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第五章 平面向量及其应用、复数
专题3：平面向量数量积及其应用
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
1．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作=a，＝b，则∠AOB＝θ就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．
当θ＝时，a与b相互垂直，记作a⊥b；
当θ＝0时，a与b共线且同向；
当θ＝π时，a与b共线且反向．
2．平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：0·a＝0.
3．投影向量
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e与b是方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量，记为|a|cos θ e.
提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ＝.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤·.
6．向量在平面几何中的应用
(1)要证AB＝CD，可转化为证明＝2或||＝||.
(2)要证两线段AB，CD平行，只要证存在唯一实数λ≠0，使等式＝λ成立即可．
(3)要证两线段AB，CD垂直，只需证·＝0.
(4)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝.
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；
(3)a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2](该式又称作极化恒等式)．
2．有关向量夹角的两个结论
两个向量a，b的夹角为锐角 a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角 a·b＜0且a，b不共线．
考点一　平面向量数量积的运算
1．（2022·河北保定·高一阶段练习）如图，在中，点D在边上，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】过点A作，可得，，三条边长，再通过线性运算，表达式可转化为，，表示，即可得出答案.
【详解】
过点A作，垂足为E.，，，
.
故选：A.
2．（2022·江苏南京·高三开学考试）在中，记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的减法法则得，进而根据数量积的运算绿即可求解.
【详解】
因为，
所以.
故选：C
平面向量数量积的三种运算方法
考点二　平面向量数量积的应用
平面向量的模
1．（2022·吉林·东北师大附中高一阶段练习）已知 为单位向量， 且 ， 则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】利用已知条件求出向量数量积为0，推出，然后求解向量的模即可.
【详解】
为单位向量， 且 ，
可得，
所以，则
故选：B
2．（2022·福建·福州三中高一期末）若，，，则与的夹角大小为___________.
【答案】
【分析】根据数量积的运算律求出，再根据夹角公式计算可得；
【详解】
解：因为，，
所以，所以，
又，设与的夹角为，所以，
因为，所以.
故答案为：
3．（2022·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）已知，与的夹角为，求．
【答案】
【分析】利用数量积的运算求出，即可求出.
【详解】
因为，与的夹角为，
所以，
所以.
平面向量的夹角
1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由数量积运算求解即可.
【详解】
，，，．
，
因此，．
故选：D．
2．（2022·新疆·新和县实验中学高一期末）已知向量，，，则与的夹角为________．
【答案】
【分析】根据向量的坐标可得，再利用向量的夹角公式直接计算即可.
【详解】
由，得，
所以，
又
即，
故答案为：.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC的面积为S满足，且，与的夹角为θ.则与夹角的取值范围_________．
【答案】.
【分析】由题，结合面积公式，向量点乘定义，可得，进一步讨论θ的取值范围即可
【详解】
由题，，∴，
，，θ为锐角，
∵，即，又，
∴，即，∴，
，
故答案为：
平面向量的垂直
1．（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（文））已知向量.若，则实数___________.
【答案】2
【分析】根据数量积的坐标运算即可确定 .
【详解】
因为，所以，解得；
故答案为：2.
2．（2022·福建省永春第一中学高二期末）若单位向量满足，则与夹角为________；
【答案】
【分析】利用向量垂直的数量积表示及运算律可求出，再利用向量夹角的计算公式即得.
【详解】
因为，，
所以，即，
所以，又，
所以.
故答案为：.
3．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高一期末）已知向量，，.
(1)若与共线，求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量共线的坐标形式可求的值；
（2）利用向量垂直得到它们的数量积为0，从而可求两个向量模的关系，从而可求的值.
（1）因为与共线，所以即，而，故.
（2）因为，故即，而，故即.
　1.求平面向量模的方法
(1)若a＝(x，y)，利用公式|a|＝.
(2)利用|a|＝.
2．求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π]．
(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.
考点三　数量积的最值(范围)问题
1．（2022·湖南衡阳·高二期末）已知向量满足．设，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．无最大值
【答案】BD
【分析】先由已知可求得，然后建立如图所示的直角坐标系xOy，设，再由得，设，则点M在直线OB上运动，结合图形可得答案
【详解】
因为，所以．
又，所以，解得，
因为，所以
建立如图所示的直角坐标系xOy，
设，
因为，所以，即，即圆心为，半径为2的圆，
设，则点M在直线OB上运动，则
，
令点到直线的距离为，
则无最大值，
故选：BD
2．（2022·浙江宁波·高一期末）已知平面向量满足，，，若，则的最大值是______．
【答案】1
【分析】先由平方得，整理得，即可求出的最大值.
