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第五章 平面向量及其应用、复数
专题4.1：正弦定理、余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
1．正弦、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C
变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝
2.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin ＝cos ；(4)cos ＝sin .
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B．
4．三角形中的大角对大边
在△ABC中，A＞B a＞b sin A＞sin B．
考点一　利用正、余弦定理解三角形
1．（2022·湖南郴州·高一期末）△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先由正弦定理求得，进而求得，再由结合和角公式求解即可.
【详解】
由及知，，由正弦定理得，解得，又，则，
，则.
故选：D.
2．（2022·江苏·如皋市第一中学高一期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足．角A的内角平分线交于点M，若，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】由条件及三角形中角的关系，结合正弦定理先求出角，由三角形的内角平分线定理可得，然后在，中，分别利用余弦定理结合，用表示出，从而可得出答案.
【详解】
由条件有：，
又，则，
即，又，则
由为的角平分线，则,即
则
在中，
即 ①
在在中，
在中，
由，则
化简得到： ②
将②代入①可得： ③
将③代入②可得：, 所以
所以
故选：A
3．（2022·湖北武汉·高三开学考试）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.
(1)若，求ABC的面积；
(2)若，求ABC的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理求得，再由三角形面积公式计算；
（2）由同角关系化为正弦关系，由正弦定理化角为边，再由余弦定理求得，得三角形周长．
（1）由余弦定理，得，即，解得（舍去），或由，得.
（2）由，得，即由正弦定理，得，即由余弦定理，得，解得，从而∴ABC的周长为．
4．（2021·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，______________，求：的面积．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
【答案】.
【分析】选择①：由余弦定理求得，由正弦定理得，由两角和差公式计算，得到面积，再计算面积即可；
若选择②：由正弦定理边化角得到，进而，求得,由正弦定理得，由两角和差公式计算，得到面积，再计算面积即可；；
若选择③：由，得，求得,由正弦定理得，由两角和差公式计算，得到面积，再计算面积即可.
【详解】
解：选择①：，
由余弦定理，因为，所以；
由正弦定理，得，
因为，，所以，
所以，
所以．
若选择②：，则，
因为，所以，因为，所以；
由正弦定理，得，
因为，，所以，
所以，
所以．
若选择③：，则，所以，
因为，所以，所以，所以；
由正弦定理，得，
因为，，所以，
所以，
所以．
利用正、余弦定理解三角形的策略
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．
考点二　判断三角形的形状
1．（2022·陕西·铜川市第一中学高二期末（文））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若为锐角三角形，则
C．若，则为等腰三角形
D．若，则是等腰直角三角形
【答案】B
【分析】利用余弦定理、诱导公式、三角函数、三角恒等变换的知识进行判断.
【详解】对于A，若，则，则B为锐角，
不能判定为锐角三角形，故A错误；
对于B，若为锐角三角形，则，且，
所以，故B正确；
对于C，若，则，所以，
所以或，即或，不一定是等腰三角形，故C错误；
对于D，若，则，即，即，
因为A，B是三角形的内角，所以A-B=0，即A=B. 是等腰三角形，故D错误.
故选：B.
2．（2022·青海西宁·高一期末）若△ABC的三个内角满足，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】令，再利用余弦定理得解.
【详解】
解：由正弦定理可得，令，则为最长的边，故角最大，
由余弦定理可得，所以角为直角.
故是直角三角形．
故选：B．
3．（2020·河北·唐山市第二中学高一阶段练习）中，角所对的边分别为，表示三角形的面积，若，，则对的形状的精确描述是（ ）
A．直角三角形 B．等腰或直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【分析】通过三角函数的恒等变换化简；通过余弦定理和面积化简，即可得到三角形的形状.
【详解】
因为，则，
因为，所以，
即，又，所以，
由得
整理得，又因为，所以，所以，
是等腰直角三角形，所以C正确；
故选：C.
4．（2022·江苏徐州·高一期末）已知内角，，所对的边分别为，，，以下结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则该三角形有两解
C．若，则一定为等腰三角形
D．若，则一定为钝角三角形
【答案】AD
【分析】
对A，根据正弦定理判断即可；
对B，根据正弦定理求解判断即可；
对C，根据正弦定理结合正弦函数的取值判断即可；
对D，根据正弦定理边角互化，再根据余弦定理判断即可
【详解】
对A，由三角形的性质，当时，，又由正弦定理，故，故A正确；
对B，由正弦定理，故，故，因为，故，故该三角形只有1解，故B错误；
对C，由正弦定理，，故，所以或，即，所以为等腰或者直角三角形，故C错误；
对D，由正弦定理，，又余弦定理，故，故一定为钝角三角形，故D正确；
故选：AD
判定三角形形状的两种常用途径
提醒：在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．
考点三　与三角形面积有关的问题
1．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））在等腰中，AB＝AC，若AC边上的中线BD的长为3，则的面积的最大值是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】A
【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得面积的最大值．
【详解】
设，，
由于，
在和中应用余弦定理可得：
，整理可得：，
结合勾股定理可得的面积：
，
当且仅当时等号成立．
则面积的最大值为6．
故选：A.
