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第五章 平面向量及其应用、复数
专题1：平面向量的概念及线性运算
1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.
2.理解平面向量的几何表示和基本要素.
3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.
4.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.
5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任意向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一，否则不唯一．
1．P为线段AB的中点，O为平面内任意一点 ＝(＋)．
2．若G为△ABC的重心，则有
(1)＋＋＝0；(2)＝(＋)．
3．首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
4．若＝v＋μ(μ、v为常数)，则P，P1，P2三点共线的充要条件是μ＋v＝1.
5．对于任意两个向量a，b，都有：
(1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；
(2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．
考点一　平面向量的概念
1. (多选)下列命题中的真命题是(　　)
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若A，B，C，D是不共线的四点，则”＝“是”四边形ABCD为平行四边形“的充要条件
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
【答案】BC　
【解析】A不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
B正确．∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则||＝||，∥且，方向相同，因此＝.
C正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
D不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．故选BC．]
2．(2021·合肥模拟)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．a＝－b　 B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
【答案】C　
【解析】因为向量的方向与向量a方向相同，向量的方向与向量b方向相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D．当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件．]
3．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是(　　)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【答案】D　
【解析】根据相等向量的定义，分析可得与不平行，与不平行，所以＝，＝均错误，与平行，但方向相反，故不相等，只有与方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，所以＝.
　
解答与向量有关概念的四个关注点
(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的．
(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，可以比较大小．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈．
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．
考点二　平面向量的线性运算
向量的线性运算
1．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）如图，在矩形中，为中点，那么向量=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的加法法则和矩形的性质求解
【详解】
因为在矩形中，为中点，
所以，
所以，
故选：A
2．（2022·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）下列能化简为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据向量运算对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
A选项，，A选项正确.
B选项，，B选项正确.
C选项，，C选项正确.
D选项，，D选项错误.
故选：ABC
3.(多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则(　　)
A．＝－＋　 B．＝＋
C．＝－＋ D．＝－
【答案】ABC　
【解析】∵ AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，
由向量加法的三角形法则得
＝＋＋＝－＋＋＝－＋，A正确；
∵＝3，∴＝＝－＋，
∴＝＋＝＋＝＋，
又F为AE的中点，∴＝＝＋，B正确；
∴＝＋＝－＋＋＝－＋，C正确；
∴＝＋＝－＝－＋－＝－－，D错误；故选ABC．
根据向量线性运算求参数
1．（2022·浙江高三开学考试）已知A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量共线定理的推论求解．
【详解】
在圆外，则且，又，
所以，
又三点共线，
所以，，而，所以．
故选：D．
2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）在中，是线段上一点（不与顶点重合），若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三点共线得，然后由基本不等式求得最小值．
【详解】
因为是线段上一点（不与顶点重合），若，
所以且，
所以，当且仅当，即，时等号成立，
故选：B．
3．（2022·河南安阳·高一期末）如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于点F，设，则___________.
【答案】
【分析】延长DC，AB交于点G，连接GP，GE且GE与PC交于F，根据已知得C是DG的中点，进而有F是的重心，由重心性质可得，即可得答案.
【详解】
如图，延长DC，AB交于点G，连接GP，GE且GE与PC交于F.
∵，，
∴点C是DG的中点，又E是PD的中点，
∴F是的重心，
∴，即.
故答案为：
平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)求已知向量的和或差．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用向量减法的几何意义；求首尾相连向量的和用三角形法则．
(2)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
考点三　共线向量定理的应用
1．（2022·江苏·兴化市楚水实验学校高一阶段练习）已知是不共线的两个向量，且.
(1)若且三点共线，求的值；
(2)若
①求证：.
②是否存在不等于0的实数和，使得向量，且？如果存在，试确定和的关系；如果不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)①证明见解析；②存在，.
【分析】
（1）利用向量的运算及向量共线定理即得；
（2）利用向量的运算可得向量的坐标，然后利用向量数量积的坐标表示可得，再利用条件可得，即得.
