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第五章 平面向量及其应用、复数
专题4.2：正弦定理、余弦定理应用举例
能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
测量中的几个常用术语
术语名称 术语意义 图形表示
仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做 ，目标视线在水平视线下方的叫做
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做 ，方位角θ的范围是
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α：
考点一　测量距离问题
1．（2022·山东青岛·二模）如图所示，A，B，C为三个村庄，，，，则___________；若村庄D在线段BC中点处，要在线段AC.上选取一点E建一个加油站，使得该加油站到村庄A，B，C，D的距离之和最小，则该最小值为___________.
【答案】 60°
【分析】利用余弦定理以及点关于线的对称点进行处理.
【详解】
在中，由余弦定理有：
又，所以.
如图，作D关于AC的对称点F，则DE=FE，DC=FC=4，
，所以，当且仅当
B，E，F三点共线时，BE+EF最小.
.
所以，所以AE+CE+BE+DE=AC+BE+EF，
当且仅当B，E，F三点共线时，等号成立.
故答案为：，.
2．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台如图所示，其中，为两条公路，，，为公路上的两个景点，测得，，为了获得最佳观景效果，要求对的视角现需要从观景台到，建造两条观光路线，，且要求观光路线最长.若建造观光路线的宽为米，每平方造价为元，则该景区预算需投入___万元可完成改造
【答案】
【分析】先用余弦定理求出MN，设，用正弦定理表示出,利用三角函数求出最大值，即可得到预算投入.
【详解】
在中，由余弦定理得：
，
解得（千米）；
设，，，
在中，由正弦定理，得，
，
，，
又因为，
所以
所以，
即观光线路长的最大值为，
该景区预算需投入元万元．
故答案为：265.
3．（2022·山东东营·高一期末）如图，一条巡逻船由南向北行驶，在处测得灯塔底部在北偏东方向上，匀速向北航行分钟到达处，此时测得灯塔底部在北偏东方向上，测得塔顶的仰角为，已知灯塔高为．
(1)求巡逻船的航行速度
(2)若该船继续航行分钟到达处，问此时灯塔底部位于处的南偏东什么方向
【答案】(1)；
(2)灯塔底部位于处的南偏东方向.
【分析】
（1）直角中可得，中，再应用正弦定理求出，进而求巡逻船的航行速度.
（2）中应用余弦定理可得，再由正弦定理求得，即可得结果.
（1）在直角中，，故 在中，由正弦定理得解得：，从A到B共花20分钟，故巡逻船的航行速度
（2）在中，由余弦定理可得：，在中，由正弦定理得：，则，而，则，故，所以此时灯塔底部位于处的南偏东方向．
距离问题的解题思路
这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．
：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当．
考点二　测量高度问题
1．（2022·四川宜宾·高一期末）如图，一栋建筑物AB的高为米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面点M（B、D、M三点共线）处测得楼顶A和塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高（单位：米）为（ ）
A． B．30 C． D．60
【答案】C
【分析】根据给定的几何图形，利用直角三角形的边角关系、正弦定理求解作答.
【详解】
依题意，，
在中，，在中，，
，由正弦定理得：，
在中，（米），
所以通信塔CD的高为米.
故选：C
2．（2022·辽宁营口·高一期末）“鲅鱼公主”形象源于一个古老的传说，寓意深刻，美丽动人，象征和平，鲅鱼圈也因此得名， 享誉中外.“鮁鱼公主”雕塑作为渤海明珠景区的重要组成部分，东与望儿山翘首相望、北与鱼跃龙腾雕塑交相辉映，是山海文化、鱼龙文化相互交融的经典力作，是鲅鱼圈的标志性建筑.高中生李明与同学进行研究性学习，为确定“鲅鱼公主”雕塑的高MN，选择点A和附近一楼顶C作为测量观测点.从A点测得M点的仰角，C点的仰角从C点测得，已知楼高BC=40m，则“鲅鱼公主”雕塑的高MN=_____m
【答案】60
【分析】
由题意可知，解三角形ABC可求得AC，继而解三角形AMC求得AM，再解三角形AMN，即可求得答案.
