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第七章 空间向量与立体几何
专题3：空间直线、平面的平行
从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明．
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行 线面平行”) l∥α
性质 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行 线线平行”) l∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”) α∥β
性质 定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 a∥b
平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)若α∥β，a α，则a∥β.
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
考点一　与线、面平行相关命题的判定
1．（2022·江苏·如皋市第一中学高一期末）已知是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】由空间线面位置关系的判定及性质依次判断即可.
【详解】对于A，若，则或，A错误；对于B，若，则或异面，B错误；
对于C，若，则或，C错误；对于D，由线面平行的性质知正确.
故选：D.
2．（2021·全国·高三专题练习（文））如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据线面平行的判定可得B，C中，D中判断即可
【详解】对A，如图，易得平面平面，但平面与相交，故直线与平面不平行；
对B，如图，为所在棱的中点，根据中位线的性质有，且，，故平行四边形，故，故，故直线与平面平行.
对C，根据中位线与平行四边形的性质，同理可得，直线与平面平行；
对D，根据中位线与平行四边形的性质，同理可得，直线与平面平行；
故选：A
（2023·全国·高三专题练习）如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，E，F为AA1，AB的中点，M点是正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1E，则M点的轨迹长度为________．
【答案】　
【解析】如图所示，A1B1的中点H，BB1的中点G，连接GH，C1H，C1G，EG，HF.
可得四边形EGC1D1是平行四边形，∴C1G∥D1E，又C1G 平面CD1E，D1E 平面CD1E，可得C1G∥平面CD1E.同理可得C1H∥CF，C1H∥平面CD1E，又C1H∩C1G＝C1，∴平面C1GH∥平面CD1E.∵M点是正方形ABB1A1内的动点，C1M∥平面CD1E，∴点M在线段GH上．
∴M点的轨迹长度为GH＝＝.
1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．
2．(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．
(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．
考点二　直线与平面平行的判定与性质
直线与平面平行的判定
（2022·河南·高三阶段练习（理））如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，且侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2AD．E，F，H分别是PA，PD，AB的中点，G为DF的中点．
证明：平面BEF；
【答案】证明见解析；
【分析】取AE中点M，利用线面平行的判定定理可得平面BEF，平面BEF，再利用面面平行的判定定理及性质定理即得；
【证明】如图，取AE中点M，连接MG，MH，∵E，F分别是PA，PD的中点，∴，又G，M分别是DF，AE的中点，∴，∵平面BEF，平面BEF，∴平面BEF，同理，M，H分别是AE，AB的中点，∴，∵平面BEF，平面BEF，∴平面BEF，又∵，平面，平面，∴平面平面BEF，∵平面MHG，∴平面BEF；
线面平行性质定理的应用
如图，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.
证明：FG∥平面AA1B1B．
【证明】　在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1 平面BB1D，CC1 平面BB1D，
所以CC1∥平面BB1D．
又CC1 平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.
因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.
而BB1 平面AA1B1B，FG 平面AA1B1B，
所以FG∥平面AA1B1B．
证明直线与平面平行的方法
(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．
(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．
(3)面面平行的性质：①两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面，即α∥β，a α a∥β；②两个平面平行，不在两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则这条直线与另一平面也平行，即α∥β，a α，a β，a∥α a∥β.
考点三 平面与平面平行的判定与性质
1．（2022·辽宁抚顺·高一期末）在正方体中，分别是和的中点.求证：
(1)平面.
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用线线平行（）证线面平行即可
（2）先用线线平行（）证线面平行（平面），再证面面平行即可
（1）连接，因为四边形为正方形，为中点，所以为中点，又因为为中点，所以.因为平面平面，所以平面，
（2）连接，因为四边形为正方形，为中点，所以为中点.又因为为中点，所以.因为平面平面所以平面.由（1）知平面，又，平面，所以平面平面.
2．（2022·江苏·高一课时练习）在三棱柱中，点、分别是、上的点，且平面平面，试求的值.
【答案】
【分析】连接交于点，连接，利用面面平行的性质可得出为的中点，再利用面面平行的性质可推导出四边形为平行四边形，可得出，即可得解.
【详解】解：连接交于点，连接，如下图所示：
由棱柱的性质可知，四边形为平行四边形，所以，为的中点，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
，则为的中点，则，
平面平面，平面平面，平面平面，
所以，，
又因为，所以，四边形为平行四边形，
所以，，因此，.
3．（2023·全国·高三专题练习）两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，，，且，过M作于H，求证：
(1)平面平面BCE；
(2)平面BCE.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由线面平行的判定推证平面，再借助比例式推平行得，利用线面、面面平行的判定推理作答.
（2）利用（1）的结论，结合面面平行的性质推理作答.
