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圆的方程知识点与题型归纳
一、知识点
圆的定义及方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心(a，b)，半径r
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0) 圆心，半径
[释疑]：
(1)由方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0得，
当且仅当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆：
当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解,表示一个点；
当D2＋E2－4F<0时，方程没有实数解，不表示任何图形．
(2)若一个二元方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，应满足的条件是：
①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4F>0
(3)圆的标准方程与一般方程的相互转化，如图所示．
2.几种特殊位置的圆的方程
条件 方程形式
标准方程 一般方程
圆心在原点 x2+y2=r2(r≠0) x2+y2-r2=0(r≠0)
过原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2 x2+y2+Dx+Ey=0
圆心在x轴上 (x-a)2+y2=r2(r≠0) x2+y2+Dx+F=0
圆心在y轴上 x2+(y-b)2=r2(r≠0) x2+y2+Ey+F=0
圆心在x轴上且过原点 (x-a)2+y2=a2(a≠0) x2+y2+Dx=0
圆心在y轴上且过原点 x2+(y-b)2=b2(b≠0) x2+y2+Ey=0
与x轴相切 (x-a)2+(y-b)2=b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
与y轴相切 (x-a)2+(y-b)2=a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0
3.点与圆的位置关系
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝.
位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点
点在圆外 d=|CP|＞r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 ＋＋Dx0＋Ey0＋F>0
点在圆上 d＝|CP|=r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 ＋＋Dx0＋Ey0＋F＝0
点在圆内 d=|CP|4．确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上；
(3)两条弦的垂直平分线的交点为圆心；
(4)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
5. 圆的常用性质
(1)圆心到圆上的点的距离等于半径；
(2)圆心到圆的切线的距离等于半径；
(3)r2＝d2＋()2，其中r为圆的半径，d为弦心距，l为弦长．
6.求轨迹方程的常用方法
(1)直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程．
步骤如下：
①建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为M（x，y）；
②几何点集：写出满足题设的点M的集合P={M|P (M)}；
③翻译列式：将几何条件P（M）用坐标x、y表示，写出方程f (x,y)=0；
④化简方程：通过同解变形化简方程；
⑤查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点．
(2)代入法(也称相关点代入法)：对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法．
步骤如下：
①设所求轨迹上任意一点Q(x，y)，与点Q相关的动点P(x0，y0)；
②根据条件列出x，y与x0，y0的关系式，求得x0，y0(即用x，y表示出来)；
③将x0，y0代入已知曲线的方程，从而得到点Q(x，y)满足的关系式即为所求的轨迹方程．
二、题型归纳
题型1 求圆的方程
求圆的方程的两种方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
【例1】.已知圆C的圆心在y轴上，且过点A(4,4)，B(－4,0)，则圆C的标准方程是________．
【解】：设圆C的圆心C(0，n)，由|CA|＝|CB|得(0－4)2＋(n－4)2＝(0＋4)2＋n2，解得n＝2.
即圆心C(0,2)，圆C的半径r＝.
所以圆C的标准方程为x2＋(y－2)2＝20.
【例2】.△ABC的三个顶点分别为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求其外接圆的标准方程．
【解】：法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
因为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，
所以它们的坐标都满足圆的方程，于是有,解得,
故所求外接圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
法二：因为A(0，5)，B(1，－2)，所以线段AB的中点的坐标为，
直线AB的斜率kAB＝ ＝-7.
所以线段AB的垂直平分线的方程是，即x－7y＋10＝0，
同理，线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0.
由,得圆心的坐标为(－3，1)．
又因为圆的半径长r＝，
所以所求外接圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
法三：设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题意有，解得．
故所求的圆的方程为x2+y2+6x―2y―18=0．
【例3】.已知圆经过点(4，2)和(－2，－6)，该圆与坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．
【解】:设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
因为圆经过点(4，2)和(－2，－6)，代入圆的一般方程，得
设圆在x轴上的截距为x1，x2，它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，则x1＋x2＝－D.
设圆在y轴上的截距为y1，y2，它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，则y1＋y2＝－E.
由已知，得－D＋(－E)＝－2，即D＋E－2＝0.③
联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20.
所以所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
题型2 点与圆的位置关系的判断
【例4】．判断点M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)与圆(x―5)2+(y―6)2=10的位置关系．
【解】：因为圆的方程为(x―5)2+(y―6)2=10，
分别将M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)代入得
(6―5)2+(9―6)2=10，所以M在圆上；
(3―5)2+(3―6)2=13＞10，所以N在圆外；
(5―5)2+(3―6)2=9＜10，所以Q在圆内．
【例5】.点(a+1，a―1)在圆x2+y2-2ay-4=0的内部，则a的取值范围是________．
【解】：因为点(a+1，a―1)在圆x2+y2-2ay-4=0的内部(不包括边界)，
所以(a+1)2+(a-1)2-2a(a-1)-4<0，整理得：a＜1．故答案为：(－∞，1)．
【例6】.已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　　)
A．点P在圆C内 B．点P在圆C外 C．点P在圆C上 D．无法确定
【解】：由题意，a＋b＝1，ab＝－，所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2<8，
所以点P在圆C内，故选A.
