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第五章 平面向量及其应用、复数
专题2：平面向量基本定理及坐标表示
1.了解平面向量基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a， 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：若e1，e2 ，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝ ，a－b＝ ，λa＝ ，|a|＝ .
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ ，||＝ .
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b .
1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.
3．已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G.
考点一　平面向量基本定理的应用
1.(多选)(2021·惠州调研)设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题(向量b，c和a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是(　　)
A．给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c
B．给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc
C．给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc
D．给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc【答案】AB　
【解析】∵向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，∴b≠0，c≠0，
给定向量a和b，只需求得其向量差a－b，即为所求的向量c，
故总存在向量c，使a＝b＋c，故A正确；
当向量b，c和a在同一平面内且两两不共线时，向量b，c可作基底，
由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；
取a＝(4,4)，μ＝2，b＝(1,0)，无论λ取何值，向量λb都平行于x轴，而向量μc的模恒等于2，要使a＝λb＋μc成立，根据平行四边形法则，向量μc的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误；
因为λ和μ为正数，所以λb和μc代表与原向量同向的且有固定长度的向量，
这就使得向量a不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使a＝λb＋μc成立，故D错误．故选AB．
2.如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：①＋2；②＋；③＋；④＋，若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的是(　　)
A．①②　 B．①③　
C．②③　 D．②④
【答案】B　
【解析】由向量共线的充要条件可得：当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得＝u＋v成立，且u＋v＝1.
可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是：满足＝u＋v，且u＞0，v＞0，u＋v＞1.
∵1＋2＞1，∴点P位于阴影区域内，故①正确；同理③正确；而②④错误．故选B．
平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
考点二　平面向量的坐标运算
（2023.全国练习）向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
　
【解析】以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，设每个小正方形边长为1，可得a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
∴解得λ＝－2，μ＝－.
∴＝4.故选D．
已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝ 3c，＝ －2b.
①求3a＋b－3c；
②求M，N的坐标及向量的坐标．
【解析】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
①3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
②设O为坐标原点，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．
平面向量坐标运算的技巧
(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．
考点三　向量共线的坐标表示
利用向量共线求参数
已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．
【解析】(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，
∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
∴k＝－.
(2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
∵A，B，C三点共线，
∴∥，∴8m－3(2m＋1)＝0，
∴m＝.
利用向量共线求向量或点的坐标
已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________.
【答案】(3,3)　
【解析】法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4,4λ)．又＝－＝(－2,6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．
法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4,4)且与共线，所以＝，即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3,3)．
1．（2022·全国·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题（文））已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高考真题（理））已知向量，若，则__________．
一、单选题
1．已知向量，则的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．已知且，则x等于（ ）
A．3 B． C． D．
3．与向量平行的向量是（ ）
A． B． C． D．
4．已知是所在平面内的一点，，，所对的边分别为，，，若，过作直线分别交、(不与端点重合)于、，若，，若与的面积之比为，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方形网格中，向量，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，分别是边上的中线，与交于点F，设，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．边长为2的正六边形ABCDEF中，M为边CD上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．6 C．4 D．
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件
B．点是边的中点，若，则在的投影向量是
C．点是边的中点，若点是线段上的动点，且满足，则的最大值为
D．已知平面内的一组基底，，则向量，不能作为一组基底
10．如图所示，四边形是由斜二测画法得到的平面四边形水平放置的直观图，其中，，，点在线段上，对应原图中的点，则在原图中下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积为14
B．与同向的单位向量的坐标为
C．在向量上的投影向量的坐标为
D．的最小值为17
11．如图所示，是的边上的中点，则向量（ ）
A． B．
C． D．
12．设向量，，则（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．
三、填空题
13．已知向量，，且，则m＝______．
14．已知平面向量， 和单位向量， 满足， ， ， 当变化时， 的最小值为， 则的最大值为__________.
15．已知点，其中，则的取值范围为___________.
16．已知向量，若，则_______.
17．在中，，M为的外心，若，，则________．
四、解答题
18．在三角形中，，点F为边中点，点E在边上，且，与相交于点P．
(1)将向量用向量表示；
(2)若，求．
19．已知向量,.
(1)当时,求；
(2)当，，求向量与的夹角.
20．如图，已知点G是的重心，点P是内一点（包括边界），设，.
(1)试用，表示，并求；
(2)若，求的取值范围.
21．设是两不共线的向量，已知，
(1)若，，三点共线，求的值；
(2)若，，三点共线，求的值．中小学教育资源及组卷应用平台
第五章 平面向量及其应用、复数
专题2：平面向量基本定理及坐标表示
1.了解平面向量基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b x1y2－x2y1＝0.
1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.
3．已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G.