【详解】
由可得，即，整理得，
则，则的最大值是1，当且仅当时取最大值.
故答案为：1.
3．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）设点在直线上，点A在直线外，且,，，则的最小值为_________.
【答案】
【分析】由可判断，确定当时，最小，利用三角形面积即可求得答案.
【详解】
因为，则，
即得，即，
由于,，故,
当时，最小，最小值为，
故答案为：
4．（2022·辽宁·高一期末）已知向量满足，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】设向量的夹角为，由，得，再根据已知可求出及范围，再根据，即可得出答案.
【详解】
解：设向量的夹角为，
因为，所以，
则，
所以，
所以，
即的最小值为.
故答案为：.
设a，b是平面内的两个向量，则有a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]；极化恒等式的几何意义是在△ABC中，若AD是BC边上的中线，则·＝AD2－BD2.
具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．
考点四 平面向量的应用
1．（2022·陕西渭南·高一期末）如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向（的方向）的夹角为，则力做的功为（ ）
A．1000J B． C．2000J D．500J
【答案】A
【分析】利用功的计算公式以及向量数量积定义，列式求解即可．
【详解】
解：因为且与小车的位移方向的夹角为，
又力作用于小车，使小车发生了40米的位移，
则力做的功为．
故选：A．
2．（2022·贵州黔东南·高二期末（文））如图，作用于同一点O的三个力 ， ， 处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为_________.
【答案】1
【分析】利用共点力的平衡条件，得到，移项，解出即可.
【详解】
三个力处于平衡状态，，即，
则
故答案为：1.
3．（2021·福建·高一期中）如图，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标，设.
(1)计算的大小；
(2)甲在Ox上距O点3千米的点A处，乙在Oy上距O点1千米的点B处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以4千米/小时的速度行走；
①若过半小时后甲到达C点，乙到达D点，请用与来表示；
②若t时刻，甲到达G点，乙到达H点，求的最小值.
【答案】(1)
(2)①；②2
【分析】（1）利用，直接求出的大小；
（2）①先表示出，利用向量的减法即可表示出；
②表示出两人在t时刻相距，求出模长，利用二次函数求最值即可.
(1)
因为，
所以 .
(2)①因为，
所以，所以；
②两人在t时刻相距，
所以
当时，即小时后，他们两人相距最短．
用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤
考点五 平面向量与三角形的“四心”
平面向量与三角形的“重心”问题
　已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　)
A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心
C．△ABC的重心 D．AB边的中点
【答案】C　
【解析】取AB的中点D，则2＝＋，
∵＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，
∴＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]
＝＋，
而＋＝1，∴P，C，D三点共线，
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．]
平面向量与三角形的“内心”问题
在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0,1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为(　　)
A．　 B．　
C．4　 D．6
【答案】B　
【解析】根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍．
在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a＝7.设△ABC的内切圆的半径为r，则bcsin A＝(a＋b＋c)r，解得r＝，
所以S△BOC＝×a×r＝×7×＝.
故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝.
平面向量与三角形的“外心”问题
在△ABC中，O为其外心，·＝，且＋＋＝0，则边AC的长是________．
【答案】－1　
【解析】设△ABC外接圆的半径为R，
∵O为△ABC的外心，
∴||＝||＝||＝R，
又＋＋＝0，
则＋＝－，
∴32＋2＋2·＝72，
从而·＝R2，
又·＝，所以R2＝2，
又·＝||||cos∠AOC＝R2cos∠AOC＝，
∴cos∠AOC＝，∴∠AOC＝，
在△AOC中，由余弦定理得
AC2＝OA2＋OC2－2OA·OC·cos∠AOC
＝R2＋R2－2R2×＝(2－)R2＝4－2.
所以AC＝－1.]
　平面向量与三角形的“垂心”问题
已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．重心　 B．垂心　
C．外心　 D．内心
【答案】B　
【解析】因为＝＋λ，
所以＝－＝λ，
所以·＝·λ
＝λ(－||＋||)＝0，
所以⊥，所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．
1．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】
解：,,即,解得,
故选：C
2．（2022·全国·高考真题（文））已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】先求得，然后求得.
【详解】
因为，所以.
故选：D
3．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
4．（2022·全国·高考真题（理））已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】
解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
5．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
【详解】
对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
6．（2022·全国·高考真题（文））已知向量．若，则______________．
【答案】
【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】
由题意知：，解得.