（1）因为是不共线的两个向量，又，三点共线，所以，且，所以，即的值为；
（2）①∵，∴，又，∴，，；②因为向量，且，∴，又，∴，存在不等于0的实数和，使得，此时.
2．（2022·云南丽江·高一期末）已知两个非零向量与不共线，
(1)若，求证：A B D三点共线；
(2)试确定实数k，使得与共线；
(3)若，且，求实数的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）由平面向量的共线定理证明共线，即可得证；
（2）由平面向量的共线定理与向量相等求解即可；
（3）由向量垂直的坐标表示求解即可
(1)∵，
∴，
∴共线，
又∵它们有公共点B，
∴A B D三点共线；
(2)∵与共线，
∴存在实数，使，
即，∴，
∵是两个不共线的非零向量，
∴，
∴，解得；
(3)∵，
且，
∴，
解得.
共线向量定理的三个应用
提醒：证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．
1．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】
连结，则为的中位线，
，
故选：A
2．（2020·海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
3．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
【答案】
【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.
【详解】
，，，
，
解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
,
∵，∴的坐标为,
∵又∵,则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：；.
4．（2021·全国·高考真题（文））已知向量，若，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.
【详解】
由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
解方程可得：.
故答案为：.
5．（2020·江苏·高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．
【答案】或0
【分析】根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.
【详解】
∵三点共线，
∴可设，
∵，
∴，即，
若且，则三点共线，
∴，即，
∵，∴，
∵,,，
∴，
设，，则，.
∴根据余弦定理可得，，
∵，
∴，解得，
∴的长度为.
当时， ，重合，此时的长度为，
当时，，重合，此时，不合题意，舍去.
故答案为：0或.
一、单选题
1．已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【答案】C
【分析】结合向量数量积的运算求得正确答案.
【详解】
由题意知，中，，
则，
即，
所以，
即，
同理，，；
所以是的垂心.
故选：C
2．正方形 中， 点 是 的中点， 点 是 的一个三等分点， 那么 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据平面向量的线性运算结合图象即可得解.
【详解】
解：∵点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，
∴．
故选：D．
3．如图所示，在直角坐标系中，已知，对于任意点M，它关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则向量用表示为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得为的中点，为的中点，即可得到是的中位线，从而得到，即可得解；
【详解】
解：，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，即为的中点，为的中点，
是的中位线，
．
故选：B．
4．已知等腰的直角边长为1，为斜边上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量的加法运算结合三角形的性质求解即可.
【详解】
，显然当为斜边中点时，，此时最小为，即的最小值为.
故选：A.
5．已知，，，则（ ）
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
【答案】A
【分析】根据平面向量的共线定理判断即可
【详解】
由题意得，又有公共点B，所以A，B，D三点共线.
故选：A
6．已知，若M、P、Q三点共线，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．－1
【答案】A
【分析】根据平面向量共线定理，列方程组即可求解.
【详解】
解：∵M、P、Q三点共线，则与共线，
∴，即，得，解得.
故选：A.
7．如图，在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意可得，再根据平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】
解：因为，所以，
所以
.
故选：A
8．已知平面向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（ ）
A． B．6 C． D．8
【答案】A
【分析】根据向量减法的三角形法则，构造出三角形后运用余弦定理得到关于的方程，由判别式大于等于0可得的最大值.
【详解】
根据题意和向量减法的三角形法则，可构建如图所示三角形.
所以，设，
在中根据余弦定理
化简得有正解，又因为二次函数对称轴，
所以只需要判别式即可，
解得，所以.
故选：A.
二、多选题
9．八卦是中国文化中的哲学概念， 如图 1 是八卦模型图， 其平面图形记为图 2 中的正八边形， 其中 ， 则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．正八边形 的面积是
【答案】BCD
【分析】根据平面向量的线性运算结合正八边形的性质逐项进行化简计算，即得.