考点一　平面向量基本定理的应用
1.(多选)(2021·惠州调研)设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题(向量b，c和a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是(　　)
A．给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c
B．给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc
C．给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc
D．给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc
【答案】AB　
【解析】∵向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，∴b≠0，c≠0，
给定向量a和b，只需求得其向量差a－b，即为所求的向量c，
故总存在向量c，使a＝b＋c，故A正确；
当向量b，c和a在同一平面内且两两不共线时，向量b，c可作基底，
由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；
取a＝(4,4)，μ＝2，b＝(1,0)，无论λ取何值，向量λb都平行于x轴，而向量μc的模恒等于2，要使a＝λb＋μc成立，根据平行四边形法则，向量μc的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误；
因为λ和μ为正数，所以λb和μc代表与原向量同向的且有固定长度的向量，
这就使得向量a不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使a＝λb＋μc成立，故D错误．故选AB．
2.如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：①＋2；②＋；③＋；④＋，若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的是(　　)
A．①②　 B．①③　
C．②③　 D．②④
【答案】B　
【解析】由向量共线的充要条件可得：当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得＝u＋v成立，且u＋v＝1.
可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是：满足＝u＋v，且u＞0，v＞0，u＋v＞1.
∵1＋2＞1，∴点P位于阴影区域内，故①正确；同理③正确；而②④错误．故选B．
平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
考点二　平面向量的坐标运算
（2023.全国练习）向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D　
【解析】以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，设每个小正方形边长为1，可得a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
∴解得λ＝－2，μ＝－.
∴＝4.故选D．
已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝ 3c，＝ －2b.
①求3a＋b－3c；
②求M，N的坐标及向量的坐标．
【解析】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
①3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
②设O为坐标原点，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．
平面向量坐标运算的技巧
(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．
考点三　向量共线的坐标表示
利用向量共线求参数
已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．
【解析】(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，
∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
∴k＝－.
(2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
∵A，B，C三点共线，
∴∥，∴8m－3(2m＋1)＝0，
∴m＝.
利用向量共线求向量或点的坐标
已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________.
【答案】(3,3)　
【解析】法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4,4λ)．又＝－＝(－2,6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．
法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4,4)且与共线，所以＝，即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3,3)．
1．（2022·全国·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】
因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
2．（2022·全国·高考真题（文））已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】先求得，然后求得.
【详解】
因为，所以.
故选：D
3．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】
连结，则为的中位线，
，
故选：A
4．（2021·全国·高考真题（理））已知向量，若，则__________．
【答案】
【分析】
根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】
因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
一、单选题
1．已知向量，则的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用向量的坐标运算即可求得.
【详解】
因为向量，
所以.
故选：B
2．已知且，则x等于（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量共线的坐标表示即得.
【详解】
因为，
所以，
解得.
故选：C.
3．与向量平行的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量共线的知识求得正确答案.
【详解】
A选项，若，则，所以，A选项正确.
B选项，若，而，所以不平行，B选项错误.
C选项，若，而，所以不平行，C选项错误.
D选项，若，而，所以不平行，D选项错误.
故选：A
4．已知是所在平面内的一点，，，所对的边分别为，，，若，过作直线分别交、(不与端点重合)于、，若，，若与的面积之比为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据与的面积之比为可得，再以为基底表达，结合向量共线的性质求解即可
【详解】
因为与的面积之比为，易得.故，即，整理得.因为，且均不共线，故，解得
故选：D
5．如图，在正方形网格中，向量，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由向量加减法运算法则，得到所求向量为，再由向量减法的三角形法则，以及向量数乘运算，计算答案.
【详解】
由题意得，
故选：C.
6．如图，分别是边上的中线，与交于点F，设，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知有是的重心，由重心的性质及向量加法、数乘的几何意义，用、表示，即可得结果.
【详解】
由题意，是的重心，
=，
，故.
故选：D
7．已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，以单位向量的方向分别作为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解作答.
【详解】
单位向量满足，即，作，以射线OA，OB分别作为x、y轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，
，设，则，由得：，
令，即，
，其中锐角满足，
因此，当时，，当时，，
所以的取值范围是.
故选：D
8．边长为2的正六边形ABCDEF中，M为边CD上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．6 C．4 D．
【答案】A
【分析】建立坐标系，利用平面向量的坐标运算结合二次函数的性质求解即可
【详解】
如图：以正六边形的中心为原点，所在直线为轴，
的垂直平分线所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则，设，
则，
，
因为M为边CD上的动点，
所以，即，
解得
所以，
令，
则结合二次函数的性质可知，
故选：A
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件
B．点是边的中点，若，则在的投影向量是
C．点是边的中点，若点是线段上的动点，且满足，则的最大值为
D．已知平面内的一组基底，，则向量，不能作为一组基底
【答案】ABC
【分析】对A，根据向量平行的性质与数量积的运算判断即可；对B，根据平行四边形法则，结合单位向量的方法可得是以为直角的等腰直角三角形，进而判断；对C，根据、、三点共线，设，将替换为后与已知式子对比，用t表示，根据二次函数性质即可判断；对D，根据基底向量的性质结合平行四边形法则判断即可
【详解】
对A，若存在负数，使得，则成立；
当时，可能夹角为钝角，不满足，故A正确；
对B，由，结合平行四边形法则，可得与同向的单位向量和与同向的单位向量，
和与同向的单位向量构成正方形的两边与对角线.故，且为的角平分线.又是边的中点，
由三角形三线合一可得是以为直角的等腰直角三角形.故在的投影向量是.
