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随机变量及其分布
01 条件概率与全概率公式
【知识点梳理】
1．条件概率的概念
条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．
2．概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称上式为概率的乘法公式．
3．条件概率的性质
设P(A)>0，则
(1)P(Ω|A)＝1；
(2)如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；
(3)设和B互为对立事件，则P( )＝1－P(B)．
4．全概率公式
在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B.
我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一．
5．贝叶斯公式
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B Ω，P(B)>0，
有P(Ai＝
i＝1，2，…，n.
6．在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为先验概率和后验概率．
02 离散型随机变量及其分布列
【知识点梳理】
1．随机变量
随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件．
定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．
2．离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值.
3.随机变量和函数的关系
随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集．
4．离散型随机变量的分布列
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和
(1)离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为 x1，x2，…，xn ，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称为分布列．
(2)可以用表格来表示X的分布列，如下表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图．
5．离散型随机变量的分布列的性质
(1)pi≥0，i＝1，2，…，n；
(2) p1＋p2＋…＋pn＝1.
6．两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示
X 0 1
P 1－p p
我们称X服从两点分布或0－1分布．
03 离散型随机变量的数字特征
【知识点梳理】
1．离散型随机变量的均值或数学期望
正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．
2．两点分布的期望
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p；
3．离散型随机变量的均值的性质
设X的分布列为P(X＝xi)＝ pi，i＝1，2，…，n.
一般地，下面的结论成立：E(aX＋b)＝aE(X)＋b．
4．离散型随机变量的方差、标准差
正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值
设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2 ，…，(xn－E(X))2 ，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称
D(X)＝(x1－E(X))2 p1 ＋(x2－E(X))2 p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi
为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)．
5．几个常见的结论
(1)D(aX＋b)＝a2D(X)．
(2)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
04 二项分布与超几何分布
【知识点梳理】
1．n重伯努利试验的概念
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
2．n重伯努利试验具有如下共同特征
(1)同一个伯努利试验重复做n次；
(2)各次试验的结果相互独立．
3．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
4．一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
1．超几何分布
超几何分布模型是一种不放回抽样
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中n，N，M∈N* ，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
2．超几何分布的期望
E(X)＝＝np(p为N件产品的次品率)．
05正态分布
【知识点梳理】
1．正态曲线
正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线
函数f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数．
显然对于任意x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1．我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)，特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．
2．由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点
(1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(2)曲线在x＝μ处达到峰值；
(3)当无限增大时，曲线无限接近x轴．
3．正态分布的期望与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2．
4．正态变量在三个特殊区间内取值的概率
(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；
(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；
(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.

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