【详解】
对于A：因为，故A错误；
对于B：因为，则以为邻边的平行四边形为正方形，
又因为平分，所以，故B正确；
对于C：因为，且，
所以，故C正确；
对于D：正八边形 的面积是，故D正确.
故选：BCD.
10．下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ）
A．已知 均为非零向量， 若 ， 则存在唯一的实数 ， 使得
B．已知 均为不共线向量， 则对于任意 存在唯一实数 ， 使得
C．若 且 ， 则
D．若 ， 则 或
【答案】CD
【分析】根据平面向量共线定理判断A，根据平面向量基本定理判断B；根据数量积的定义判断C；由垂直向量数量积为0判断D；
【详解】
对于A，由向量平行的判定定理，可得A正确；
对于B，由平面向量基本定理知B正确；
对于C，由平面向量的数量积定义可得，不能得到，故C不正确；
对于D，，则可能是，所以D不正确.
故选：CD.
11．下列说法正确是（ ）
A． B．若是复数，则
C．空间中垂直同一条直线的两条直线平行 D．若，则
【答案】BD
【分析】利用平面向量数量积的定义可判断A选项；利用复数的运算可判断B选项；利用已知条件判断线线位置关系，可判断C选项；利用平面向量模的性质可判断D选项.
【详解】
对于A选项，，A错；
对于B选项，设，则，
所以，，B对；
对于C选项，空间中垂直同一条直线的两条直线平行、相交或异面，C错；
对于D选项，若，则，则，D对.
故选：BD.
12．在△ABC中，M，N分别是线段，上的点，CM与BN交于P点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据平面向量的基本定理及三点共线的向量表示得解.
【详解】
设，，由，可得，．
因为C，P，M共线，所以，解得．因为N，P，B共线，所以，解得．
故，，即，．
故选：AD．
三、填空题
13．已知的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若，，则________.
【答案】3
【分析】先由向量的线性运算求得，再由G，D，E三点共线得，即可求得.
【详解】
如图，设F为BC的中点，则，又，，
则，又G，D，E三点共线，∴，即.
故答案为：3.
14．已知不共线向量，，，若A，B，C三点共线，则实数 __________.
【答案】
【分析】根据三点共线的向量表达可得，再根据平面向量的线性运算与基本定理求解即可
【详解】
因为A，B，C三点共线，所以存在实数k，使得，
所以，
即，
因为不共线，所以，解得
故答案为：
15．若点P是△ABC内的一点，且满足，则=___________.
【答案】
【分析】
由得到P为重心，由，得到P又为垂心，得到三角形为等边三角形，根据以及向量的数量积公式和解直角三角形得到边长为，即可求出三角形的面积.
【详解】
，则
，
由平行四边形法则，得延长交于中点，
同理，延长交于中点，所以为重心；
即,同理，所以又为垂心，
所以三角形为等边三角形，
，
，
.
故答案为：.
16．已知向量，，若与共线，则实数k＝___．
【答案】2或-1
【分析】利用向量共线的充要条件的坐标表示进行处理.
【详解】
由题知，向量，，
若与共线，则，解得或.
故答案为：2或-1.
四、解答题
17．已知向量，．
(1)若与共线，求的值；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】
（1）根据向量共线的坐标公式求解即可；
（2）根据垂直的坐标公式，结合向量的坐标运算求解即可
（1）∵与共线，故，解得
（2）∵，，∴，，∵，∴，即，解得或．
18．试分别解答下列两个小题：
(1)设，是不共线的两个向量，试确定实数，使得和共线；
(2)已知是坐标原点，，，，在上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在或满足题意，理由见解析.
【分析】
（1）利用向量共线定理即得；
（2）设，，然后利用向量共线的坐标表示及向量垂直的坐标表示可得，即得.
(1)
由于和共线，
设，，
由于，是不共线的两个向量，
所以，
解之得．
(2)
设，，
则，从而，
，，
∵，∴，
从而，
即，
解之得：或，
所以存在或满足题意．
19．如图，在平行四边形中，，，，与的夹角为．
(1)若，求的值；
(2)求与的夹角的余弦值．
【答案】(1)5
(2)
【分析】
（1）根据数乘运算以及向量加法的平行四边形法则即可求解；（2）根据模长公式求解模长，根据数量积中的夹角公式即可求解.