故B正确；
对C，如图所示：
∵在上，即、、三点共线，
则可设，
又∵，∴，
∵，则，，
令，
时，取得最大值为，故C正确
对D，已知平面内的一组基底，，则向量，为以，为边的平行四边形的两条对角线，
故，一定不共线，故能作为一组基底，故D错误；
故选：ABC
10．如图所示，四边形是由斜二测画法得到的平面四边形水平放置的直观图，其中，，，点在线段上，对应原图中的点，则在原图中下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积为14
B．与同向的单位向量的坐标为
C．在向量上的投影向量的坐标为
D．的最小值为17
【答案】ABD
【分析】根据直观图可得四边形为直角梯形，从而可求得原图形的面积，即可判断A；以点为坐标原点建立平面直角坐标系，写出的坐标，再根据与同向的单位向量为，即可判断B；根据在向量上的投影向量的坐标为即可判断C；设，根据向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示即可判断D.
【详解】
解：由直观图可得，
四边形为直角梯形，且，
则四边形的面积为，故A正确；
如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，
则，
所以与同向的单位向量的坐标为，故B正确；
，
则在向量上的投影向量的坐标为，故C错误；
设，
则，
则，
，
当时，取得最小值，故D正确.
故选：ABD.
11．如图所示，是的边上的中点，则向量（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用向量的加、减以及数乘运算即可求解.
【详解】
.
故选：AD.
12．设向量，，则（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．
【答案】BC
【分析】根据两向量的坐标进行减法计算求出，然后根据向量共线和垂直的性质判断A、B选项，通过向量坐标法求夹角判断C选项，通过坐标求两个向量模长，比较大小即可判断D选项.
【详解】
，，所以，故A选项错误，B选项正确；
，，则与的夹角为，故C选项正确；
，，，故D选项错误.
故选：BC.
三、填空题
13．已知向量，，且，则m＝______．
【答案】
【分析】利用向量平行的坐标表示即得.
【详解】
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得．
故答案为：.
14．已知平面向量， 和单位向量， 满足， ， ， 当变化时， 的最小值为， 则的最大值为__________.
【答案】
【分析】不妨设 ， ，则由题知，由已知条件得，，将用坐标表示，并求模，代入及，整理得，构造函数，求出最小值，
表示出的解析式，用均值不等式求其最大值即可.
【详解】
不妨设 ， ，则由题知
又 ，所以
整理得① ，所以
又 ，
所以
而
将①代入整理得：
令 ，
，有最小值，
又 ，当且仅当时等号成立
所以 ，当时有最大值 .
故答案为： .
15．已知点，其中，则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】分别求出，再根据平面向量加法得坐标表示及向量得模得坐标表示，再根据三角函数的性质即可得解.
【详解】
解：由，
得，
则，
所以，
因为，
所以，
所以，
即的取值范围为.
故答案为：.
16．已知向量，若，则_______.
【答案】
【分析】先求得，结合题意列出方程，即可求解.
【详解】
因为向量，可得，
又因为，可得，
解得，可得.
故答案为：.
17．在中，，M为的外心，若，，则________．
【答案】7
【分析】令边AB，AC中点分别为D，E，将分别用和表示，再与求数量积即可列式计算作答.
【详解】
如图，令边AB，AC中点分别为D，E，连接DM，EM，因点为的外心，于是得，
，
，，
，，
依题意，，
，
解得，
所以.
故答案为：
四、解答题
18．在三角形中，，点F为边中点，点E在边上，且，与相交于点P．
(1)将向量用向量表示；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据垂直关系，建立平面直角坐标系，根据向量坐标运算以及共线的坐标运算，即可求解，
（2）用基地向量表示,根据数量积的运算即可求解.
（1）由，以分别为轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，设，则，设，故，进而,因为,所以得：，解得，故，由,故
（2）由（1）知，又,故
19．已知向量,.
(1)当时,求；
(2)当，，求向量与的夹角.
【答案】(1)或
(2)
【解析】
（1）向量,，则，.由,可得即，即，解得或,当,则,则,所以，当，， ，综上 .
（2）由,,则由,可得,解得,所以,, 又,所以.
20．如图，已知点G是的重心，点P是内一点（包括边界），设，.
(1)试用，表示，并求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）延长AG，交BC于点D，化简得到和，进而求得的值；
（2）连接GP并延长，交BC于点，设，根据向量的运算法则，得到，进而得到，即可求解.
（1）解：如图所示，延长AG，交BC于点D，则D为BC的中点，.同理可得：，，所以.
（2）解：如图所示，连接GP并延长，交BC于点，设，，因为，所以，又因为，所以.
21．设是两不共线的向量，已知，
(1)若，，三点共线，求的值；
(2)若，，三点共线，求的值．
【答案】(1)
(2)8
【分析】
（1）由三点共线即可得向量共线，再由向量共线的充要条件列式计算作答.
（2）求出向量，由三点共线即可得向量共线，再由向量共线的充要条件列式计算作答.
（1）因，又，，三点共线，即，，于是得，而不共线，则有，解得，所以.
（2）因，则，又，，三点共线，则，，即有，因此，解得，所以.

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