【详解】
由题意可知，
由于，故 ，
又因为， ，
所以,
,
又因为，故，
故答案为：60
3．（2022·云南保山·高一期末）文笔塔，又称慈云塔，位于保山市隆阳区太保山麓，古塔建设于唐代南诏时期．2007年4月在原址拆除重建后的文笔塔新塔与广大市民见面．如图，某同学在测量塔高AB时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C和D． 测得，在点 C测得塔顶A仰角为，已知，，且CD＝56米．
(1)求；
(2)求塔高AB（结果保留整数）．
【答案】(1)
(2)47
【分析】
（1）利用平方关系求出，再根据利用两角和的正弦公式即可得解；
（2）在中，利用正弦定理求出，再解即可得解.
（1）解：在中，因为，所以，则，所以，所以，又，所以，则；
（2）解：在中，因为，所以米，则中，米，所以塔高AB为47米.
解决高度问题的三个注意事项
(1)要理解仰角、俯角的定义；
(2)在实际问题中可能会遇到空间与平面(底面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形；
(3)注意山或塔垂直底面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
考点三　测量角度问题
1．（2022·河北保定·高一期末）一艘船航行到点处时，测得灯塔与其相距30海里，如图所示.随后该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点，测得灯塔在其北偏东方向，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可知的值，利用正弦定理即可求解.
【详解】
解：由题意可知，，海里，
由正弦定理可得=，代入数据得.
故选：C.
2．（2022·安徽池州·高一期末）如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．A、D之间的距离为海里
C．A、B两处岛屿间的距离为海里
D．B、D之间的距离为海里
【答案】BC
【分析】根据三角形的内角求得∠CAD,判定A；利用正弦定理求得AD,判定A；利用等腰直角三角形性质求得BD,判定D；利用余弦定理求得AB,判定C.
【详解】
解：由题意可知，，，，，
所以，故A错误；
，
在中，由正弦定理得，得(海里)，故B正确；
在中，因为，，所以(海里)，故D错误；
在中，由余弦定理得，
(海里)，故C正确.
故选：BC.
3．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期中）位于某海域A处的甲船，在其正东方20nmile的B处有一艘船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知位干甲船南偏西30°且与甲船相距nmile的C处的乙船．那么乙船前往营救遇险船时的目标方向线（由观测点看目标视线）的方向是北偏东多少度？需要航行的距离是多少海里？
【答案】北偏东，n mile.
【分析】根据题意画出示意图，利用余弦定理和正弦定理解三角形即可求解.
【详解】
根据题意，画出示意图：
由余弦定理得：
于是
由正弦定理，得
于是，
由可得
因此乙船营救遇险渔船时的目标方向线的方向是北偏东，
需要航行n mile.
解决角度问题的三个注意事项
(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义；
(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值；
(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点.
（2021·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A ′，B ′，C ′满足∠A ′C ′B ′＝45°，∠A ′B ′C ′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB ′与CC ′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A ′B ′C ′的高度差AA ′－CC ′约为(≈1.732) (　　)
A．346　 B．373　
C．446　 D．473
　
一、单选题
1．小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘（如图阴影部分），为了测量该池塘两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点P1，P2，且P1P2＝a，已经测得两个角∠P1P2D＝α，∠P2P1D＝β，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的是（　　）
①∠DP1C和∠DCP1；②∠P1P2C和∠P1CP2；
③∠P1DC和∠DCP1.
