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第六节 圆的一般方程
知识清单
1．圆的一般方程
（1）方程方叫做圆的一般方程．
（2），配方后
①当时，方程表示一个圆，圆心，半径；
②当时，方程表示一个点；
③当时，方程没有意义．
2．圆的一般方程的求法
（1）圆心在圆上任意两点组成的线段的中垂线上；
（2）平面内不共线的三个点可以确定一个圆，可以将三个点的坐标代入圆的一般方程，列三元一次方程组求解圆的方程；
（3）直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点上，等边三角形的外心与重心重合．
3．半圆方程
（1）方程代表圆的上半圆；
（2）方程代表圆的下半圆；
（3）方程代表圆的右半圆；
（4）方程代表圆的右半圆．
4．与圆有关的轨迹方程
（1）阿波罗尼斯圆：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆；
（2）定义法，直接法，相关点法三种方法的理解与运用．
题型训练
题型一 圆的一般方程的应用
1．圆的半径是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．已知圆的方程圆心坐标为，则它的半径为（　 　）
A．3 B． C．5 D．4
3．若方程表示圆，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
4．若圆关于直线对称，那么必有（　　）
A． B． C． D．
5．若圆上存在不同的两点关于直线对称，则　 　
6．已知，若方程表示圆，则圆心坐标是 　
题型二 求圆的一般方程
①已知圆经过三点求圆的方程
7．已知三点，则外接圆的半径为（　　）
A．10 B．25 C．5 D．
8．已知三点，则外接圆的圆心到原点的距离为（　　）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，经过三点的圆的标准方程为　 　
10．已知圆经过点，则圆与两坐标轴的四个截距之和为　 　
②已知圆过两点和圆心关系求圆的方程
11．圆心在直线上，并且经过点和的圆的半径为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．已知圆经过点和，且直线平分圆，则圆的方程为　
题型三 与圆有关的轨迹方程
①定义法
判断动点轨迹满足某种曲线的定义，找出相关量求出标准方程．
13．已知动点P到定点的距离为2，则动点P的轨迹方程为
14．已知点与点，若动点P满足，则点P的轨迹方程为
②相关点法
当动点与已知曲线上一点存在某种关系时，可以用含的式子表示，用含的式子表示，然后将含的坐标代入已知曲线方程，化简即可．
15．动点A在圆上移动，它与定点连线的中点的轨迹方程为
16．已知定点与圆，且点为圆上一动点，若动点M满足，则点的轨迹方程为
③直接法
设动点坐标为，利用已知条件，找出的关系式（距离公式，勾股定理，斜率关系等等）．
17．若平面内两定点间的距离为2，动点P满足，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
18．已知圆，过作圆的割线，则弦中点的轨迹方程是（　　）
A． B．
C． D．
19．已知两定点，若动点P满足，则点的轨迹方程为　 　
20．已知，若动点P满足，则的轨迹方程为
21．已知点，圆，过点的动直线与圆交于两点，则线段的中点的轨迹方程为　 　
22．过动点M作圆的切线，其中为切点，若（为坐标原点），则的轨迹方程为 ，的最小值为 　
综合训练
1．圆的圆心坐标是（　　）
A． B． C． D．
2．已知是实常数，若方程表示的曲线是圆，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
3．若直线平分圆，则的值为（　　）
A．2 B． C． D．0
4．过三点的圆的方程是（　　）
A． B．
C． D．
5．当圆的面积最大时，圆心坐标是（　　）
A． B． C． D．
6．已知点在圆外，则的取值范围（　　）
A． B．或 C． D．
7．若圆上所有的点均在第二象限内，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．已知点是圆上的任意一点，那么点与原点距离的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知圆，点在圆上，平面上一动点满足且，则的最大值为（　　）
A．8 B． C．4 D．
10．已知圆与圆，点分别是上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
11．方程表示圆，则实数的取值范围为　 　
12．自圆外一点P作圆的两条切线PM，PN（M，N为切点），若，则动点的轨迹方程是　 　．
13．已知两定点，若动点P满足，则的最小值为　 　
14．已知定点，为圆上两个动点且，则中点的轨迹
方程为 ，的最大值为 　
15．已知点，若圆上存在一点，使得，则实数的最大值是
16．已知圆过点和，且圆心在直线上.
（1）求线段的垂直平分线的方程；
（2）求圆的方程．
17．已知圆，直线．
（1）求证：直线过定点；
（2）求弦的中点的轨迹方程．
18．已知为圆上一定点，为圆内一点，为圆上的动点．
（1）求线段中点的轨迹方程；
（2）若，四边形为矩形，求点的轨迹方程．
第六节 圆的一般方程参考答案
题型一 圆的一般方程的应用
1-4 A，D，B，A 5． 6．
题型二 求圆的一般方程
7-10 C，B，，
11-12 C ，
题型三 与圆有关的轨迹方程
13．（1） 14．
15． 16．
17-18 A ，B
19． 20．
21． 22．，
综合训练
1-5 D，B，D，A，B 6-10 A，B，A，D，B
11． 12． 13．3
14．， 15．6
16．，
17．（1）证明略 （2）
18．（1） （2）

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