（1）在正方形ABCD中，，，则，又平面，平面，因此平面，由，得，而，，则有，即，于是得，又平面，平面，则平面，因，平面，所以平面平面.
（2）由（1）知：平面平面，而平面，所以平面.
证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的定义．
(2)利用面面平行的判定定理．
(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．
(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
1．（2022·全国·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接并延长交于点，连接、，根据三角形全等得到，再根据直角三角形的性质得到，即可得到为的中点从而得到，即可得证；
（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.
（1）
证明：连接并延长交于点，连接、，
因为是三棱锥的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面
（2）
解：过点作，如图建立平面直角坐标系，
因为，，所以，
又，所以，则，，
所以，所以，，，，
所以，
则，，，
设平面的法向量为，则，令，则，，所以；
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以；
所以.
设二面角的大小为，则，
所以，即二面角的正弦值为.
2．（2022·全国·高考真题（文））小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
(1)证明：平面；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）分别取的中点，连接，由平面知识可知，，依题从而可证平面，平面，根据线面垂直的性质定理可知，即可知四边形为平行四边形，于是，最后根据线面平行的判定定理即可证出；
（2）再分别取中点，由（1）知，该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍，即可解出．
（1）
如图所示：，
分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．
（2）
如图所示：，
分别取中点，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知识可知，，，，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍．
因为，，点到平面的距离即为点到直线的距离，，所以该几何体的体积．
一、选择题
1．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
【答案】B　
【解析】若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，当α内无数条直线与β平行时，α与β可能相交；
若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；
若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是α∥β的充要条件．
根据两平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立．
因此B中条件是α∥β的充要条件．
2．已知m，n，l为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法错误的是(　　)
A．若m∥α，α∥β，则m∥β
B．若α∥γ，β∥γ，则α∥β
C．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n
D．若m∥l，n∥l，则m∥n
【答案】A　
【解析】对于A，若m∥α，α∥β，则m∥β或m β，故A错误；对于B，若α∥γ，β∥γ，则α∥β，故B正确；
对于C，若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n⊥β，∴m∥n，故C正确；对于D，若m∥l，n∥l，则m∥n，故D正确．
3．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有(　　)
A．BD1∥GH
B．BD∥EF
C．平面EFGH∥平面ABCD
D．平面EFGH∥平面A1BCD1
【答案】D　
【解析】选项A，由中位线定理可知GH∥D1C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD1，GH不可能互相平行，故A选项是错误的；
选项B，由中位线定理可知EF∥A1B，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD，EF不可能互相平行，故B选项是错误的；
选项C，由中位线定理可知EF∥A1B，而直线A1B与平面ABCD相交，故直线EF与平面ABCD也相交，故平面EFGH与平面ABCD相交，故C选项是错误的；
选项D，由三角形中位线定理可知EF∥A1B，EH∥A1D1，所以有EF∥平面A1BCD1，EH∥平面A1BCD1，而EF∩EH＝E，因此平面EFGH∥平面A1BCD1，故选D．
4．如图，AB∥平面α∥平面β，过A，B的直线m，n分别交α，β于C，E和D，F，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，则BD的长为(　　)
A．　　　 B．
C． D．
【答案】C　
【解析】由AB∥α∥β，易证＝，
即＝，所以BD＝＝＝.
5．(多选)在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，下列四个推断中正确的是(　　)
A．FG∥平面AA1D1D
B．EF∥平面BC1D1
C．FG∥平面BC1D1
D．平面EFG∥平面BC1D1
【答案】AC　
【解析】∵在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1.∵FG 平面AA1D1D，AD1 平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D．故A正确；∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交．故B错误；∵E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1，∵FG 平面BC1D1，BC1 平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1.故C正确；∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故D错误．故选AC．
6．(多选)如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，以下说法正确的是(　　)
A．BM∥平面ADE B．CN∥AF
C．平面BDM∥平面AFN D．平面BDE∥平面NCF
【答案】ACD　
【解析】以ABCD为下底还原正方体，如图所示，
则有BM∥平面ADE，选项A正确； CN与AF是异面直线，选项B错误；在正方体中，BD∥FN, FN 平面AFN，BD 平面AFN，所以BD∥平面AFN，同理BM∥平面AFN, BM∩BD＝B，BM，BD 平面BDM，
所以平面BDM∥平面AFN，同理平面BDE∥平面NCF，选项C，D正确，故选ACD．
7．(多选)下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
【答案】AD　
【解析】对于A，如下图所示，根据正方体性质易证得AB∥FN，又因为FN 平面MNP，AB 平面MNP，所以AB∥平面MNP，故A正确；
对于B，如下图所示，连接BC交MP于D，连接DN，由于N是AC的中点，D不是BC的中点，所以AB与平面MNP相交，故B错误；
对于C，如下图所示，易证AB∥QM，由于QM与平面MNP相交，则AB与平面MNP相交，故C错误；
对于D，如下图所示，由正方体性质易证得AB∥CD，由中位线定理知MP∥CD，所以AB∥MP，又因为MP 平面MNP，AB 平面MNP，所以AB∥平面MNP，故D正确. 故选AD．
二、填空题
8．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m γ.