A．①和② B．①和③
C．②和③ D．①和②和③
2．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸、的俯角分别为、，此时气球的高是，则河流的宽度约等于（ ）．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：，，，，）
A． B． C． D．
3．如图，A，B两地相距45km，甲欲驾车从A地去B地，由于山体滑坡造成道路AB堵塞，甲沿着与AB方向成18°角的方向前行，中途到达C点，再沿与AC方向成153°角的方向继续前行到达终点B，则这样的驾车路程比原来的路程约多了（ ）（参考数据：，，）
A．45.5km B．51.5km C．56.5km D．60.5km
4．如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点距地面的距离，小明同学在场馆内的A点测得的仰角为，，，（单位：），（点在同一水平地面上），则大跳台最高高度（ ）
A． B．
C． D．
5．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是和，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为，则可估算圣·索菲亚教堂的高度CD约为（ ）

A．54m B．47m C．50m D．44m
6．如图，某数学学习小组要测量地面上一棵大树的高度（大树垂直于地面），在与树底同一水平面内选取两个测量基点和，在点测得大树顶部的仰角是，在点测得大树顶部的仰角是，测得水平面上的米，则大树的高度为（ ）
A．10米 B．米 C．20米 D．米
7．甲船在A处，乙船在甲船北偏东60°方向的B处，甲船沿北偏东方向匀速行驶，乙船沿正北方向匀速行驶，且甲船的航速是乙船航速的倍，为使甲船与乙船能在某时刻相遇，则（ ）
A． B． C． D．
8．某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得，沿土坡向坡顶前进后到达D处，测得．已知旗杆，土坡对于地平面的坡角为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离12海里，灯塔C在A的北偏西，距离为12海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，下面结论正确的有（ ）
A． B．
C．或 D．
10．某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为.货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（ ）
A．处与处之间的距离是 B．灯塔与处之间的距离是
C．灯塔在处的西偏南 D．在灯塔的北偏西
11．某同学为测量数学楼的高度，先在地面选择一点C，测量出对教学楼AB的仰角，再分别执行如下四种测量方案，则利用测量数据可表示出教学楼高度的方案有（ ）
A．从点C向教学楼前进a米到达点D，测量出角；
B．在地面上另选点D，测量出角，，米；
C．在地面上另选点D，测量出角，米；
D．从过点C的直线上（不过点B）另选点D、E，测量出米，，．
12．根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点沿东偏南（在上变化）方向行走一段时间后，再向正南方向行走一段时间，但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走2分钟时的落点与原点的距离可能为（ ）
A．14米 B．16米 C．18米 D．20米
三、填空题
13．如图所示，为测算某自然水域的最大宽度（即A，B两点间的距离），现取与A，B两点在同一平面内的两点C，D，测得C，D间的距离为1500米，，，，则A，B两点的距离为______米．
14．测量某建筑AB的高时，可以选取与其底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，如图所示，现测得，，，m，则建筑物AB的高为______m.
15．当太阳光线与水平面的倾斜角为时，一根长为的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角________．
16．通信卫星与经济、军事等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球（球心为，半径为），地球上一点的纬度是指与赤道平面所成角的度数，点处的水平面是指过点且与垂直的平面，在点处放置一个仰角为的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点的纬度为北纬，则________．
四、解答题
17．如图，某运动员从A市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时15的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在A市南偏东方向距A市75，且与海岸距离为45的海上B处有一艘小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.
(1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？
(2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB的夹角.
18．在实际生活中，为了测量建筑物的高度，可借助的方法有很多．如图1所示，为了得到建筑物AB的高，可以在水平面的C点处先测量仰角（其中米是测量仪器高度），然后前进t米到达点E后（米，为测量仪器的高度）再测量仰角的大小，最后根据有关数据和直角三角形知识就可得到AB的高．但是，在这种测量方法中，要保证C，E，B在一条直线上，而且AB要与BC垂直（实际生活中直线BC不一定水平），否则误差会比较大．为了避免这种误差：将以上方法调整为，使C，E，B三点不共线，测得．．，，，米，如图2．
(1)若C，E，B三点共线，且，试写出图1中建筑物AB的高（单位：米）的表达式（用，，t，a表示）；
(2)当C，E，B三点不共线且并不确定平面CBE是否为水平面时，试写出图2中建筑物AB的高（单位：米）的表达式（结果用，，，，，t表示，写出原始表达式即可，不必分母有理化）．
19．如图，某轮船从海岛A出发沿正北方向航行，灯塔B在海岛A北偏西75°的方向上，且与海岛A相距，灯塔C在海岛A北偏东30°的方向上，且与海岛A相距，该轮船航行到D处时看到灯塔B在北偏西135°的方向上．
(1)求D与海岛A的距离；
(2)求D与灯塔C的距离．
【分析】中小学教育资源及组卷应用平台
第五章 平面向量及其应用、复数
专题4.2：正弦定理、余弦定理应用举例
能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
测量中的几个常用术语
术语名称 术语意义 图形表示
仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是[0°，360°)
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α：
考点一　测量距离问题
1．（2022·山东青岛·二模）如图所示，A，B，C为三个村庄，，，，则___________；若村庄D在线段BC中点处，要在线段AC.上选取一点E建一个加油站，使得该加油站到村庄A，B，C，D的距离之和最小，则该最小值为___________.