故答案为：.
7．（2022·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【分析】
设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】
解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：
一、单选题
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．5
【答案】D
【分析】得到即可求出m再写出的坐标.
【详解】
故选：D
2．已知， ，向量满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得，故建立坐标系，确定向量的坐标，根据结合几何意义确定动点的轨迹方程，利用圆的相关知识解决问题.
【详解】
由题意，得：，即有，
如图示，设，
故不妨设，则，则 ，
设，则 ，因为，故可得，
所以C点在以AB为直径的圆上运动，
在中， ,AB的中点为 ，
则以AB为直径的圆的方程为 ，
故的最大值为，最小值为，
即的取值范围是，
故选：B
3．已知为原点，点在单位圆上，点，且，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】由向量相等可得，两式平方相加结合平面向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
解：∵，，
∴.
∴，∴.
∴，
即，解得.
∴.
故选：A.
4．已知点O，P在△ABC所在平面内 ，且，，则点O，P依次是△ABC的（ ）
A．重心，垂心 B．重心，内心 C．外心，垂心 D．外心，内心
【答案】C
【分析】根据内心、外心、重心、垂心以及向量运算等知识确定正确答案.
【详解】
由于，所以是三角形的外心.
由于，
所以，
同理可证得，
所以是三角形的垂心.
故选：C
5．已知，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据投影向量的定义求解．
【详解】
，，
在上的投影向量为．
故选：A．
6．如下图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以点为原点，以，所在的直线为和轴，建立平面直角坐标系，设，得到，即可求解.
【详解】
以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，过点作轴，过点作轴，
因为且，则，
所以，
设，则，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：B.
7．如图，在△中，是的中点，是上一点，且，则下列说法中正确的个数是（ ）
①；
②过点作一条直线与边分别相交于点，若，，则；
③若△是边长为的正三角形，是边上的动点，则的取值范围是
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】由，，，结合向量的运算判断①；由三点共线结合向量的数乘运算判断②；建立坐标系，利用坐标运算结合二次函数的性质判断③.
【详解】
对于①：，，，故，故①正确；
对于②：，，因为三点共线，所以，即，解得，故②错误；
对于③：以点作为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系，，，设，因为，，所以，当时，，当时，，即的取值范围是，故③正确；
故选：C
8．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据结合数量积的运算律求出，再利用余弦定理即可得解.
【详解】
解：，
∴，
∴，
∴．
故选：A.
二、多选题
9．已知向量，，则（ ）
A． B．与向量共线的单位向量是
C． D．向量在向量上的投影向量是
【答案】AC
【分析】利用向量垂直的坐标形式可判断A的正误，利用向量的模长公式和投影向量的公式可判断CD的正误，利用模长可求与向量共线的单位向量，从而可判断B的正误.
【详解】
因为，，故，
故，故成立，故A正确.
与向量共线的单位向量为即、，故B错误.
，故，故C正确.
向量在向量上的投影向量是，故D错误.
故选：AC.
10．下列说法中错误的有（ ）
A．两个非零向量，若，则与共线且反向
B．已知不能作为平面内所有向量的一个基底
C．已知向量，向量在向量上的投影向量是
D．若非零向量，满足，则与的夹角是
【答案】CD
【分析】由计算判断A；由共线向量的坐标表示判断B；求出向量在向量上的投影向量判断C；求出向量与的夹角判断D作答.
【详解】
对于A，由两边平方得：，而是非零向量，则与共线且反向，A正确；
对于B，，且有，则，不能作为平面内所有向量的一个基底，B正确；
对于C，向量，向量在向量上的投影向量是，C错误；
对于D，，是非零向量，作，因，则是正三角形，如图，
取线段中点，则，有，即与的夹角是，D错误.
故选：CD
11．如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据向量的线性运算判断A，数量积的运算律判断B，由向量的数量积运算，向量模的运算判断CD．
【详解】
因为点O为正六边形ABCDEF的中心，
所以是平行四边形，，，A错；
由数量积的运算律知B正确；
，C正确；
设六边形边长为1，
，，D错．
故选：BC．
12．如图，在等腰直角中，斜边，且，点P是线段AD上任一点，则的可能取值是（ ）
A．-1 B．0 C．4 D．5
【答案】BC
【分析】利用基底向量表示，再利用数量积的运算律计算、判断作答.
【详解】
依题意，，因，则，
又点P是线段AD上任一点，则令，，而
因此，
而，则，即，选项A，D不满足，B，C满足.