可以填入的条件有________．
【答案】①和③　
【解析】由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．
9.如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
【答案】　
【解析】在正方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2.
又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF 平面ADC，
平面ADC∩平面AB1C＝AC，
∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF＝AC＝.
10．如图，四棱锥P ABCD的底面为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD，E，F分别是线段PA，PD的中点，H在线段AB上．若平面PBC∥平面EFH，则AH＝________AB，若AD＝4，AB＝2，则点D到平面PAC的距离为________．
【答案】　　
【解析】平面PBC∥平面EFH，平面APB∩平面PBC＝PB，平面PBA∩平面EFH＝EH, ∴EH∥PB．
又∵E是线段PA的中点，H在线段AB上，
∴H是AB的中点．故AH＝AB．
过D作DM⊥AC于M，
∵侧棱PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥DM，且PA∩AC＝A，
∴DM⊥平面PAC，
∴线段DM的长就是点D到平面PAC的距离．
在直角三角形ACD中，AC·DM＝DA·DC．
∴DM＝＝＝.
11．在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.
【答案】Q为CC1的中点　
【解析】如图所示，设Q为CC1的中点，
因为P为DD1的中点，所以QB∥PA．
连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，
所以D1B∥PO，
又D1B 平面PAO，QB 平面PAO，PO 平面PAO，PA 平面PAO，
所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，
又D1B∩QB＝B，D1B，QB 平面D1BQ，
所以平面D1BQ∥平面PAO.
故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.
12．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为P3A，P2D，P4C，P4B的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.
其中正确结论的序号是________．
【答案】①②③④　
【解析】先把平面展开图还原为一个四棱锥，如图所示．
①∵E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，
∴EF∥AD，GH∥BC，
∵AD∥BC，∴EF∥GH，
∴EF，GH确定平面EFGH，
∵EF 平面EFGH，AD 平面EFGH，
∴AD∥平面EFGH，
同理AB∥平面EFGH，AB∩AD＝A，AB，AD 平面ABCD，
平面EFGH∥平面ABCD，所以①正确；
②连接AC，BD交于O点，
则O为AC的中点，连接OG，G为PC的中点，
∴OG∥PA，OG 平面BDG，
PA 平面BDG，∴PA∥平面BDG，∴②正确；
③同②同理可证EF∥平面PBC，∴③正确；
④同②同理可证FH∥平面BDG，∴④正确；
⑤EF∥GH，GH与平面BDG相交，
∴EF与平面BDG相交，
∴⑤不正确．
三、解答题
13.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E、F分别是PA、PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．
【解析】直线l∥平面PAC，证明如下：
因为E、F分别是PA、PC的中点，
所以EF∥AC．
又EF 平面ABC，且AC 平面ABC，
所以EF∥平面ABC．
而EF 平面BEF，
且平面BEF∩平面ABC＝l，
所以EF∥l.
因为l 平面PAC，EF 平面PAC，
所以l∥平面PAC.
14．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F分别为A1C1和BC的中点，M，N分别为A1B和A1C的中点．求证：
(1)MN∥平面ABC；
(2)EF∥平面AA1B1B．
[证明]　(1)∵M、N分别是A1B和A1C的中点．
∴MN∥BC，又BC 平面ABC，MN 平面ABC，
∴MN∥平面ABC．
(2)如图，取A1B1的中点D，连接DE，BD．
∵D为A1B1的中点，E为A1C1中点，
∴DE∥B1C1且DE＝B1C1，
在三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BCC1B1是平行四边形，∴BC∥B1C1且BC＝B1C1，∵F是BC的中点，
∴BF∥B1C1且BF＝B1C1，
∴DE∥BF且DE＝BF，∴四边形DEFB是平行四边形，∴EF∥BD，
又BD 平面AA1B1B，EF 平面AA1B1B，
∴EF∥平面AA1B1B．
15．如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
[解]　(1)证明：因为四边形EFGH为平行四边形，
所以EF∥HG.
因为HG 平面ABD，EF 平面ABD，所以EF∥平面ABD．
又因为EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
所以EF∥AB，又因为AB 平面EFGH，EF 平面EFGH，
所以AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH.
(2)设EF＝x(0因为EF∥AB，FG∥CD，所以＝，
则＝＝＝1－，所以FG＝6－x.
因为四边形EFGH为平行四边形，
所以四边形EFGH的周长l＝2＝12－x.