【答案】 60°
【分析】利用余弦定理以及点关于线的对称点进行处理.
【详解】
在中，由余弦定理有：
又，所以.
如图，作D关于AC的对称点F，则DE=FE，DC=FC=4，
，所以，当且仅当
B，E，F三点共线时，BE+EF最小.
.
所以，所以AE+CE+BE+DE=AC+BE+EF，
当且仅当B，E，F三点共线时，等号成立.
故答案为：，.
2．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台如图所示，其中，为两条公路，，，为公路上的两个景点，测得，，为了获得最佳观景效果，要求对的视角现需要从观景台到，建造两条观光路线，，且要求观光路线最长.若建造观光路线的宽为米，每平方造价为元，则该景区预算需投入___万元可完成改造
【答案】
【分析】先用余弦定理求出MN，设，用正弦定理表示出,利用三角函数求出最大值，即可得到预算投入.
【详解】
在中，由余弦定理得：
，
解得（千米）；
设，，，
在中，由正弦定理，得，
，
，，
又因为，
所以
所以，
即观光线路长的最大值为，
该景区预算需投入元万元．
故答案为：265.
3．（2022·山东东营·高一期末）如图，一条巡逻船由南向北行驶，在处测得灯塔底部在北偏东方向上，匀速向北航行分钟到达处，此时测得灯塔底部在北偏东方向上，测得塔顶的仰角为，已知灯塔高为．
(1)求巡逻船的航行速度
(2)若该船继续航行分钟到达处，问此时灯塔底部位于处的南偏东什么方向
【答案】(1)；
(2)灯塔底部位于处的南偏东方向.
【分析】
（1）直角中可得，中，再应用正弦定理求出，进而求巡逻船的航行速度.
（2）中应用余弦定理可得，再由正弦定理求得，即可得结果.
（1）在直角中，，故 在中，由正弦定理得解得：，从A到B共花20分钟，故巡逻船的航行速度
（2）在中，由余弦定理可得：，在中，由正弦定理得：，则，而，则，故，所以此时灯塔底部位于处的南偏东方向．
距离问题的解题思路
这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．
提醒：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当．
考点二　测量高度问题
1．（2022·四川宜宾·高一期末）如图，一栋建筑物AB的高为米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面点M（B、D、M三点共线）处测得楼顶A和塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高（单位：米）为（ ）
A． B．30 C． D．60
【答案】C
【分析】根据给定的几何图形，利用直角三角形的边角关系、正弦定理求解作答.
【详解】
依题意，，
在中，，在中，，
，由正弦定理得：，
在中，（米），
所以通信塔CD的高为米.
故选：C
2．（2022·辽宁营口·高一期末）“鲅鱼公主”形象源于一个古老的传说，寓意深刻，美丽动人，象征和平，鲅鱼圈也因此得名， 享誉中外.“鮁鱼公主”雕塑作为渤海明珠景区的重要组成部分，东与望儿山翘首相望、北与鱼跃龙腾雕塑交相辉映，是山海文化、鱼龙文化相互交融的经典力作，是鲅鱼圈的标志性建筑.高中生李明与同学进行研究性学习，为确定“鲅鱼公主”雕塑的高MN，选择点A和附近一楼顶C作为测量观测点.从A点测得M点的仰角，C点的仰角从C点测得，已知楼高BC=40m，则“鲅鱼公主”雕塑的高MN=_____m
【答案】60
【分析】
由题意可知，解三角形ABC可求得AC，继而解三角形AMC求得AM，再解三角形AMN，即可求得答案.
