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微专题：数学求和—倒序相加法求和
【考点梳理】
如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n项和公式的推导便使用了此法. 用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽.
【典例剖析】
典例1．设，
A．4 B．5 C．6 D．10
典例2．已知一个有限项的等差数列{an}，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为（ ）
A．12 B．14
C．16 D．18
典例3．已知数列的前项和为，满足，（均为常数），且.设函数，记，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
典例4．在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【双基达标】
5．已知数列，则（ ）
A．96 B．97 C．98 D．99
6．已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ）
A．100 B．105 C．110 D．115
7．已知函数，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得（ ）.
A．25 B．26 C．13 D．
8．已知函数，则的值为
A．4033 B．-4033
C．8066 D．-8066
9．已知函数，数列满足，则（ ）
A．2022 B．2023 C．4044 D．4046
10．对于函数，定义:设是的导数， 是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是对称中心.设函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知若等比数列满足则（ ）
A． B．1010 C．2019 D．2020
12．函数，其中，记，则（ ）
A． B．
C． D．
13．已知，（），则（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数满足，若函数与图象的交点为，则（ ）
A．0 B．n C． D．
15．已知函数为奇函数，，即，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
16．设,根据课本中推导等差数列前项和的方法可以求得的值是
A． B．0 C．59 D．
17．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则
A．2018 B．4036 C．2019 D．4038
18．已知函数，则（ ）
A．2018 B．2019
C．4036 D．4038
19．已知函数，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．2020 D．2021
20．设函数，求的值为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
单选题
21．已知某数列通项，则（ ）
A．98 B．99 C．100 D．101
22．已知是上的奇函数，,,则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
23．已知函数，若 ，则的最小值为
A． B． C． D．
24．已知各项都不相等的数列，2，，，圆，圆，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为（ ）
A．2014 B．2015 C．4028 D．4030
25．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为
A． B． C． D．
二、填空题
26．，且，则数列的通项公式为________．
27．设函数，数列满足，则______.
28．设数列的通项公式为该数列的前n项和为，则_________.
29．设数列的通项公式为，利用等差数列前项和公式的推导方法，可得数列的前2020项和为___________.
30．已知函数，满足（a，b均为正实数），则ab的最大值为______．
31．设函数，定义，其中，，则______.
32．设函数，，．则数列的前n项和______．
33．现有函数，设数列满足，若，则的前n项和_________．
三、解答题
34．已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)令，求数列的前2020项和.
35．设，是函数的图象上的任意两点．
（1）当时，求的值；
（2）设，其中，求；
（3）对应（2）中，已知，其中，设T为数列的前n项和，求证．
36．已知函数对任意的，都有，数列满足….求数列的通项公式.
37．求和
（1）；
（2），求；
（3），求．
38．对于序列，实施变换T得序列，记作；对继续实施变换T得序列，记作．最后得到的序列只有一个数，记作．
(1)若序列为1，2，3，求；
(2)若序列为1，2，…，n，求；
(3)若序列A和B完全一样，则称序列A与B相等，记作，若序列B为序列的一个排列，请问：是的什么条件？请说明理由．
39．已知为奇函数．
(1)求的值；
(2)若， ，求的值；
(3)当时，，求证：．
40．已知函数，.
(1)若，求函数在的值域；
(2)若， 求的值；
(3)令，已知函数在区间有零点，求实数k的取值范围.
四、双空题
41．已知数列的前项和为，且，设函数，则___________，___________.
试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
【解析】
【详解】
由于，故原式.
点睛：本题主要考查函数变换，考查倒序相加法.首先注意到要求值的式子的规律：第一个自变量和最后一个自变量的和为，第二个自变量和倒数第二个自变量的和为，依次类推.故猜想的值为常数或者有规律的数，通过计算可知，手尾两项的和为，由此求得表达式的值.
2．B
【解析】
【分析】
根据条件可得a1＋a2＋a3＋a4＝40，an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，倒序相加可得a1＋an＝30，再代入等差数列求和公式即可得解.
【详解】
由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝40，
an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，两式相加得a1＋an＝30.
又因为，
所以n＝14.
故选：B
3．D
【解析】
化简函数的解析式，利用数列的和，求出通项公式，判断数列是等差数列，然后求解数列的和即可．
【详解】
因为，
由，得，
又也满足上式，所以，
则为常数，所以数列为等差数列；
所以，
.