故选：BC
三、填空题
13．已知向量.若，则___________.
【答案】
【分析】由向量平行的坐标表示求出参数，然后由模的坐标表示计算．
【详解】
因为，所以，解得.所以.
所以.
故答案为：．
14．已知平面向量，与垂直，则的值为__________．
【答案】
【分析】先求出的坐标，然后根据与垂直，可得，可求出的值
【详解】
因为，
所以，
因为与垂直，
所以，解得，
故答案为：
15．已知，且在方向上的投影是，则___________.
【答案】12
【分析】根据向量投影的知识列方程，化简求得正确答案.
【详解】
由于在方向上的投影是，
所以.
故答案为：
16．已知点P为的内心，，若，则______．
【答案】
【分析】根据余弦定理可求,进而根据切线长定理可求，进而根据数量积的运算以及几何意义即可求解.
【详解】
在，由余弦定理得,
设分别是边上的切点，设，则，所以，
由得，，即，①
同理由,②
联立①②以及即可解得：，
故答案为：
四、解答题
17．已知，与的夹角是.
(1)求的值及的值；
(2)当为何值时，？
【答案】(1)，；
(2).
【分析】
（1）由定义求出数量积，再利用模长公式及向量数量积的运算律即得；
（2）由于，可得，利用向量的数量积的运算公式，即可求解．
（1）∵，与的夹角是，∴，；
（2）由题意，，即，解得，即时，.
18．已知，
(1)设，的夹角为，求的值；
(2)若向量与共线，求的值．
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）根据向量夹角公式，先求，再求；
（2）首先分别求向量与的坐标，再根据向量平行的坐标表示，即可求解.
（1），，，；
（2），，因为与共线，所以，解得：.
19．已知平面四边形中，，向量的夹角为.
(1)求证：；
(2)点是线段中点，求的值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）画出示意图，根据边的关系可得，因而．
（2）以B为原点建立平面直角坐标系，写出各个点坐标，进而根据平面向量数量积的坐标运算即可求出结果．
（1）根据题意，画出示意图如下图所示由题意可知， ，所以三角形ABD为等边三角形，则，又 ，所以，即为直角三角形，且 ，所以，所以 ；
（2）根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则，因为点是线段中点，所以， 则 ，所以，
20．如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2.已知船在静水中的速度的大小为，水流的速度的大小为.求：
(1)；
(2)船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）先求出船只沿AB方向的速度为，，利用向量的数量积运算求出；（2）利用数量积及夹角公式求出船在静水中速度与水流速度夹角.
（1）因为船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2，所以船只沿AB方向的速度为.由，，根据勾股定理可得：,所以，即由，得：，所以.
（2）因为，所以，即，解得：.即船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值为.中小学教育资源及组卷应用平台
第五章 平面向量及其应用、复数
专题3：平面向量数量积及其应用
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
1．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作=a，＝b，则∠AOB＝θ就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是 ．
当 时，a与b相互垂直，记作a⊥b；
当 时，a与b共线且同向；
当 时，a与b共线且反向．
2．平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，则数量 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：0·a＝ .
3．投影向量
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e与b是方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b ，叫做向量a在向量b上的 ，记为 .
提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ＝.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝ .
(2)模：|a|＝＝ .
(3)夹角：cos θ＝＝ .
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤·.
6．向量在平面几何中的应用
(1)要证AB＝CD，可转化为证明＝2或||＝||.
(2)要证两线段AB，CD平行，只要证存在唯一实数λ≠0，使等式＝λ成立即可．
(3)要证两线段AB，CD垂直，只需证·＝0.
(4)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝.
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；
(3)a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2](该式又称作极化恒等式)．
2．有关向量夹角的两个结论
两个向量a，b的夹角为锐角 a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角 a·b＜0且a，b不共线．
考点一　平面向量数量积的运算
1．（2022·河北保定·高一阶段练习）如图，在中，点D在边上，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】过点A作，可得，，三条边长，再通过线性运算，表达式可转化为，，表示，即可得出答案.
【详解】
过点A作，垂足为E.，，，
.
故选：A.
2．（2022·江苏南京·高三开学考试）在中，记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的减法法则得，进而根据数量积的运算绿即可求解.
【详解】
因为，
所以.
故选：C
平面向量数量积的三种运算方法
考点二　平面向量数量积的应用
平面向量的模
1．（2022·吉林·东北师大附中高一阶段练习）已知 为单位向量， 且 ， 则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】利用已知条件求出向量数量积为0，推出，然后求解向量的模即可.