【详解】
由题意可知，
由于，故 ，
又因为， ，
所以,
,
又因为，故，
故答案为：60
3．（2022·云南保山·高一期末）文笔塔，又称慈云塔，位于保山市隆阳区太保山麓，古塔建设于唐代南诏时期．2007年4月在原址拆除重建后的文笔塔新塔与广大市民见面．如图，某同学在测量塔高AB时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C和D． 测得，在点 C测得塔顶A仰角为，已知，，且CD＝56米．
(1)求；
(2)求塔高AB（结果保留整数）．
【答案】(1)
(2)47
【分析】
（1）利用平方关系求出，再根据利用两角和的正弦公式即可得解；
（2）在中，利用正弦定理求出，再解即可得解.
（1）解：在中，因为，所以，则，所以，所以，又，所以，则；
（2）解：在中，因为，所以米，则中，米，所以塔高AB为47米.
解决高度问题的三个注意事项
(1)要理解仰角、俯角的定义；
(2)在实际问题中可能会遇到空间与平面(底面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形；
(3)注意山或塔垂直底面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
考点三　测量角度问题
1．（2022·河北保定·高一期末）一艘船航行到点处时，测得灯塔与其相距30海里，如图所示.随后该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点，测得灯塔在其北偏东方向，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可知的值，利用正弦定理即可求解.
【详解】
解：由题意可知，，海里，
由正弦定理可得=，代入数据得.
故选：C.
2．（2022·安徽池州·高一期末）如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．A、D之间的距离为海里
C．A、B两处岛屿间的距离为海里
D．B、D之间的距离为海里
【答案】BC
【分析】根据三角形的内角求得∠CAD,判定A；利用正弦定理求得AD,判定A；利用等腰直角三角形性质求得BD,判定D；利用余弦定理求得AB,判定C.
【详解】
解：由题意可知，，，，，
所以，故A错误；
，
在中，由正弦定理得，得(海里)，故B正确；
在中，因为，，所以(海里)，故D错误；
在中，由余弦定理得，
(海里)，故C正确.
故选：BC.
3．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期中）位于某海域A处的甲船，在其正东方20nmile的B处有一艘船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知位干甲船南偏西30°且与甲船相距nmile的C处的乙船．那么乙船前往营救遇险船时的目标方向线（由观测点看目标视线）的方向是北偏东多少度？需要航行的距离是多少海里？
【答案】北偏东，n mile.
【分析】根据题意画出示意图，利用余弦定理和正弦定理解三角形即可求解.
【详解】
根据题意，画出示意图：
由余弦定理得：
于是
由正弦定理，得
于是，
由可得
因此乙船营救遇险渔船时的目标方向线的方向是北偏东，
需要航行n mile.
解决角度问题的三个注意事项
(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义；
(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值；
(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点.
（2021·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
【答案】A
【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】
如图所示：
由平面相似可知，，而 ，所以
，而 ，
即＝ ．
故选：A.
(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A ′，B ′，C ′满足∠A ′C ′B ′＝45°，∠A ′B ′C ′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB ′与CC ′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A ′B ′C ′的高度差AA ′－CC ′约为(≈1.732) (　　)
A．346　 B．373　
C．446　 D．473
【答案】B　
【解析】过C作CH⊥BB ′于H，过B作BM⊥AA ′于M，则∠BCH＝15°，BH＝100，∠ABM＝45°，CH＝C ′B ′，A ′B ′＝BM＝AM，BB ′＝MA ′，∠C ′A ′B ′＝75°，
∴tan∠BCH＝tan 15°＝tan(45°－30°)＝＝2－，
sin 75°＝sin(45°＋30°)＝.
