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计数原理
01 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
知识点一：分类加法计数原理(也称加法原理)
1．分类加法计数原理：
完成一件事,有类办法.在第1类办法中有种不同方法,在第2类办法中有种不同的方法,……,在第类办法中有种不同方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
2．加法原理的特点是：
① 完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类；
② 用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；
③ 把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．
知识点诠释：
使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和。
知识点二、分步乘法计数原理
1.分步乘法计数原理
“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算完成．
2．乘法原理的特点：
① 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；
② 完成每一步有若干种方法；
③ 把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．
知识点诠释：
使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积。
知识点三、分类计数原理和分步计数原理的区别：
1．分类计数原理和分步计数原理的区别：
两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.
完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则用加法原理；
若完成某件事需分n个步骤，这n个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n个步骤依次都完成后，这件事才算完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算．
知识点四、分类计数原理和分步计数原理的应用
1.利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序：
（1）首先明确要完成的事件是什么，条件有哪些？
（2）然后考虑如何完成？主要有三种类型
①分类或分步。
②先分类，再在每一类里再分步。
③先分步，再在每一步里再分类，等等。
（3）最后考虑每一类或每一步的不同方法数是多少？
02 排列与组合
知识点一、排列的概念
1.排列的定义：
一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
要点诠释:
（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．
（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．
（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列．
知识点二：排列数
1.排列数的定义
从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示.
要点诠释:
“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；
2．排列数公式
，其中n，m∈N+，且m≤n．
要点诠释:
公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数。
知识点三：阶乘表示式
1．阶乘的概念：
把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘.表示：，即.
规定：．
2.排列数公式的阶乘式：
所以．
知识点四：排列的常见类型与处理方法
1.相邻元素捆绑法
2.相离问题插空法
3.元素分析法
4.位置分析法
知识点五：组合
1.定义：
一般地，从个不同元素中取出（）个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．
要点诠释：
（1）从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关．
排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别．
（2）如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或未被取到.
知识点六：组合数及其公式
1.组合数的定义：
从个不同元素中取出（）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作．
要点诠释：
“组合”与“组合数”是两个不同的概念：
一个组合是指“从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数”，它是一个数．
2．组合数公式：
(1)（、，且）
(2)（、，且）
要点诠释：
上面第一个公式一般用于计算，但当数值、较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式．
知识点七：组合数的性质
性质1：（、，且）
性质2：（、，且）
要点诠释：
规定：.
知识点八、组合问题常见题型
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：
“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
（2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型：
解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
（3）分堆问题
①平均分堆，其分法数为：．
②分堆但不平均，其分法数为．
（4）定序问题．
对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列．
（5）相同元素分组问题用“隔板法”：
03 二项式定理
知识点一：二项式定理
1.定义
一般地,对于任意正整数,都有：
()，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做的二项展开式。
式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：，
其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数
2．二项式(a+b)n的展开式的特点：
(1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；
(2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n；
知识点二、二项展开式的通项公式
二项展开式的通项：
（）
公式特点：
①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是；
②字母b的次数和组合数的上标相同；
知识点三：二项式系数及其性质
1.的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质：
①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即；
②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大.
③各二项式系数之和为，即；
④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，
即。
知识点诠释：
二项式系数与展开式的系数的区别
二项展开式中，第r+1项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等。
2.展开式中的系数求法（的整数且）
知识点诠释：
三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。
知识点四：二项式定理的应用
1.求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）.
2.利用赋值法进行求有关系数和。
3.利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：
4.证明有关的不等式问题：
5.进行近似计算

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