则数列的前项和为，
记，则，
所以，因此.
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：
求解本题的关键在于先由数列的前项和确定数列是等差数列，得出为定值，结合诱导公式，推出为定值，利用倒序相加法，即可求解.
4．B
【解析】
【分析】
利用倒序相加法得到，得到答案.
【详解】
依题意，记，
则，
又，两式相加可得
，
则.
故选：B．
5．C
【解析】
【分析】
令，利用倒序相加原理计算即可得出结果.
【详解】
令，
，
两式相加得：
，
∴，
故选:C．
6．D
【解析】
根据函数满足，利用倒序相加法求出，再求前20项和.
【详解】
因为函数满足，
①，
②，
由①②可得，，
所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查函数的性质及倒序相加法求和，属于基础题.
7．C
【解析】
先根据已知条件求出，再利用倒序相加法求和即可.
【详解】
解：，
，
即，
设，①
则，②
则①＋②得：，
故.
故选：C.
8．D
【解析】
【详解】
试题分析：，所以原式.
考点：函数求值，倒序求和法.
【思路点晴】本题主要考查函数求值与倒序相加法.注意到原式中第一个自变量加上最后一个自变量的值为，依此类推，第二个自变量加上倒数第二个自变量的值也是，故考虑是不是定值.通过算，可以得到，每两个数的和是，其中，所以原式等价于个即.
9．A
【解析】
【分析】
先求得，然后利用倒序相加法求得正确答案.
【详解】
∵，
∴．
∵，
∴．令，
则，两式相加得，
∴．
故选:A
10．C
【解析】
根据拐点的定义，求出对称中心，然后运用倒序相加法求值.
【详解】
，，令，
得，且，关于点对称，
，
故选:C
【点睛】
本题考查对新定义的理解，仔细审题是解题的关键，考查倒序法求和，属于中档题.
11．D
【解析】
【详解】
等比数列满足
即2020
故选：D
【点睛】
本题综合考查函数与数列相关性质，需要发现题中所给条件蕴含的倒数关系，寻找规律进而求出答案.
12．A
【解析】
【分析】
由条件结合对数运算性质可求，再结合倒序相加法求，利用裂项相消法求.
【详解】
，∴
，
，∴
，
故选：A．
13．C
【解析】
【分析】
利用累加法即可求出通项公式．
【详解】
解：∵，则当时，
，
……
，
，
∴，
化简得，
又，
∴，
经检验也符合上式，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查累加法求数列的通项公式，考查数列的递推公式的应用，考查倒序相加法求数列的和，考查计算能力，属于中档题．
14．D
【解析】
【分析】
由题意可得的图像关于点对称，函数的图像也关于对称，然后利用对称性以及倒序相加法即可得出答案.
【详解】
函数满足，
的图像关于点对称，而函数的图像也关于对称，
设
令，则，
，
令，则，
，
，
故选：D
【点睛】
本题考查了函数的对称性应用，考查了倒序相加法求和，解题的关键是找出中心对称点，属于中档题.
15．B
【解析】
由已知可得出，可推导出，利用倒序相加法可求得数列的前项和.
【详解】
由于函数为奇函数，则，即，
，，
所以，，
因此，数列的前项和为.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查数列的倒序相加法，解本题的关键在于利用奇函数的性质推导出，进而得出，根据此规律结合倒序相加法求解.
16．A
【解析】
【分析】
根据课本中推导等差数列前项和的方法，运用倒序相加法来求解
【详解】
令 ①
则 ②
①②可得：
故选
【点睛】
类比等差数列前项和的求法，代入角度后列出和的表达式，采用倒序相加法来求出结果，在计算过程中还运用了两角差的余弦公式，本题只要理解方法不难解答
17．C
【解析】
【详解】
∵正数数列是公比不等于1的等比数列，且
∴，即.
∵函数
∴
令，则
∴
∴
故选C.
点睛：倒序相加法求和，不仅应用在等差数列中，而且在函数中也有应用.等差数列中主要利用等差数列性质：若，则；函数中主要利用对称中心性质：若关于对称，则.
18．A
【解析】
【分析】
根据函数解析式可验证出，采用倒序相加法可求得结果.
【详解】
，，
令，
则，
两式相加得：，.