则在Rt△BCH中，CH＝＝100(2＋)，
∴C ′B ′＝100(2＋)．
在△A ′B ′C ′中，由正弦定理知，
A ′B ′＝·sin∠A ′C ′B ′＝100(＋1)，
∴AM＝100(＋1)，
∴AA ′－CC ′＝AM＋BH＝100(＋1)＋100≈373，
故选B．
一、单选题
1．小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘（如图阴影部分），为了测量该池塘两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点P1，P2，且P1P2＝a，已经测得两个角∠P1P2D＝α，∠P2P1D＝β，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的是（　　）
①∠DP1C和∠DCP1；②∠P1P2C和∠P1CP2；
③∠P1DC和∠DCP1.
A．①和② B．①和③
C．②和③ D．①和②和③
【答案】D
【分析】由正余弦定理知已知三角形两角一边或两边一角或三边均可解出三角形任意一个量，要求C，D间距离只需看CD所在三角形是否已知两角一边或者两边一角即可.
【详解】
根据题意，的三个角和三个边，由正弦定理均可以求出，中已知，而中已知
若选条件①，则中已知两角一边，CD可以求；
若选条件②，由正弦定理可以求出及，所以可以求出，则在中已知两边及夹角运用余弦定理即可求出CD.
若选条③，则在中已知两边及一角，用正弦定理即可求出CD.
故选：D
2．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸、的俯角分别为、，此时气球的高是，则河流的宽度约等于（ ）．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：，，，，）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题可先可将题目放置于矩形中，然后通过求出，通过求出，两者相减，即可得出结果.
【详解】
如图所示，作矩形，
因为从气球上测得正前方的河流的两岸、的俯角分别为、，
所以，，
因为气球的高是，所以，
则，，，
，，，
，
故选：A.
3．如图，A，B两地相距45km，甲欲驾车从A地去B地，由于山体滑坡造成道路AB堵塞，甲沿着与AB方向成18°角的方向前行，中途到达C点，再沿与AC方向成153°角的方向继续前行到达终点B，则这样的驾车路程比原来的路程约多了（ ）（参考数据：，，）
A．45.5km B．51.5km C．56.5km D．60.5km
【答案】C
【分析】利用正弦定理求出、，即可得解.
【详解】
解：在中，由，，所以，
由正弦定理，即，
所以，，所以．
故选：C
4．如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点距地面的距离，小明同学在场馆内的A点测得的仰角为，，，（单位：），（点在同一水平地面上），则大跳台最高高度（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】在中由正弦定理算出，在中，得到.
【详解】
在中, ，，所以，又，由正弦定理可得,
,
,
在中，,
所以，（m）
故选：C.
5．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是和，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为，则可估算圣·索菲亚教堂的高度CD约为（ ）

A．54m B．47m C．50m D．44m
【答案】A
【分析】
根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出.
【详解】
由题可得在直角中，，，所以，
在中，，，
所以，
所以由正弦定理可得，所以，
则在直角中，，即圣·索菲亚教堂的高度约为54m.
故选：A.
6．如图，某数学学习小组要测量地面上一棵大树的高度（大树垂直于地面），在与树底同一水平面内选取两个测量基点和，在点测得大树顶部的仰角是，在点测得大树顶部的仰角是，测得水平面上的米，则大树的高度为（ ）
A．10米 B．米 C．20米 D．米
【答案】A
【分析】依题意由锐角三角函数得到、，在中利用余弦定理计算可得.
【详解】
解：依题意在中，所以，
在中，所以，所以，令，
在中，，由余弦定理，
即，即，解得或（舍去），
所以大树的高度为米.
故选：A
7．甲船在A处，乙船在甲船北偏东60°方向的B处，甲船沿北偏东方向匀速行驶，乙船沿正北方向匀速行驶，且甲船的航速是乙船航速的倍，为使甲船与乙船能在某时刻相遇，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先设在点处相遇，设，则，再利用正弦定理求解即可.
【详解】
如图所示：设在点处相遇，设，则，
由题知：，
由正弦定理得：，解得.
