以.所以.
因为，所以，当且仅当时“”成立.
所以.故的最小值为.
故答案为：．
38．7
【分析】先求出的通项公式，然后参变分离转化为求最值
【详解】令m=1，则an+1=an+a1，an+1－an=a1=1，所以数列{an}为等差数列，首项为1，公差为1，所以an=n，
所以λan ≤+12 λn≤n2+12 λ≤n+，
又函数在上单调递减，在上单调递增，
当或时，
所以
故答案为：7
39．2
【分析】由已知递推式，结合与的关系及等比数列的定义，可判断是公比为的正项等比数列，写出、，根据题设不等式恒成立可得恒成立，即可求值.
【详解】由题设知：当时，，即，
当时，，
综上知：是公比为的正项等比数列，即，而，
∴由题设知：对任意的，有成立，又，
∴，整理得：恒成立，而时，
∴.
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：由与的关系及等比数列的定义求、，根据数列不等式恒成立求值即可.
40．
【分析】由累加法得出，再由，解不等式得出实数的取值范围.
【详解】因为＝，，所以当时，，又＝，所以，由{}是单调递增数列知，所以，解得或.
故答案为：
41．3
【分析】根据数列的递推公式，运用累加法求出数列的通项公式，经分析得到，若对于任意的正整数，存在，使得恒成立，则有，进而求出的最小值.
【详解】数列满足，且，即，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
以上各式相加，得
又，，
，，
若对于任意的正整数，存在，使得恒成立，则有，
的最小值是3.
故答案为：.
42．
【分析】利用函数的图象的对称性求得，将整理为，由已知条件得到，求解即得.
【详解】∵对于任意的，都有，∴函数的对称轴为，∴，
∴
,
对于任意的，，都有成立，
∴,解得，
即实数的取值范围是,
故答案为：
43．答案见解析.
【分析】选①时，设数列为公比为q，由和等差数列的性质求得和，得通项公式，然后求得，用裂项相消法求得和，可得的值．选①时，利用求得通项公式，然后同选①求解．
【详解】解：若选①时，数列为公比为q的递增的等比数列，，且是和的等差中项，
故，解得，
整理得，
故或（舍去），
所以．
所以．
所以，
当时，使得恒成立，
故k的最小值为1．
若选②时，，
当时，
所以，（首项符合通项），
所以．
所以，
当时，使得恒成立，
故k的最小值为1．
44．(1)；
(2)或.
【分析】（1）化简数列的递推公式，得，进而可求解数列的通项公式；
（2）利用裂项法，求解，列出不等式，即求.
(1)
当时，，
∴，即，又，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故，
又由（），
当时，也适合，
所以.
(2)
∵，
∴，
又∵对任意的，不等式恒成立，，
∴，解得或.
即所求实数的范围是或.
45．(1)，；
(2)20毫克
【分析】（1）由，计算可得．
（2）由每次服药，药物在人体内的含量为本次服药量加上前次含量的可得递推关系式，变形后构造一个等比数列，求得通项公式后，由数列不等式恒成立及数列的单调性可得．
(1)
，；
(2)
依题意，，
所以，，
所以是等比数列，公比为，
所以，，
，，
数列是递增数列，且，所以，
即，
所以m的最大值是毫克．
46．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用可得，从而可求及.
（2）利用放缩法及裂项相消法可证不等式成立.
（1）时，，时，，所以，所以数列是以为首项，公差为的等差数列．所以，即，当时，，当时，，不满足上式，
所以，
（2）当时，，原式成立．
当时， 所以．
47．（I）；（II）证明见解析.
【分析】（I）根据，求得，进而求得数列的通项公式，利用累加法求得数列的通项公式.
（II）利用累乘法求得数列的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立.
【详解】（I）依题意，而，即，由于，所以解得，所以.
所以，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.
所以（）.
所以，又，符合，
故.
（II）依题意设，由于，
所以，
故
.
又，而，
故
所以
.
由于，所以，所以.
即， .
【点睛】本小题主要考查累加法、累乘法求数列的通项公式，考查裂项求和法，属于中档题.
48．（1）证明见解析，；（2）.
【分析】（1）由题设得且，即可得，等比数列得证，写出通项公式.
（2）由（1）得，则有，即可判断的最大项，而对任意正整数，都有，即为，进而求的范围.
【详解】（1）当时，，即，
当时，，即，
∴，而，即是首项为，公比为的等比数列，
∴，故.
（2）由（1）知：，
∴，
当时，；当时，；当时，，
∴，即.
∴对任意正整数，都有，即，
∴恒成立，得或，即.
【点睛】关键点点睛：
（1）通过构造的形式，根据定义证明等比数列，写出通项公式.
（2）利用的通项，结合的符号确定最大项，要使对任意正整数，都有，即恒成立，求参数范围.
49．(1)（），（），
(2)
【分析】（1）将已知给的式子，通过两边同除，然后再进行裂项，即可变成的形式，通过累加即可完成的求解，然后在求解， 为等比数列，可设出公比带入已知条件，求解出公比即可利用等比数列通项公式求解；
（2）利用第（1）问求解出得、的通项公式，使用错位相减的方法求解，然后带入中，通过讨论奇偶即可完成求解.
(1)
由两边同除得：，
两边同除得：，
则，
所以
，（）
所以，又符合，
故（），
由得：，解得：，
所以（）.
(2)
∵，
∴ ①
∴ ②
由①-②得：，

∴.
则，由得：
，
因为
所以当为偶数时，；当为奇数时，.
故
所以，即，
故的取值范围是.

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