故选：.
【点睛】
本题考查倒序相加法求和的问题，解题关键是能够根据函数解析式确定为常数.
19．C
【解析】
【分析】
设，得到，再利用倒序相加求和得解.
【详解】
解：函数，设，则有，
所以，
所以当时，，
令，
所以，
故．
故选：C
【点睛】
方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
20．B
【解析】
【分析】
先计算出的值，然后利用倒序相加法即可计算出所求代数式的值.
【详解】
，，
设，
则，
两式相加得，因此，.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题．
21．C
【解析】
【分析】
观察要求解的式子，根据给的数列的通项公式，计算是否为定值，然后利用倒序相加的方法求解即可.
【详解】
由已知，数列通项，所以，
所以，
所以.
故选：C.
22．C
【解析】
由在上为奇函数，知，令，则，得到．由此能够求出数列的通项公式．
【详解】
由题已知是上的奇函数，
故，
代入得：，
∴函数关于点对称，
令，
则，
得到，
∵，
，
倒序相加可得，
即，
故选：C．
【点睛】
思路点睛：利用函数的性质以及倒序相加法求数列的通项公式问题.
先利用函数的奇偶性得到函数的对称中心，再用换元法得到，最后利用倒序相加法求解数列的通项公式.
23．A
【解析】
【分析】
根据，采用倒序相加的方法可得，从而得到，根据基本不等式求得最小值.
【详解】
由题可知：
令
又
于是有
因此
所以
当且仅当时取等号
本题正确选项：
【点睛】
本题考查倒序相加法求和、利用基本不等式求解和的最小值问题.关键是能够通过函数的规律求得与的和，从而能够构造出基本不等式的形式.
24．D
【解析】
【分析】
根据两圆的关系求出两圆的公共弦，求出圆的圆心，得到，利用倒序相加法即可求得结果.
【详解】
根据题意知，圆与圆相交，设交点为，，
圆，圆，
相减可得直线的方程为：
圆平分圆的周长，直线经过圆的圆心，
，．
的所有项的和为．
故选：D
【点睛】
方法点睛：求数列和常用的方法：
（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；
（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；
（4）等差等比数列：错位相减法.
25．B
【解析】
【分析】
由在上为奇函数，知，令，则，得到．由此能够求出数列的通项公式．
【详解】
由题已知是上的奇函数
故，
代入得：
∴函数关于点对称，令，则，得到．
∵，
倒序相加可得，即 ，
故选B．
【点睛】
本题考查函数的基本性质，借助函数性质处理数列问题问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解．属难题
26．
【解析】
【分析】
根据函数的解析式，求得，结合倒序相减法，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
可得，
可得，
则，
可得，
所以，即数列的通项公式为.
故答案为：.
27．
【解析】
【分析】
由题得，设,考虑一般情况，，即得解.
【详解】
由题得,，
两式相加得，
考虑一般情况，设,
则
所以
故答案为：
【点睛】
本题主要考查对数的运算和倒序相加求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
28．
【解析】
利用诱导公式和同角三角函数基本关系式可知，再利用倒序相加法求和.
【详解】
，
，
，
，，，…，
，
，
，
.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题考查求三角函数的和，解题关键是找到，然后利用倒序相加法求和.
29．
【解析】
【分析】
由题设函数式易得，再由，应用倒序相加得，即可求数列的前2020项和.
【详解】
∵，
又，
∴，
∴，
∴.
故答案为：
30．4
【解析】
由，然后配对(用倒序相加法)可求和，从而求出的关系，可得出答案.
【详解】
由.
所以，且a，b均为正实数.
则当且仅当 时取等号.
故答案为：4.
31．0
【解析】
【分析】
由函数的解析式可得，由倒序相加法可得答案.
【详解】
由题意，
所以
由 ①
则 ②
由①+②得
所以
故答案为：0
32．
【解析】
【分析】
由题设，讨论n的奇偶性求的通项公式，再求.
【详解】
由题设，，
所以，
即且n ≥ 2，
当时，，
当时，，
所以，
故答案为：.
33．
【解析】
【分析】
根据可推出，由此可采用倒序相加的方法求得，继而得的表达式，采用错位相减法可求得数列的前n项和.