2．（2022·河北保定·高一阶段练习）在中，内角的对边分别是，.
(1)求角的大小；
(2)若点满足，且，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理把边化为角，再结合三角恒等变换即可求解；
（2）由题意得，进而利用三角面积可转化，从而有，再由面积公式与基本不等式求解即可
（1）因为，所以.因为，所以.因为，所以.又因为，所以.
（2）因为，所以点D在线段上，且.因为，所以，即为的角平分线.由（1）得，所以.由，得，即，得，当且仅当时，等号成立，.故面积的最小值为.
3．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知的三个内角所对的边分别为 ，则边= ____________，的面积为__________．
【答案】
【分析】根据正弦的两角和公式可求,根据正弦定理即可求解，进而根据面积公式即可求解.
【详解】
由三角形内角和可得，故，
根据正弦定理得：，
，
故答案为：，
求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
1．（2021·全国·高考真题（文））在中，已知，，，则（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.
【详解】设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故选：D.
2．（2020·全国·高考真题（理））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案.
【详解】
在中，，，
根据余弦定理：
可得 ，即
由
故.
故选：A.
3．（2020·全国·高考真题（文））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】先根据余弦定理求，再根据余弦定理求，最后根据同角三角函数关系求
【详解】
设
故选：C
4.（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求的大小；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出；
（2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出；
（3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出．
（1）因为，即，而，代入得，解得：．
（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．
（3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，故．
2．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
（1）由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
5．（2022·北京·高考真题）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.
(1)解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
(2)解：由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
一、单选题
1．中，已知，则边为（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】C
【分析】根据余弦定理解三角形即可.
【详解】
在中，由余弦定理得，，
所以.
故选：C
2．已知的三个内角所对的三条边为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，确定三内角的度数，根据正弦定理即可求得答案.
【详解】
由题意得的三个内角，
故，
由正弦定理得：,
故选：C
3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且AB边上的中线，则面积的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】根据余弦定理，结合三角形面积公式和基本不等式进行求解即可.
【详解】
由，得，
如图，作出平行四边形ACBE，则与的面积相等.在中，，，则，∴.
又，∴，
∴，
故面积的最大值为.
故选：A
4．在中，内角，，对应的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】根据三角形的性质，以及正弦定理和余弦定理，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，由，，可得，所以三角形只有一解；
对于B中，由，，，可得，所以，此时三角形有唯一的解；
对于C中，由正弦定理，可得，
可得有两解，所以三角形有两解；
对于D中，由余弦定理得，可得有唯一的解，所以三角形只有一解.
故选：C.
5．在△ABC中，，，，则满足条件的△ABC（ ）
A．无解 B．有一解 C．有两解 D．不能确定
【答案】A
【分析】根据正弦定理进行判断即可.
【详解】
由正弦定理可知：，
显然不存在这样的角，
故选：A
6．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，，的面积为，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理化角为边可得，再将用表示，再利用正弦定理化边为角，从而可求得角A，再利用三角形的面积公式可求得，最后利用余弦定理即可得解.
【详解】
解：∵，∴，∴，
∵，∴，
则，
∴，
又，则，
∴，，
∴，
∴，∴，
则
∴．
故选：D.
7．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中错误的是（ ）
A．若，则一定是等边三角形
B．若，则一定是等腰三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是钝角三角形
【答案】B
【分析】根据正余弦定理中，边角互化即可求解.
【详解】
对于A:由正弦定理以及得，因为,所以,故是等边三角形，故A对，
对B:由以及正弦定理得：,
由于，因此,或者,即,或者，故为等腰三角形或者直角三角形，故B错误，
对C:由正弦定理得,
由于在中，,因此可得,
由于,故,故C正确，
对于D:由得，故为钝角，因此D正确
故选：B
8．记的内角的对边分别是，已知，，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由正弦定理及余弦定理得，然后利用余弦定理结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】
∵，
∴，，可得，
∵，，，
∴，
所以三角形的面积为.
故选：D.