(1)
依题意， ，；
由平行四边形法则可得，，
则 ，且，
即 ，
(2)
依题意，， ，
则

即
所以，与的夹角的余弦值为．
20．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点.
(1)试用向量，表示向量，；
(2)若，求的值.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】
（1）由即可求出；设，，由向量的线性运算分别得到，，解出，即可求得；
（2）利用（1）中结论结合数量积运算律求得，进而得到，即可求解.
(1)
，
设，，则，
又,
所以，解得，所以；
(2)
，
则，所以，所以，所以.中小学教育资源及组卷应用平台
第五章 平面向量及其应用、复数
专题1：平面向量的概念及线性运算
1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.
2.理解平面向量的几何表示和基本要素.
3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.
4.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.
5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 ．
(2)零向量：长度为 的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于 长度的向量．
(4)平行向量：方向 或 的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任意向量 ．
(5)相等向量：长度相等且方向 的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向 的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝ ；结合律：(a＋b)＋c＝
减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝ ； (λ＋μ)a＝ ； λ(a＋b)＝
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得 .
提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一，否则不唯一．
1．P为线段AB的中点，O为平面内任意一点 ＝(＋)．
2．若G为△ABC的重心，则有
(1)＋＋＝0；(2)＝(＋)．
3．首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
4．若＝v＋μ(μ、v为常数)，则P，P1，P2三点共线的充要条件是μ＋v＝1.
5．对于任意两个向量a，b，都有：
(1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；
(2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．
考点一　平面向量的概念
1. (多选)下列命题中的真命题是(　　)
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若A，B，C，D是不共线的四点，则”＝“是”四边形ABCD为平行四边形“的充要条件
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b【答案】BC　
【解析】A不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
B正确．∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则||＝||，∥且，方向相同，因此＝.
C正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
D不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．故选BC．]
2．(2021·合肥模拟)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．a＝－b　 B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
【答案】C　
【解析】因为向量的方向与向量a方向相同，向量的方向与向量b方向相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D．当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件．]
3．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是(　　)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【答案】D　
【解析】根据相等向量的定义，分析可得与不平行，与不平行，所以＝，＝均错误，与平行，但方向相反，故不相等，只有与方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，所以＝.
　
解答与向量有关概念的四个关注点
(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的．
(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，可以比较大小．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈．
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．
考点二　平面向量的线性运算
向量的线性运算
1．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）如图，在矩形中，为中点，那么向量=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的加法法则和矩形的性质求解
【详解】
因为在矩形中，为中点，
所以，
所以，
故选：A
2．（2022·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）下列能化简为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据向量运算对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
A选项，，A选项正确.
B选项，，B选项正确.
C选项，，C选项正确.
D选项，，D选项错误.
故选：ABC
3.(多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则(　　)
A．＝－＋　 B．＝＋
C．＝－＋ D．＝－
【答案】ABC　
【解析】∵ AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，
由向量加法的三角形法则得
＝＋＋＝－＋＋＝－＋，A正确；
∵＝3，∴＝＝－＋，
∴＝＋＝＋＝＋，
又F为AE的中点，∴＝＝＋，B正确；
∴＝＋＝－＋＋＝－＋，C正确；
∴＝＋＝－＝－＋－＝－－，D错误；故选ABC．
根据向量线性运算求参数
1．（2022·浙江高三开学考试）已知A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量共线定理的推论求解．
【详解】
在圆外，则且，又，
所以，
又三点共线，
所以，，而，所以．
故选：D．
2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）在中，是线段上一点（不与顶点重合），若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三点共线得，然后由基本不等式求得最小值．
【详解】
因为是线段上一点（不与顶点重合），若，
所以且，
所以，当且仅当，即，时等号成立，
故选：B．
3．（2022·河南安阳·高一期末）如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于点F，设，则___________.