【详解】
为单位向量， 且 ，
可得，
所以，则
故选：B
2．（2022·福建·福州三中高一期末）若，，，则与的夹角大小为___________.
【答案】
【分析】根据数量积的运算律求出，再根据夹角公式计算可得；
【详解】
解：因为，，
所以，所以，
又，设与的夹角为，所以，
因为，所以.
故答案为：
3．（2022·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）已知，与的夹角为，求．
【答案】
【分析】利用数量积的运算求出，即可求出.
【详解】
因为，与的夹角为，
所以，
所以.
平面向量的夹角
1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由数量积运算求解即可.
【详解】
，，，．
，
因此，．
故选：D．
2．（2022·新疆·新和县实验中学高一期末）已知向量，，，则与的夹角为________．
【答案】
【分析】根据向量的坐标可得，再利用向量的夹角公式直接计算即可.
【详解】
由，得，
所以，
又
即，
故答案为：.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC的面积为S满足，且，与的夹角为θ.则与夹角的取值范围_________．
【答案】.
【分析】由题，结合面积公式，向量点乘定义，可得，进一步讨论θ的取值范围即可
【详解】
由题，，∴，
，，θ为锐角，
∵，即，又，
∴，即，∴，
，
故答案为：
平面向量的垂直
1．（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（文））已知向量.若，则实数___________.
【答案】2
【分析】根据数量积的坐标运算即可确定 .
【详解】
因为，所以，解得；
故答案为：2.
2．（2022·福建省永春第一中学高二期末）若单位向量满足，则与夹角为________；
【答案】
【分析】利用向量垂直的数量积表示及运算律可求出，再利用向量夹角的计算公式即得.
【详解】
因为，，
所以，即，
所以，又，
所以.
故答案为：.
3．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高一期末）已知向量，，.
(1)若与共线，求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量共线的坐标形式可求的值；
（2）利用向量垂直得到它们的数量积为0，从而可求两个向量模的关系，从而可求的值.
（1）因为与共线，所以即，而，故.
（2）因为，故即，而，故即.
　1.求平面向量模的方法
(1)若a＝(x，y)，利用公式|a|＝.
(2)利用|a|＝.
2．求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π]．
(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.
考点三　数量积的最值(范围)问题
1．（2022·湖南衡阳·高二期末）已知向量满足．设，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．无最大值
【答案】BD
【分析】先由已知可求得，然后建立如图所示的直角坐标系xOy，设，再由得，设，则点M在直线OB上运动，结合图形可得答案
【详解】
因为，所以．
又，所以，解得，
因为，所以
建立如图所示的直角坐标系xOy，
设，
因为，所以，即，即圆心为，半径为2的圆，
设，则点M在直线OB上运动，则
，
令点到直线的距离为，
则无最大值，
故选：BD
2．（2022·浙江宁波·高一期末）已知平面向量满足，，，若，则的最大值是______．
【答案】1
【分析】先由平方得，整理得，即可求出的最大值.
【详解】
由可得，即，整理得，
则，则的最大值是1，当且仅当时取最大值.
故答案为：1.
3．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）设点在直线上，点A在直线外，且,，，则的最小值为_________.
【答案】
【分析】由可判断，确定当时，最小，利用三角形面积即可求得答案.
【详解】
因为，则，
即得，即，
由于,，故,
当时，最小，最小值为，
故答案为：
4．（2022·辽宁·高一期末）已知向量满足，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】设向量的夹角为，由，得，再根据已知可求出及范围，再根据，即可得出答案.
【详解】
解：设向量的夹角为，
因为，所以，
则，
所以，
所以，
即的最小值为.
故答案为：.
设a，b是平面内的两个向量，则有a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]；极化恒等式的几何意义是在△ABC中，若AD是BC边上的中线，则·＝AD2－BD2.
具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．
考点四 平面向量的应用
1．（2022·陕西渭南·高一期末）如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向（的方向）的夹角为，则力做的功为（ ）
A．1000J B． C．2000J D．500J
【答案】A
【分析】利用功的计算公式以及向量数量积定义，列式求解即可．
【详解】
解：因为且与小车的位移方向的夹角为，
又力作用于小车，使小车发生了40米的位移，
则力做的功为．
故选：A．
2．（2022·贵州黔东南·高二期末（文））如图，作用于同一点O的三个力 ， ， 处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为_________.
【答案】1
【分析】利用共点力的平衡条件，得到，移项，解出即可.