9．在△ABC中，已知，那么△ABC一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】利用三角函数诱导公式和正弦定理余弦定理化简题给条件即可得到，进而得到△ABC为等腰三角形.
【详解】
因为，，所以，
所以由正弦定理和余弦定理得，
化简得，所以，所以△ABC为等腰三角形.
故选：B
二、多选题
10．在锐角三角形ABC中，b=1，c=2，则a的取值不可能是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】ACD
【分析】结合余弦定理求得三角形为锐角三角形时的取值范围后可得结论．
【详解】
由余弦定理，当为锐角时，，则，反之也成立．
因此由是锐角三角形，
得，解得．
故选：ACD．
11．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，①若＝＝，则△ABC一定是等边三角形；②若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形；③若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC一定是等腰三角形；④若a2＋b2－c2>0，则△ABC一定是锐角三角形.上面四个结论正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】AC
【分析】根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个结论即可．
【详解】
对于①，若，则，即
，即，即是等边三角形，故正确；
对于②，若，则由正弦定理得，
即，则或，即或，
则为等腰三角形或直角三角形，故错误；
对于③，若，所以，
所以，即，则是等腰三角形，故正确；
对于④，中，，又，所以
角为锐角，但题中没有告诉最大，所以不一定是锐角三角形，故错误；
故选：AC．
12．在中，角的对边分别为，其面积，下列正确有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】
用余弦定理将已知面积化为 ，写出三角形面积公式，得到等式，化简得，同时得到为锐角，又，解出即可.
【详解】
因为 ，又 ，
所以 ，即
所以 ，为锐角，又 ，
所以 ，，
故选：AC.
13．对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则
C．若，则符合条件的有两个
D．若，则是钝角三角形
【答案】ABD
【分析】由函数在上为单调函数，可判定A正确；由正弦定理得到，可判定B正确；由正弦定理可判定C不正确；由，得到，结合余弦定理求得，可判定D正确.
【详解】
对于A中，若，因为函数在上为单调函数，
所以，所以为等腰三角形，所以A正确；
对于B中，若，可得，由正弦定理，
可得，可得，所以B正确；
对于C中，因为，所以符合条件的有0个，所以C不正确；
对于D中，若，由正弦定理得，
则，因为，所以，
所以是钝角三角形，所以D正确.
故选：ABD.
三、填空题
14．在中，内角的对边分别为，若，则角的大小为___________.
【答案】
【分析】
利用正弦定理、和角的正弦公式进行解三角形.
【详解】
由正弦定理有：

故答案为：.
15．在中，，角，，所对的边分别为，，.若，，，则___________.
【答案】
【分析】利用同角三角函数的基本关系以及余弦定理进行判断.
【详解】
因为在中，，，
所以，
由余弦定理有：，
所以.
故答案为：.
16．在中，，则的值为____________．
【答案】
【分析】利用三角形的面积公式以及余弦定理求解.
【详解】
因为在中，，
所以，
解得
由余弦定理有：
解得
由余弦定理有：
所以，所以.
故答案为：.
17．已知点P在△ABC的边BC上，AP= PC=CA=2，△ABC的面积为，则sin∠PAB=_______.
【答案】
【分析】根据△ABC的面积为可求BC=5，进而在中可求,然后在△ABP中，由正弦定理即可求解.
【详解】
∵AC=PC= AP=2，∴△APC为等边三角形，
由，得BC=5，则BP=5-2=3，
作AD⊥BC交BC于D，在等边△APC中，，
则BD=BP+PD=3+1=4，
在中，，
在△ABP中，由正弦定理得：∴
故答案为:
四、解答题
18．已知分别为的内角所对的边，且
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由正弦定理化角为边，再利用余弦定理及特殊角的三角函数即得；
（2）由余弦定理表示出关系，再由基本不等式得出的最大值，从而可得面积最大值；或利用正弦定理边角互化，然后利用三角恒等变换及三角函数的性质即得．
（1）在中，由题意及正弦定理得，整理得，由余弦定理得，因为，所以；
（2）方法一：由（1）知，，又，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以；方法二：由（1）知，，又，所以由正弦定理，知，所以，所以，又因为，所以，因为，所以，所以当，即时，的面积取得最大值，最大值为.
19．在中，角A，B，C的对边分别为，
(1)求B；
(2)若，的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用三角函数恒等变换公式和正弦定理对已知式子化简变形，可求出角B；
（2）由三角形的面积和，，可求出的值，再利用余弦定理求出，从而可求出三角形的周长
（1）∵，∴∴，∴由正弦定理可得：， ∵，∴，∴， ∵∴
（2）∵的面积为，∵，得，∵，∴，∵，∴，∴，由余弦定理可得，∵，∴，∴三角形的周长为
20．在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)设，从下面两个条件中选择一个，求的周长.