因为，所以，即.
故选：B
8．某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得，沿土坡向坡顶前进后到达D处，测得．已知旗杆，土坡对于地平面的坡角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先在中由正弦定理可得AP，然后表示出PB、AB，利用三角函数同角关系表示出，化简可得.
【详解】
在中，由正弦定理可得
在中，易知，
则
整理可得
故选：D
二、多选题
9．一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离12海里，灯塔C在A的北偏西，距离为12海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，下面结论正确的有（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】ABD
【分析】先根据题意画出平面图，再根据正、余弦定理解三角形即可得答案.
【详解】
解：如图：在中，，
由正弦定理有， ，故A正确.
在中，由余弦定理得，
因为， 所以，故B正确
由正弦定理得，
所以，故或者，
因为，故为锐角，所以，故C不正确，D正确.
故选：ABD.
10．某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为.货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（ ）
A．处与处之间的距离是 B．灯塔与处之间的距离是
C．灯塔在处的西偏南 D．在灯塔的北偏西
【答案】ABC
【分析】作图，运用正弦定理和余弦定理解相应的三角形即可.
【详解】
在中，由已知得，，
则，．
由正弦定理得，
所以处与处之间的距离为 ，故A正确；
在中，由余弦定理得，
，
又，
解得．
所以灯塔与处之间的距离为 ，故B正确，
，
，
灯塔在处的西偏南，故C正确；
灯塔在的南偏东，
在灯塔的北偏西，故D错误；
故选：ABC．
11．某同学为测量数学楼的高度，先在地面选择一点C，测量出对教学楼AB的仰角，再分别执行如下四种测量方案，则利用测量数据可表示出教学楼高度的方案有（ ）
A．从点C向教学楼前进a米到达点D，测量出角；
B．在地面上另选点D，测量出角，，米；
C．在地面上另选点D，测量出角，米；
D．从过点C的直线上（不过点B）另选点D、E，测量出米，，．
【答案】ABD
【分析】在中用正弦定理求出边AC，再在中计算判断A，B；由解三角形的条件判断C；用AB长表示BC，BD，BE，再利用余弦定理推理判断D作答.
【详解】
对于A，在中，，由正弦定理得，
在中，，A满足；
对于B，在中，，由正弦定理得，
在中，，B满足；
对于C，在中，已知一边无法解三角形，在中，已知一边一角也无法解三角形，不能求出BC，AC，C不满足；
对于D，设，则有，在与中，由余弦定理得：
，即，
因此，，即，解此方程即得h，D满足.
故选：ABD
12．根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点沿东偏南（在上变化）方向行走一段时间后，再向正南方向行走一段时间，但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走2分钟时的落点与原点的距离可能为（ ）
A．14米 B．16米 C．18米 D．20米
【答案】BCD
【分析】利用余弦定理求得所求距离的表达式，结合二次函数、三角函数的知识求得距离的取值范围，从而确定正确选项.
【详解】
设改变方向的地点为，终点为，
由于，所以，，
，，
由余弦定理得
.
当时，米.
当时，，
结合二次函数的性质可知当时，
取得最小值，
，，.
结合二次函数的性质可知当或时，
取得最大值.
综上所述，，
所以BCD选项符合.，A选项不符合.
故选：BCD
三、填空题
13．如图所示，为测算某自然水域的最大宽度（即A，B两点间的距离），现取与A，B两点在同一平面内的两点C，D，测得C，D间的距离为1500米，，，，则A，B两点的距离为______米．
【答案】
【分析】在，中分别求出边AD，BD，再在中利用余弦定理求解作答.
【详解】
如图，在中，，而，则，
因此，，在中，，则，
由正弦定理得：，
在中，由余弦定理得，
所以A，B两点的距离为（米）.
故答案为：
14．测量某建筑AB的高时，可以选取与其底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，如图所示，现测得，，，m，则建筑物AB的高为______m.
【答案】
【分析】首先由正弦定理求出，再由锐角三角函数计算可得.
