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复数
01 复数的概念
一、复数的有关概念
1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，
满足，实部是，虚部是.
2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1.我们把i叫作虚数单位．
3、表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)．
4、复数集
①定义：全体复数所成的集合．
②表示：通常用大写字母C表示．
【注意】复数概念说明：
（1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，
其中0＝0＋0i.
（2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi.
（3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
二、复数的分类
对于复数a＋bi，
（1）当且仅当b＝0时，它是实数；
（2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；
（3）当b≠0时，叫做虚数；
（4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．
这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：
.
【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
三、复数相等
在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，
我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
四、复数的集合意义
1、复平面
当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．
2、复数的几何意义
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的．
【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系
实轴上的点都表示实数；
除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，
原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
3、复数的模
（1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值
（2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.
（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
五、共轭复数
如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．
复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi.
示例：z＝2＋3i的共轭复数是＝2－3i.
【注意】（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝，
也就是，任一实数的共轭复数是它本身．
（2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等．
02 复数的四则运算
一、复数的加法
1、加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，
规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数．
注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形，
即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，
则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i.
2、加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C，
有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、复数的减法
1、相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义，
存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数．
2、减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.
即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数．
三、复数加法与减法的几何意义
1、复数可以用向量来表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)，
其对应的向量，，
如图1，且和不共线，
以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，
根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量，
而所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)，
这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对．
2、复数的减法是加法的逆运算，如图2，
复数与向量等于）对应，
这就是复数减法的几何意义．
【注意】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差．
（2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则．
（3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行．
拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
四、复数的乘法
1、运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1，
并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式．
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
显然两个复数的积仍是复数．
2、复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有
（1）z1·z2＝z2·z1(交换律)；
（2）(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)；
（3）z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)．
【注意】实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立．
3、复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有
zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)．
【注意】实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立．
4、虚数单位i的乘方
计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i.
五、复数的除法
规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0）
在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，
再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果．
【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数．
（2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段．
六、复数方程的解
在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法：
（1）求根公式法：
①当时， ②当时，
（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为，
将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解。
03 复数的三角表示
一、复数的辅角
1、辅角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辅角.
2、辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，
且这些值相差的整数倍.
规定：其中在范围内的辅角的值为辅角的主值，通常记作
【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的。
二、复数的三角形式
定义：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辅角.
【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。
三、复数的代数式与三角式互化
1、将复数化为三角形式时，要注意以下两点：
（1），
（2），，其中终边所在象限与点所在象限相同，
当，时，
2、每一个不等于零的复数有唯依的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。
四、复数乘法运算的三角表示及其几何意义
1、复数乘法运算的三角表示：已知，，
则
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和。
2、复数乘法运算的几何意义：两个复数，相乘时，分别画出与，对应的向量，，
然后把向量绕点按逆时针方向旋转（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义。
3、复数乘法运算三角表示推广：
特别的，当时，
五、复数除法运算的三角表示及其几何意义
1、复数除法运算的三角表示：已知，
则
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，
商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差.
2、两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点按顺时针方向旋转（如果，就要把绕点按逆时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是商，这就是复数除法的几何意义。
04 复数专题：利用复数几何意义求与模有关的最值问题
一、复数的几何意义
每个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；
反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数与它对应.
复数集中的数与复平面内的点建立了一 一对应的关系，
复数在复平面内的对应点
二、复数模的几何意义
1、向量的模叫做复数的模或绝对值，记作或，
即，其中、
表示复平面内的点到原点的距离；
2、的几何意义：复平面中点与点间的距离，如右图所示。
示例：表示：点到点的距离
小结：复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，
若，则表示复平面内点与点之间的距离，
则表示以为圆心，以r为半径的圆上的点.
三、圆外一点到圆上一点的距离最值问题
如图所示，点在圆上运动，在圆上找一点使得最小（大）
如图，当为连线与圆交点时，最小，最小为；
当在延长线与圆交点时，最大，最大为

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