①；②的面积为.
【答案】(1)
(2)选条件①，选条件②
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理边化角化简可得，即可求得而答案；
（2）选①，利用正弦定理可得，结合余弦定理求得 ，即可求得 ，从而求得三角形周长；
选②，根据三角形面积公式求得 ，结合余弦定理即可求得 ，从而求得三角形周长；
（1）由可得,即，由于,故，而，故；
（2）选①，，，所以 ，，故 ，故的周长为.选②的面积为，则,则，，故 ，故的周长为.
21．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，的面积为，求的周长．
【答案】(1)2
(2)
【分析】
（1）只需将展开，再用正余弦定理将其化化成边即可；
（2）先利用求出，再利用面积公式求出A即可求出周长.
（1）由正余弦定理可知
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第五章 平面向量及其应用、复数
专题4.1：正弦定理、余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
1．正弦、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R a2＝ ； b2＝ ； c2＝
变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R cos A＝ ； cos B＝ ； cos C＝
2.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝ ＝ ；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin ＝cos ；(4)cos ＝sin .
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B．
4．三角形中的大角对大边
在△ABC中，A＞B a＞b sin A＞sin B．
考点一　利用正、余弦定理解三角形
1．（2022·湖南郴州·高一期末）△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先由正弦定理求得，进而求得，再由结合和角公式求解即可.
【详解】
由及知，，由正弦定理得，解得，又，则，
，则.
故选：D.
2．（2022·江苏·如皋市第一中学高一期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足．角A的内角平分线交于点M，若，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】由条件及三角形中角的关系，结合正弦定理先求出角，由三角形的内角平分线定理可得，然后在，中，分别利用余弦定理结合，用表示出，从而可得出答案.
【详解】
由条件有：，
又，则，
即，又，则
由为的角平分线，则,即
则
在中，
即 ①
在在中，
在中，
由，则
化简得到： ②
将②代入①可得： ③
将③代入②可得：, 所以
所以
故选：A
3．（2022·湖北武汉·高三开学考试）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.
(1)若，求ABC的面积；
(2)若，求ABC的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理求得，再由三角形面积公式计算；
（2）由同角关系化为正弦关系，由正弦定理化角为边，再由余弦定理求得，得三角形周长．
（1）由余弦定理，得，即，解得（舍去），或由，得.
（2）由，得，即由正弦定理，得，即由余弦定理，得，解得，从而∴ABC的周长为．
4．（2021·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，______________，求：的面积．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
【答案】.
【分析】选择①：由余弦定理求得，由正弦定理得，由两角和差公式计算，得到面积，再计算面积即可；
若选择②：由正弦定理边化角得到，进而，求得,由正弦定理得，由两角和差公式计算，得到面积，再计算面积即可；；
若选择③：由，得，求得,由正弦定理得，由两角和差公式计算，得到面积，再计算面积即可.
【详解】
解：选择①：，
由余弦定理，因为，所以；
由正弦定理，得，
因为，，所以，
所以，
所以．
若选择②：，则，
因为，所以，因为，所以；
由正弦定理，得，
因为，，所以，
所以，
所以．
若选择③：，则，所以，
因为，所以，所以，所以；
由正弦定理，得，
因为，，所以，
所以，
所以．
利用正、余弦定理解三角形的策略
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．
考点二　判断三角形的形状
1．（2022·陕西·铜川市第一中学高二期末（文））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若为锐角三角形，则
C．若，则为等腰三角形
D．若，则是等腰直角三角形
【答案】B
【分析】利用余弦定理、诱导公式、三角函数、三角恒等变换的知识进行判断.
【详解】对于A，若，则，则B为锐角，
不能判定为锐角三角形，故A错误；
对于B，若为锐角三角形，则，且，
所以，故B正确；
对于C，若，则，所以，
所以或，即或，不一定是等腰三角形，故C错误；
对于D，若，则，即，即，
因为A，B是三角形的内角，所以A-B=0，即A=B. 是等腰三角形，故D错误.
故选：B.
2．（2022·青海西宁·高一期末）若△ABC的三个内角满足，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】令，再利用余弦定理得解.
【详解】
解：由正弦定理可得，令，则为最长的边，故角最大，
由余弦定理可得，所以角为直角.