【详解】
解：在中，，，由正弦定理，
即，解得，在中，，
所以，所以.
故答案为：
15．当太阳光线与水平面的倾斜角为时，一根长为的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角________．
【答案】
【分析】作出示意图，设竹竿与地面所成的角为，影子长为，依据正弦定理可得，再根据正弦函数性质求解即可.
【详解】
作出示意图如下如，
设竹竿与地面所成的角为，影子长为，依据正弦定理可得，
所以，因为，所以要使最大，
只需，即，所以时，影子最长．
答案为：.
16．通信卫星与经济、军事等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球（球心为，半径为），地球上一点的纬度是指与赤道平面所成角的度数，点处的水平面是指过点且与垂直的平面，在点处放置一个仰角为的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点的纬度为北纬，则________．
【答案】
【分析】根据给定条件作出图形，利用正弦定理结合同角公式、差角的正弦公式求解作答.
【详解】
依题意，作出图形，如图，
，则，
在中，由正弦定理得：，即，
于是得，
所以.
故答案为：
四、解答题
17．如图，某运动员从A市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时15的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在A市南偏东方向距A市75，且与海岸距离为45的海上B处有一艘小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.
(1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？
(2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB的夹角.
【答案】(1)小艇至少以每小时的速度才能追上运动员.
(2)小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB的夹角为.
【分析】（1）设小艇以每小时的速度从处出发，小时后与运动员在处相遇，在中利用余弦定理可得与的函数关系式，利用一元二次函数求最值即可求解；
（2）根据（1）的结果可计算出的长度，利用正弦定理即可求解.
(1)
解：如图，设小艇以每小时的速度从处出发，沿方向行驶，小时后与运动员在处相遇，
在中，，，故，，
由余弦定理求得，
则，
整理得：，
当时，即时，，故.
即小艇至少以每小时的速度从处出发才能追上运动员.
(2)
解：当小艇以每小时的速度从处出发，经过时间小时追上运动员，
故,,
又，由正弦定理得，解得，
故.
即小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB的夹角为.
18．在实际生活中，为了测量建筑物的高度，可借助的方法有很多．如图1所示，为了得到建筑物AB的高，可以在水平面的C点处先测量仰角（其中米是测量仪器高度），然后前进t米到达点E后（米，为测量仪器的高度）再测量仰角的大小，最后根据有关数据和直角三角形知识就可得到AB的高．但是，在这种测量方法中，要保证C，E，B在一条直线上，而且AB要与BC垂直（实际生活中直线BC不一定水平），否则误差会比较大．为了避免这种误差：将以上方法调整为，使C，E，B三点不共线，测得．．，，，米，如图2．
(1)若C，E，B三点共线，且，试写出图1中建筑物AB的高（单位：米）的表达式（用，，t，a表示）；
(2)当C，E，B三点不共线且并不确定平面CBE是否为水平面时，试写出图2中建筑物AB的高（单位：米）的表达式（结果用，，，，，t表示，写出原始表达式即可，不必分母有理化）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先在中，由正弦定理求出，然后在中求出，进而可得结果；
（2）分别在和中用正弦定理求出和，最后在中，由余弦定理即可得结果.
(1)
在中，由正弦定理，，即，
因为，所以，
在中，，
所以AB的高为．
(2)
在中，由正弦定理，，
因为，所以，
在中，由正弦定理，，即，
所以，
在中，由余弦定理可知，，
即．
19．如图，某轮船从海岛A出发沿正北方向航行，灯塔B在海岛A北偏西75°的方向上，且与海岛A相距，灯塔C在海岛A北偏东30°的方向上，且与海岛A相距，该轮船航行到D处时看到灯塔B在北偏西135°的方向上．
(1)求D与海岛A的距离；
(2)求D与灯塔C的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）确定中各角的度数，根据正弦定理即可求得答案；
（2）在中,利用余弦定理即可求得答案.
(1)根据题意得，，，
所以在中，，，
即.
(2)在中，，，
所以根据余弦定理得：，
所以.

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