【详解】
由得，
，
由，
得，
故，
故，
所以，
则，
两式相减得：
故，
故答案为：
34．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）由题意可得：，由即可求解；
（2）求出的表达式，由指数的运算即可求解；
（3）结合（2）的结论，利用倒序相加法即可求解.
（1）因为点均在函数的图象上，所以，当时，，当时，，适合上式，所以.
（2）因为，所以，所以.
（3）由（1）知，可得，所以，①又因为，②因为，所以①②，得，所以.
35．（1） 1 （2） （3） 证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由已知条件以及对数运算法则化简即可；
（2）利用倒序相加求和法得到结果；
（3）先化简，再放缩，最后根据裂项相消法求和，即证得不等式。
【详解】
（1），是函数的图象上的任意两点，
，，且时，
（2），
，
， ①
， ②
由①②，得：
，，故；
（3），
，
，，是单调递增数列，
，
所以
，
.
【点睛】
关键点睛：本题考查函数值的求法，考查数列前项和的求法，考查不等式的证明，解答本题的关键是观察出，由倒序相加法求和，由，放缩后裂项相消法可求和，属于压轴题.
36．
【解析】
【分析】
由题得，所以….①….②，两式相加即得解.
【详解】
因为，
.
故….①
….②
①+②，得，.
所以数列的通项公式为.
37．（1）；（2）若时，；
若时，=；（3）
【解析】
【分析】
（1）使用裂项相消法求和法；
（2）时，转化为等差数列求和；时，用乘公比错位相减法求和；
（3）当为偶数时，转化为等差数列求和；当为奇数时，为偶数，使用上面的结果求出，然后再加上第项即可.
【详解】
解（1），
．
（2）若，则；
若， ①
． ②
，得
．
．
（3）当为偶数时，
．
由，可知，
；
当为奇数时，
．
，.符合；
综上，
【点睛】
这三小题是数列求和的常见形式，应切实把握．尤其是第（2）小题，在时，乘公比，错后一项，相减，然后应用等比数列求和公式求和，环环相扣．既要注意求和时的项数，还要留意符号，稍有不慎，就可能算错，应通过适量练习，学好这种算法．第（3）小题是正负相间的波动数列求和的例子，用的是配对求和的方法．这种方法常常很有效，对奇数情形的处理策略是将其转化为已经解决过的偶数情况.属于中档题.
38．(1)
(2)
(3)充分不必要条件
【解析】
【分析】
（1）根据所给定义计算可得；
（2）根据归纳推理可得，利用倒序相加法，化简即可得结果.
（3）根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
(1)
解：序列为1，2，3，，，，即8，．
(2)
解：时，
时，．
时，，
时，，
，
取时，，
取时，①，
则②，
①②得，
所以．
由序列为1，2，，，可得．
(3)
解：序列为序列，2，，的一个排列，．而反之不成立．
例如取序列为：，，，2，1，满足．
因此是的充分不必要条件．
39．(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数的性质求解即可.
（2）首先根据题意得到，再利用倒序相加求解即可.
（3）当时，显然成立，当时，根据，利用缩放法证明即可.
(1)
因为为奇函数，定义域为，
所以，所以.
当时，
故是奇函数．综上．
(2)
，
.
令，
则，
两式相加得：，所以.
故.
(3)
因为
当时，
所以不等式成立.
当时，因为
所以
综上，当，恒成立．
40．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用指对恒等式化简得，利用二次函数的性质求值域.
（2）通过验证，利用倒序相加法求值.
（3）设，，则方程等价于，故有零点，即求的值域.
(1)
若
，
当上函数为增函数，
则函数的最大值为，函数的最小值为，则函数的值域为.
(2)
若，则，
则，
设
则
两式相加得，即，则
故.
(3)
令
，
设，当，则，则函数等价为，
若函数在区间有零点，
则等价为在上有零点，
即在上有解，
即在上有解，
即，
设，则，则，则在上递增，
则当时，，当时，，
∴，即，即实数k的取值范围是.
41． ##
【解析】
【分析】
根据，作差即可求出的通项公式，再由的解析式及诱导公式得到，再利用倒序相加法求和.
【详解】
解：由于，①，
当时，所以，
当时，，②，
①②得：，
所以，显然时也成立，
当时，，
当时也成立，所以；
根据函数，
所以，，
所以；
所以
．
故答案为：；

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