故是直角三角形．
故选：B．
3．（2020·河北·唐山市第二中学高一阶段练习）中，角所对的边分别为，表示三角形的面积，若，，则对的形状的精确描述是（ ）
A．直角三角形 B．等腰或直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【分析】通过三角函数的恒等变换化简；通过余弦定理和面积化简，即可得到三角形的形状.
【详解】
因为，则，
因为，所以，
即，又，所以，
由得
整理得，又因为，所以，所以，
是等腰直角三角形，所以C正确；
故选：C.
4．（2022·江苏徐州·高一期末）已知内角，，所对的边分别为，，，以下结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则该三角形有两解
C．若，则一定为等腰三角形
D．若，则一定为钝角三角形
【答案】AD
【分析】
对A，根据正弦定理判断即可；
对B，根据正弦定理求解判断即可；
对C，根据正弦定理结合正弦函数的取值判断即可；
对D，根据正弦定理边角互化，再根据余弦定理判断即可
【详解】
对A，由三角形的性质，当时，，又由正弦定理，故，故A正确；
对B，由正弦定理，故，故，因为，故，故该三角形只有1解，故B错误；
对C，由正弦定理，，故，所以或，即，所以为等腰或者直角三角形，故C错误；
对D，由正弦定理，，又余弦定理，故，故一定为钝角三角形，故D正确；
故选：AD
判定三角形形状的两种常用途径
在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．
考点三　与三角形面积有关的问题
1．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））在等腰中，AB＝AC，若AC边上的中线BD的长为3，则的面积的最大值是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】A
【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得面积的最大值．
【详解】
设，，
由于，
在和中应用余弦定理可得：
，整理可得：，
结合勾股定理可得的面积：
，
当且仅当时等号成立．
则面积的最大值为6．
故选：A.
2．（2022·河北保定·高一阶段练习）在中，内角的对边分别是，.
(1)求角的大小；
(2)若点满足，且，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理把边化为角，再结合三角恒等变换即可求解；
（2）由题意得，进而利用三角面积可转化，从而有，再由面积公式与基本不等式求解即可
（1）因为，所以.因为，所以.因为，所以.又因为，所以.
（2）因为，所以点D在线段上，且.因为，所以，即为的角平分线.由（1）得，所以.由，得，即，得，当且仅当时，等号成立，.故面积的最小值为.
3．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知的三个内角所对的边分别为 ，则边= ____________，的面积为__________．
【答案】
【分析】根据正弦的两角和公式可求,根据正弦定理即可求解，进而根据面积公式即可求解.
【详解】
由三角形内角和可得，故，
根据正弦定理得：，
，
故答案为：，
求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
1．（2021·全国·高考真题（文））在中，已知，，，则（ ）
A．1 B． C． D．3
2．（2020·全国·高考真题（理））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国·高考真题（文））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）
A． B．2 C．4 D．8
4.（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求的大小；
(2)求的值；
(3)求的值.
2．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
5．（2022·北京·高考真题）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
一、单选题
1．中，已知，则边为（ ）
A． B．或 C． D．
2．已知的三个内角所对的三条边为，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且AB边上的中线，则面积的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
4．在中，内角，，对应的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．在△ABC中，，，，则满足条件的△ABC（ ）
A．无解 B．有一解 C．有两解 D．不能确定
6．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，，的面积为，则（ ）
A． B．2 C． D．
7．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中错误的是（ ）
A．若，则一定是等边三角形
B．若，则一定是等腰三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是钝角三角形
8．记的内角的对边分别是，已知，，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
9．在△ABC中，已知，那么△ABC一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
二、多选题
10．在锐角三角形ABC中，b=1，c=2，则a的取值不可能是（ ）
A． B．2 C． D．3
11．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，①若＝＝，则△ABC一定是等边三角形；②若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形；③若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC一定是等腰三角形；④若a2＋b2－c2>0，则△ABC一定是锐角三角形.上面四个结论正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
12．在中，角的对边分别为，其面积，下列正确有（ ）
A． B． C． D．
13．对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则
C．若，则符合条件的有两个
D．若，则是钝角三角形
三、填空题
14．在中，内角的对边分别为，若，则角的大小为___________.
15．在中，，角，，所对的边分别为，，.若，，，则___________.
16．在中，，则的值为____________．
17．已知点P在△ABC的边BC上，AP= PC=CA=2，△ABC的面积为，则sin∠PAB=_______.
四、解答题
18．已知分别为的内角所对的边，且
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值.
19．在中，角A，B，C的对边分别为，
(1)求B；
(2)若，的面积为，求的周长.
20．在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)设，从下面两个条件中选择一个，求的周长.
①；②的面积为.
21．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，的面积为，求的周长．

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