【答案】
【分析】延长DC，AB交于点G，连接GP，GE且GE与PC交于F，根据已知得C是DG的中点，进而有F是的重心，由重心性质可得，即可得答案.
【详解】
如图，延长DC，AB交于点G，连接GP，GE且GE与PC交于F.
∵，，
∴点C是DG的中点，又E是PD的中点，
∴F是的重心，
∴，即.
故答案为：
平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)求已知向量的和或差．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用向量减法的几何意义；求首尾相连向量的和用三角形法则．
(2)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
考点三　共线向量定理的应用
1．（2022·江苏·兴化市楚水实验学校高一阶段练习）已知是不共线的两个向量，且.
(1)若且三点共线，求的值；
(2)若
①求证：.
②是否存在不等于0的实数和，使得向量，且？如果存在，试确定和的关系；如果不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)①证明见解析；②存在，.
【分析】
（1）利用向量的运算及向量共线定理即得；
（2）利用向量的运算可得向量的坐标，然后利用向量数量积的坐标表示可得，再利用条件可得，即得.
（1）因为是不共线的两个向量，又，三点共线，所以，且，所以，即的值为；
（2）①∵，∴，又，∴，，；②因为向量，且，∴，又，∴，存在不等于0的实数和，使得，此时.
2．（2022·云南丽江·高一期末）已知两个非零向量与不共线，
(1)若，求证：A B D三点共线；
(2)试确定实数k，使得与共线；
(3)若，且，求实数的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）由平面向量的共线定理证明共线，即可得证；
（2）由平面向量的共线定理与向量相等求解即可；
（3）由向量垂直的坐标表示求解即可
(1)∵，
∴，
∴共线，
又∵它们有公共点B，
∴A B D三点共线；
(2)∵与共线，
∴存在实数，使，
即，∴，
∵是两个不共线的非零向量，
∴，
∴，解得；
(3)∵，
且，
∴，
解得.
共线向量定理的三个应用
证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．
1．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
4．（2021·全国·高考真题（文））已知向量，若，则_________．
5．（2020·江苏·高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．
一、单选题
1．已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
2．正方形 中， 点 是 的中点， 点 是 的一个三等分点， 那么 （ ）
A．
B．
C．
D．
．
3．如图所示，在直角坐标系中，已知，对于任意点M，它关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则向量用表示为（ ）.
A． B． C． D．
4．已知等腰的直角边长为1，为斜边上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，则（ ）
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
6．已知，若M、P、Q三点共线，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．－1
7．如图，在中，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知平面向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（ ）
A． B．6 C． D．8
二、多选题
9．八卦是中国文化中的哲学概念， 如图 1 是八卦模型图， 其平面图形记为图 2 中的正八边形， 其中 ， 则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．正八边形 的面积是
10．下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ）
A．已知 均为非零向量， 若 ， 则存在唯一的实数 ， 使得
B．已知 均为不共线向量， 则对于任意 存在唯一实数 ， 使得
C．若 且 ， 则
D．若 ， 则 或
11．下列说法正确是（ ）
A． B．若是复数，则
C．空间中垂直同一条直线的两条直线平行 D．若，则
12．在△ABC中，M，N分别是线段，上的点，CM与BN交于P点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若，，则________.
14．已知不共线向量，，，若A，B，C三点共线，则实数 __________.
15．若点P是△ABC内的一点，且满足，则=___________.
16．已知向量，，若与共线，则实数k＝___．
四、解答题
17．已知向量，．
(1)若与共线，求的值；
(2)当时，求的值．
18．试分别解答下列两个小题：
(1)设，是不共线的两个向量，试确定实数，使得和共线；
(2)已知是坐标原点，，，，在上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，在平行四边形中，，，，与的夹角为．
(1)若，求的值；
(2)求与的夹角的余弦值．
20．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点.
(1)试用向量，表示向量，；
(2)若，求的值.

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