题型3 求动点的轨迹方程
【例7】．已知曲线C上任意一点到原点的距离与到A（3，―6）的距离之比均为．
(1)求曲线C的方程．
(2)设点P（1，―2），过点P作两条相异直线分别与曲线C相交于B，C两点，且直线PB和直线PC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值．
【解】：(1)曲线C上的任意一点为Q（x，y），
由题意得
(2)证明：由题意知，直线PB和直线PC的斜率存在，且互为相反数，P（1，―2），
故可设PA：y+2=k（x―1），
由,
因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得，
同理，，
所以
故直线BC的斜率为定值．
【例8】.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹．
【解】:设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4，3)且点C是线段AB的中点，
所以4＝，3＝，
于是有x0＝8－x，y0＝6－y.①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，即(x0＋1)2＋＝4，②
把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，
整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.
所以，点B的轨迹是以(9，6)为圆心，半径长为2的圆．
精选练习
1．圆(x―1)2+y2=1的圆心到直线的距离是( )
A． B． C．1 D．
2．圆心在y轴上且过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0 C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
3．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是(　　)
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
4．点P（m2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是( )
A．点P在圆外 B．点P在圆上 C．点P在圆内 D．不确定
5．若方程x2+y2+2λx+2λy+ 2λ2―λ+1=0表示圆，则λ的取值范围是( )
A．（1，+∞） B． C． D．R
6.方程所表示的曲线是( )
A．一个圆 B.圆 C． 半个圆 D． 四分之一个圆
7．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为(　　)
A．2 B．1 C. D.
8．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线
的方程为(　　)
A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0 C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0
9．点P（4，―2）与圆x2+y2=4上任一点连结的中点轨迹方程是（ ）
A．(x―2)2+(y+1)2=1 B．(x―2)2+(y―1)2=4 C．(x―4)2+(y―2)2=1 D．(x―2)2+(y―1)2=1
10．已知A(－1，4)，B(5，－4)，则以AB为直径的圆的标准方程是________．
11．已知圆x2+y2+kx+2y+k2=0，当该圆面积取得最大值时，圆心坐标为________．
12．已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程．
平面直角坐标系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？
已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为，求圆的方程．
15.已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
16.已知点P到两个顶点M（―1，0），N（1，0）距离的比为
(1)求动点P的轨迹C的方程
(2)过点M的直线l与曲线C交于不同的两点A，B，设点A关于x轴的对称点Q（A，Q两点不重合），证明：点B，N，Q在同一条直线上
17.已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
答案与解析
1．【解析】：圆(x―1)2+y2=1的圆心为(1，0)，由点到直线的距离公式得．故选：A.
2.【解析】：设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，所以圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2.
因为点(3，1)在圆上，所以9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5，
所以圆的方程为x2＋y2－10y＝0.故选：B
3.【解析】：如图，结合圆的性质可知，圆的半径.
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故选：B
4．【解析】：因为(m2)2+52=m4+25＞24，所以点P在圆外．故选：A.
5．【解析】：因为方程x2+y2+2λx+2λy+2λ2―λ+1=0表示圆，所以D2+E2―4F＞0，
即4λ2+4λ2―4(2λ2―λ+1)＞0，解不等式得λ＞1，
即λ的取值范围是（1，+∞）．故选：A．
6．【解析】:方程可以等价变形为(x-1)2+(y-1)2=1，
且．即1,．
所以，方程所表示的曲线是半个圆．故选：C.
7.【解析】：由几何意义可知最小值为14－＝1.故选：B
8.A
9．【解析】：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，即，
代入x2+y2=4，得(2x―4)2+(2y+2)2=4，化简得(x―2)2+(y+1)2=1．故选：A.
10.【解析】:，则r＝5，AB的中点坐标为，即(2，0)．故所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝25.
或：利用结论(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
11．【解析】:当圆的半径长最大时，圆的面积最大．
由x2+y2+kx+2y+k2=0得，．
当k=0时，最大，半径长也最大，此时圆心坐标为（0，―1）．
12．【解】:设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4.圆心C(3,3)．
因为CM⊥AM，所以kCM·kAM＝－1，即，
即x2＋(y＋1)2＝25.
所以所求轨迹方程为x2＋(y＋1)2＝25(已知圆内的部分)．
13．【解】:能．设过A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
将A，B，C三点的坐标分别代入有,解得,
所以圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.
将D(－1,2)代入上式圆的方程，得(－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5，
即D点坐标适合此圆的方程．
故A，B，C，D四点在同一圆上．
14．【解】:设圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，① 将P、Q的坐标分别代入①，
得
令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④
由已知|y1－y2|＝，其中y1，y2是方程④的两根．
所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.⑤
解②③⑤联立成的方程组，得或.
故所求方程为：x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
15.【解】：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
16．【解】：（1）设P（x，y），则
因为点P到两个顶点M（―1，0），N（1，0）距离的比为，
所以，整理得x2+y2―6x+1=0，
所以动点P的轨迹C的方程是x2+y2―6x+1=0；
（2）证明：由题意，直线l存在斜率，设为k（k≠0），直线l的方程为y=k（x+1）
代入x2+y2―6x=1=0，化简得(1+k2)x2+(2k2―6)x+k2+1=0，
Δ＞0，可得―1＜k＜1．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则Q（x1，―y1），且x1x2=1，
所以，
所以B，N，Q在同一条直线上．
17.【解】：(1)法一　设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3，且x≠－1.
又因为kAC＝，kBC＝，且kAC·kBC＝－1，
所以·＝－1，化简，得x2＋y2－2x－3＝0.
所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)．
法二　同法一，得x≠3，且x≠－1.
由勾股定理，得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)．
法三　设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1，0)．
由直角三角形的性质，知|CD|＝|AB|＝2.
由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
设C(x，y)，则直角顶点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，
因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
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