【详解】
三个力处于平衡状态，，即，
则
故答案为：1.
3．（2021·福建·高一期中）如图，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标，设.
(1)计算的大小；
(2)甲在Ox上距O点3千米的点A处，乙在Oy上距O点1千米的点B处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以4千米/小时的速度行走；
①若过半小时后甲到达C点，乙到达D点，请用与来表示；
②若t时刻，甲到达G点，乙到达H点，求的最小值.
【答案】(1)
(2)①；②2
【分析】（1）利用，直接求出的大小；
（2）①先表示出，利用向量的减法即可表示出；
②表示出两人在t时刻相距，求出模长，利用二次函数求最值即可.
(1)
因为，
所以 .
(2)①因为，
所以，所以；
②两人在t时刻相距，
所以
当时，即小时后，他们两人相距最短．
用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤
考点五 平面向量与三角形的“四心”
平面向量与三角形的“重心”问题
　已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　)
A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心
C．△ABC的重心 D．AB边的中点
【答案】C　
【解析】取AB的中点D，则2＝＋，
∵＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，
∴＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]
＝＋，
而＋＝1，∴P，C，D三点共线，
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．]
平面向量与三角形的“内心”问题
在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0,1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为(　　)
A．　 B．　
C．4　 D．6
【答案】B　
【解析】根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍．
在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a＝7.设△ABC的内切圆的半径为r，则bcsin A＝(a＋b＋c)r，解得r＝，
所以S△BOC＝×a×r＝×7×＝.
故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝.
平面向量与三角形的“外心”问题
在△ABC中，O为其外心，·＝，且＋＋＝0，则边AC的长是________．
【答案】－1　
【解析】设△ABC外接圆的半径为R，
∵O为△ABC的外心，
∴||＝||＝||＝R，
又＋＋＝0，
则＋＝－，
∴32＋2＋2·＝72，
从而·＝R2，
又·＝，所以R2＝2，
又·＝||||cos∠AOC＝R2cos∠AOC＝，
∴cos∠AOC＝，∴∠AOC＝，
在△AOC中，由余弦定理得
AC2＝OA2＋OC2－2OA·OC·cos∠AOC
＝R2＋R2－2R2×＝(2－)R2＝4－2.
所以AC＝－1.]
　平面向量与三角形的“垂心”问题
已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．重心　 B．垂心　
C．外心　 D．内心
【答案】B　
【解析】因为＝＋λ，
所以＝－＝λ，
所以·＝·λ
＝λ(－||＋||)＝0，
所以⊥，所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．
1．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．5 D．6
2．（2022·全国·高考真题（文））已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

4．（2022·全国·高考真题（理））已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
6．（2022·全国·高考真题（文））已知向量．若，则______________．
7．（2022·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
一、单选题
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．5
2．已知， ，向量满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知为原点，点在单位圆上，点，且，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
4．已知点O，P在△ABC所在平面内 ，且，，则点O，P依次是△ABC的（ ）
A．重心，垂心 B．重心，内心 C．外心，垂心 D．外心，内心
5．已知，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．如下图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在△中，是的中点，是上一点，且，则下列说法中正确的个数是（ ）
①；
②过点作一条直线与边分别相交于点，若，，则；
③若△是边长为的正三角形，是边上的动点，则的取值范围是
A．个 B．个 C．个 D．个
8．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，，则（ ）
A． B．与向量共线的单位向量是
C． D．向量在向量上的投影向量是
10．下列说法中错误的有（ ）
A．两个非零向量，若，则与共线且反向
B．已知不能作为平面内所有向量的一个基底
C．已知向量，向量在向量上的投影向量是
D．若非零向量，满足，则与的夹角是
11．如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如图，在等腰直角中，斜边，且，点P是线段AD上任一点，则的可能取值是（ ）
A．-1 B．0 C．4 D．5
三、填空题
13．已知向量.若，则___________.
14．已知平面向量，与垂直，则的值为__________．
15．已知，且在方向上的投影是，则___________.
16．已知点P为的内心，，若，则______．
四、解答题
17．已知，与的夹角是.
(1)求的值及的值；
(2)当为何值时，？
18．已知，
(1)设，的夹角为，求的值；
(2)若向量与共线，求的值．
19．已知平面四边形中，，向量的夹角为.
(1)求证：；
(2)点是线段中点，求的值.
20．如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2.已知船在静水中的速度的大小为，水流的速度的大小为.求：
(1)；
(2)船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值.

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