资源简介

7.5.2 三角形内角和定理
预习案
预习目标及范围
1.掌握三角形外角的两条性质；
2.进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧．
3.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题.
4.进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识.
范围：课本P181-P182,完成练习
二、预习要点
1.三角形外角的定义 ：
三角形的一边与__________________所组成的角，叫做三角形的外角．
2.推论1:
三角形的一个外角等于________________两个内角的和.
3.推论2:
三角形的一个外角大于任何一个和它_______________的内角.
三、预习检测
1.如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A等于( )
A.60° B.70° C.80° D.90°
2.如图，直线a∥b,则∠ACB=_______.
3.如图，已知CE为△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，求证：∠BAC＞∠B.
探究案
一、合作探究
活动内容：
在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质．
一、三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角， 结合图形指明外角的特征有三：
(1)顶点在三角形的一个顶点上．
(2)一条边是三角形的一边．
(3)另一条边是三角形某条边的延长线．
二、两个推论及其应用
由学生探讨三角形外角的性质：
问题1：如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？
问题2：任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢？
在这里,我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一
个基本事实或定理直接推出的定理,叫做这个基本事实或定理的推论.
推论可以当做定理使用.
由学生归纳得出：
推论1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
例2 已知，如图，在三角形ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C．求证：AD∥BC
分析：要证明AD∥BC,只需证明“同位角相等”,即需证明∠DAE=∠B.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C（已知）
∴∠B=∠EAC（等式的性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAE=∠EAC（角平分线的定义）
∴∠DAE=∠B（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
想一想，还有没有其他的证明方法呢？
这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（____________________）
∠B=∠C（___________）
∴∠C=∠EAC（_____________）
∵AD平分∠EAC（_______）
∴∠DAC=∠EAC（________________）
∴∠DAC=∠C（__________）
∴AD∥BC（_____________________）
还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.
证明：
证明过程自行写出.
例3 已知:如图,P是△ABC内一点，连接PB,PC.
求证:∠BPC>∠A.
证明:如图，延长BP,交AC于点D.
∵ ∠BPC是△PDC的一个外角 (外角定义).
∴ ∠BPC>∠PDC (三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角).
∵ ∠PDC是△ABD的一个外角 (外角定义).
∴ ∠PDC>∠A (三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角).
还有其它方法吗？
二、随堂检测
1.如图，AB∥CD，则下列说法正确的是( )
A.∠3=2∠1+∠2
B.∠3=2∠1-∠2
C.∠3=∠1+∠2
D.∠3=180°-∠1-∠2
2.已知:如图所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°.求:∠B和∠ACB的大小.
3.已知:国旗上的正五角星形如图所示.
求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
参考答案
预习检测
1.解析：选C.根据三角形外角的性质可得，∠ACD =∠B+∠A，所以∠A=∠ACD -∠B= 120°-40°= 80°.
2.解析：延长BC交直线a于点D，
∵直线a∥b,
∴∠ADC=∠B=50°.
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB=∠A+∠ADC=28°+50°=78°.
答案：78°
3.证明：∵CE平分∠ACD
∴∠1=∠2
∵∠BAC＞∠1
∴∠BAC＞∠2
∵∠2＞∠B
∴∠BAC＞∠B
随堂检测
1.解析：选C.∵AB∥CD，∴∠1=∠BCD，∠3是△COD的外角，
∴∠3=∠2+∠BCD=∠2+∠1.
2.解:∵ ∠DCA是△ABC的一个外角(已知),
∠DCA=100°(已知),
∠A=45°(已知),
∴∠B=100°－45°=55°.(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
又 ∵ ∠DCA+∠BCA=180°(平角意义).
∴∠ACB=80°(等式的性质).
3.解： ∵∠1是△BDF的一个外角(外角的定义),
∴ ∠1=∠B+∠D(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
又∵ ∠2是△EHC的一个外角(外角的定义),
∴ ∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理).
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°(等式的性质).7.5三角形内角和定理（1)
【学习目标】
掌握三角形内角和定理的证明和简单应用，初步学会作辅助线证明的基本方法
【学习过程】
模块一 预习反馈
1.“三角形内角和是180°”一定是个真命题吗？你是怎样知道的？
2.写出已知、求证、证明过程（规范证明格式）。
辅助线通常画为虚线,并在证明前交代说明。添加辅助线不是盲目的，而是证明需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的。
已知：如图，△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA．
议一议、开阔思野：‘搬三个角’的特点：把角‘搬’到一起，让顶点重合、两条边形成一条直线，以便利用平角定义。
在证明三角形内角和定理时，可以把三个角集中到三角形的某一个顶点吗？
已知：如图，△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
那么是否可以把三个角集中到三角形的一边上呢？集中在内部任意一点上呢？外部呢？试一试
例题解析，强化重点：
已知：如图， AB∥CD。求证：∠ABE+∠BED+∠EDC=360°（用两种方法证明）。
A B
E
C D
模块二 合作探究
1、三角形BC边不动，把顶点A‘压’向BC，∠A越来越大，而∠B与∠C的和越来越小，由此你能想到什么？
2、三角形BC边不动，把点A“拉离”BC，∠A就越来越小，而∠B与∠C则越来越大，它们的和越来越接近1800，由此你能想到什么？
图1 图2
模块三 小结评价
“这节课你学到了哪些知识？你有什么收获？”
模块四 巩固提升
1.（1）∠B=∠C，∠A=∠B-30°，则△ABC是 三角形，
∠A= °，∠B= °，∠C= °
（2）∠B=2∠C-6°，∠A=∠B+∠C，则△ABC是 三角形，
∠A= °，∠B= °，∠C= °
（3）∠A：∠B：∠C=4：3：2，则∠A= °，∠B= °，∠C= °
2.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．求证：∠A=∠DCB.
3.已知：如图，AB∥CD，点E在AC上，求证：∠A=∠CED+∠D.
4.如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠A=65°，求∠F的度数.
模块五课后反思-----------------------------------------------------------------

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