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【重难点突破】2022年暑假高二高效提升讲义（新人教A版2019）
三角函数的单调性
【考点梳理】
求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性“同增异减”的规律. 对于逆向的已知三角函数的单调区间求参数问题，常先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
【题型归纳】
题型一、求三角函数的单调区间
1．下列函数中，周期为，且在区间单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
2．在区间中，使与都单调递减的区间是（ ）
A． B． C． D．
3．当时，函数的减区间为（ ）
A． B． C． D．和
4．函数的单调递减区间是________.
5．函数的单调递增区间是_______________.
6．函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
7．函数在下列某个区间上单调递增，这个区间是
A． B． C． D．
8．将函数的图象上每一个点向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的单调递增区间为
A． B．
C． D．
9．函数的部分图象如图所示．则函数的单调递增区间为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
题型二、根据三角函数的单调性求参数
10．已知函数，若对任意实数x都成立，，且函数在区间上单调，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数在区间上单调，且对任意实数均有成立，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数在上单调递增，则的最大值为______．
13．已知函数在单调递减，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数，若为偶函数，在区间内单调，则的最大值为_________.
15．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．已知函数，若在内单调且有一个零点，则的取值范围是__________．
17．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的值可能为（ ）
A． B． C．3 D．4
18．若函数在区间上是增加的，则正数的最大值为_________．
19．已知函数在区间不存在极值点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
20．已知函数，，，且在上单调递增，则（ ）
A． B． C．2 D．3
21．函数在单调递增，在单调递减，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
22．已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图像与直线有且仅有一个交点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
23．将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
24．已知函数的一个对称中心为，在区间上不单调，则的最小正整数值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
25．已知点在函数的图象上，且在上单调递减，则的最大值为___________.
26．已知函数，若对任意的恒成立，且在上单调递减，则___________.
27．已知函数在处取得最大值，且，若函数在上是单调的，则的最大值为______．
28．已知函数，若函数f(x)在上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
29．若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间[0，]上不单调，则的最小值为（ ）
A．9 B．7 C．11 D．3
30．已知函数，则函数的最大值为____，若函数在上为增函数，则w的取值范围为______．
31．已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
参考答案
1．C
【分析】根据正余弦函数及正切函数的性质，判断函数的周期及其区间单调性即可.
【详解】A：的周期为，单调递减，不合要求；
B：的周期为，、单调递增，不合要求；
C：的周期为，单调递增，符合要求；
D：的周期为，不单调，不合要求；
故选：C.
2．B
【分析】利用正弦函数、余弦函数的性质直接得解即可.
【详解】在区间中，的减区间是，的减区间是；
和的公共减区间是．
故选：B．
3．C
【分析】利用诱导公式化简函数解析式，再利用正弦函数的单调性，即可得出结果.
【详解】解：由题意可知，即求正弦函数的递增区间.
正弦函数的递增区间为，
结合，当时，符合题意.
则函数的减区间为.
故选：C.
4．
【分析】函数，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递减区间；即可求的单调递减区间.
【详解】解：由函数，
令
得：，
，
当时，可得单调递减区间为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质的运用，属于基础题.
5．
【分析】求出函数的所有定义域上的单调递增区间,即可分析出的单调递增区间.
【详解】由得,
当时,得,,且仅当时符合题意,
所以函数的单调递增区间是,
故答案为.
【点睛】本题主要考查了正弦函数的单调性,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
6．C
【分析】先用三角恒等变换化简得到，再用整体法求解单调递减区间.
【详解】，令解得：Z，故f（x）的单调递减区间为
故选：C
7．A
【详解】∵函数
∴
令，则.
∴当时，，即函数的一个单调增区间为.
故选A.
8．D
【分析】首先确定平移后的函数解析式，在求函数的递增区间.
【详解】由题意可知平移后的解析式：
函数的单调递增区间：
解得：
【点睛】本题考查了三角函数平移变换及三角函数性质，意在考查学生的变换能力、用算能力，三角函数平移变换前一定要分清变换前的函数和变换后的函数.
9．C
【分析】利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，然后根据正弦函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】根据函数的部分图象，
可得：，
解得：，
由于点在函数图象上，可得：，
可得：，，
解得：，，
由于：，
可得：，即，
令，解得：，，
可得：则函数的单调递增区间为：，．
故选C．
【点睛】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的图象与性质，属于中档题.
函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间.
10．C
【分析】首先由条件得是函数的对称轴，再结合三角函数的性质，求和.
【详解】由条件可知当时，函数取得最大值，所以是函数的对称轴，又，函数在区间上单调，所以，得，
所以，，且，
所以.
故选：C
11．B
【分析】根据题意，利用正弦函数的图象和性质，求出，结合五点法作图，即可求出.
【详解】由题意知，函数的最小正周期为，
因为函数在上单调，且恒成立，
所以，即，解得，
又是函数的最大值点，是函数的最小值点，
由五点法作图可知，，解得.
故选：B.
12．
【分析】先求出函数增区间的通式，再根据包含关系求解即可
【详解】对应的增区间应满足
，解得，当
时， ，要使在上是增函数，则应满足，，解得，则的最大值是1
故答案为：1
13．B
【分析】先用辅助角公式化简成正弦型函数，求出正弦型函数的单调递减区间．
【详解】，
令，解得，，
因为，所以，则，
故，解得 ，所以最大值为．
故选：B．
14．4
【分析】根据为偶函数，可得直线为函数图像的一条对称轴，进而可得，根据在区间内单调，可得，进而可求解.
【详解】由于函数为偶函数，则满足，故直线为函数图像的一条对称轴，所以，，则，，又，即，解得，又，当时，在单调递增，满足要求，所以，故的最大值为4.
故答案为：4
15．B
【分析】首先利用辅助角公式化简函数解析式，求得整体角在给定区间上的范围，之后结合正弦函数的单调区间，求得的取值范围.
【详解】，
时，，
因为函数在上单调递增，所以有，
解得，因为，所以的取值范围是，
故选：B.
16．
【分析】由已知，确定范围，再由正弦型三角函数图像的性质得到，进而化简求解.
【详解】在内单调且，可得，，解得，
又∵，∴，
又 在上恰有一个零点，所以，
∴且，解之得.
故答案为：
17．B
【分析】先利用平移变换得到，再根据函数在区间上单调递增，利用正弦函数的性质求解.
【详解】解：将函数的图象向左平移个单位，
得到函数，
因为，所以，
又因为函数在区间上单调递增，
所以，解得，
所以的值可能为，
故选：B
18．
【分析】利用二倍角公式化简可得，确定的范围后，根据正弦型函数单调性可构造不等式组求得结果.
【详解】；
当，时，，
，解得：，正数的最大值为.
故答案为：.
19．D
【分析】根据题意得，，又函数在区间不存在极值点，即，且对任意的都成立，求解即可得范围.
【详解】，因为，
所以，
函数在区间不存在极值点，所以，且对任意的都成立，
所以，且，
所以，且，
当时，解得，又，即；
当时，解得，
所以或.
故选：D.
20．A
【分析】由题意可得，从而可得，再由在上单调递增，可得，进而可求出的值
【详解】因为，所以，
所以，解得.
因为，所以.
因为在上单调递增，所以，
解得，故.
故选：A
21．A
【分析】由题意可得，求得，结合函数的单调区间确定，即可确定的值.
【详解】依题意得：，
，
又在单调递减，，
解得：，，
故选：
22．D
【分析】结合函数图像的对称性，及在区间上的单调性，可知，又的图像与直线的交点的横坐标为，从而得，进而可求出的取值范围.
【详解】解：因为函数的图像关于原点对称，并且在区间上是增函数，
所以，又，得，
令，得，
所以在上的图像与直线的第一个交点的横坐标为，第二个交点的横坐标为，
所以，解得，
综上所述，，故的最小值为
故选：D
23．D
【分析】根据函数图象变换关系求出的解析式，利用函数的单调性建立不等式进行求解即可．
【详解】解：将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，
即，若在上单调递减，
则的周期，即，得，
由，，得，，
即，即的单调递减区间为，，
若在上单调递减，则，，
即，，当时，，即的取值范围是.
故选：D．
24．B
【分析】根据题意可得，所以，，由在区间上不单调可得在区间上有解，所以，在区间上有解，最终可得，，取值即可得解.
【详解】由函数的一个对称中心为，
可得，
所以，，
，，
，
由在区间上不单调，
所以在区间上有解，
所以，在区间上有解，
所以，
所以，，
又，所以，
所以，
当时，，
此时的最小正整数为.
故选：B
25．
【分析】由点在函数的图象上得到，再结合在上单调递减，求得函数即可.
【详解】解：因为点在函数的图象上，
所以.又在上单调递减，
所以，即，
所以，
易知的一个单调递减区间为，
所以的最大值为.
故答案为：
26．1
【分析】先化简函数，根据对任意的恒成立，得到，再根据在上单调递减，由求解.
【详解】.
因为对任意的，恒成立，
所以，
所以，.
所以.
因为在上单调递减，
所以，
所以，
故.
故答案为：1
27．##11.25
【分析】根据已知满足，，可确定与整数m的关系，再利用在上单调确定最大值.
【详解】由题意，函数
满足，，
可得，，
两式相减得，其中，
解得，
又由，可得，
即，解得，
故m的最大值为8，
此时取得最大值．
故答案为：
28．B
【分析】利用二倍角和辅助角公式化简解析式，然后利用正弦函数的单调性解决即可.
【详解】函数，
由函数f(x)在上单调递减，且，
得，，解，.
又因为ω>0，，所以k＝0，
所以实数ω的取值范围是.
故选：B
29．C
【分析】根据给定条件，求出的关系式，再求出函数含有数0的单调区间即可判断作答.
【详解】因直线是曲线的一条对称轴，则，即，
由得，则函数在上单调递增，
而函数在区间上不单调，则，解得，
所以的最小值为11.
故选：C
30． 3
【分析】根据正弦函数值域即可求f(x)最大值；求出f(x)的增区间，则根据为其子集即可求出ω关于整数k的范围，令k为具体的整数即可求出ω的具体范围.
【详解】当sin＝1时，取最大值3；
函数在上为增函数，根据正弦函数的性质可知，
区间的长度最长为该正弦型函数最小正周期的一半，
即.
令，则，k∈Z；
则，k∈Z；
∵，
∴时，；
时，；时，∵，故不符题意；
综上，ω∈.
故答案为：3；.
31．B
【分析】先化简函数的解析式，再依据题意列出关于的不等式组，即可求得的取值范围.
【详解】
由，可得
由在区间上恰好取得一次最大值，可得，解之得
又在区间上是增函数，则，解之得
综上，的取值范围是
故选：B

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