又因为0即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)．
16.如图，四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．
(1)求证：CE∥平面PAD；
(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．
[解]　(1)证明：如图，取PA的中点H，连接EH，DH，
因为E为PB的中点，
所以EH∥AB，EH＝AB，
又AB∥CD，CD＝AB，
所以EH∥CD，EH＝CD，
因此四边形DCEH为平行四边形，
所以CE∥DH，又DH 平面PAD，CE 平面PAD，
因此CE∥平面PAD．
(2)存在点F为AB的中点，使平面PAD∥平面CEF，
证明如下：
取AB的中点F，连接CF，EF，
则AF＝AB，
因为CD＝AB，所以AF＝CD，
又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，
因此CF∥AD．
又AD 平面PAD，CF 平面PAD，
所以CF∥平面PAD，
由(1)可知CE∥平面PAD，
又CE∩CF＝C，
故平面CEF∥平面PAD，
故存在AB的中点F满足要求．中小学教育资源及组卷应用平台
第七章 空间向量与立体几何
专题3：空间直线、平面的平行
从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明．
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果平面外一条直线与 的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行 线面平行”) l∥α
性质 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面 ，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行 线线平行”) l∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 一个平面内的两条 与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”) α∥β
性质 定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面 ，那么两条 平行 a∥b
平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)若α∥β，a α，则a∥β.
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
考点一　与线、面平行相关命题的判定
1．（2022·江苏·如皋市第一中学高一期末）已知是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】由空间线面位置关系的判定及性质依次判断即可.
【详解】对于A，若，则或，A错误；对于B，若，则或异面，B错误；
对于C，若，则或，C错误；对于D，由线面平行的性质知正确.
故选：D.
2．（2021·全国·高三专题练习（文））如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据线面平行的判定可得B，C中，D中判断即可
【详解】对A，如图，易得平面平面，但平面与相交，故直线与平面不平行；
对B，如图，为所在棱的中点，根据中位线的性质有，且，，故平行四边形，故，故，故直线与平面平行.
对C，根据中位线与平行四边形的性质，同理可得，直线与平面平行；
对D，根据中位线与平行四边形的性质，同理可得，直线与平面平行；
故选：A
（2023·全国·高三专题练习）如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，E，F为AA1，AB的中点，M点是正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1E，则M点的轨迹长度为________．
【答案】　
【解析】如图所示，A1B1的中点H，BB1的中点G，连接GH，C1H，C1G，EG，HF.
可得四边形EGC1D1是平行四边形，∴C1G∥D1E，又C1G 平面CD1E，D1E 平面CD1E，可得C1G∥平面CD1E.同理可得C1H∥CF，C1H∥平面CD1E，又C1H∩C1G＝C1，∴平面C1GH∥平面CD1E.∵M点是正方形ABB1A1内的动点，C1M∥平面CD1E，∴点M在线段GH上．
∴M点的轨迹长度为GH＝＝.
1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．
2．(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．
(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．
考点二　直线与平面平行的判定与性质
直线与平面平行的判定
（2022·河南·高三阶段练习（理））如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，且侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2AD．E，F，H分别是PA，PD，AB的中点，G为DF的中点．
证明：平面BEF；
【答案】证明见解析；
【分析】取AE中点M，利用线面平行的判定定理可得平面BEF，平面BEF，再利用面面平行的判定定理及性质定理即得；
【证明】如图，取AE中点M，连接MG，MH，∵E，F分别是PA，PD的中点，∴，又G，M分别是DF，AE的中点，∴，∵平面BEF，平面BEF，∴平面BEF，同理，M，H分别是AE，AB的中点，∴，∵平面BEF，平面BEF，∴平面BEF，又∵，平面，平面，∴平面平面BEF，∵平面MHG，∴平面BEF；
线面平行性质定理的应用
如图，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.
证明：FG∥平面AA1B1B．
【证明】在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1 平面BB1D，CC1 平面BB1D，
所以CC1∥平面BB1D．
又CC1 平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.
因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.
而BB1 平面AA1B1B，FG 平面AA1B1B，
所以FG∥平面AA1B1B．
证明直线与平面平行的方法
(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．
(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．
(3)面面平行的性质：①两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面，即α∥β，a α a∥β；②两个平面平行，不在两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则这条直线与另一平面也平行，即α∥β，a α，a β，a∥α a∥β.
考点三 平面与平面平行的判定与性质
1．（2022·辽宁抚顺·高一期末）在正方体中，分别是和的中点.求证：
(1)平面.
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用线线平行（）证线面平行即可
（2）先用线线平行（）证线面平行（平面），再证面面平行即可
（1）连接，因为四边形为正方形，为中点，所以为中点，又因为为中点，所以.因为平面平面，所以平面，
（2）连接，因为四边形为正方形，为中点，所以为中点.又因为为中点，所以.因为平面平面所以平面.由（1）知平面，又，平面，所以平面平面.
2．（2022·江苏·高一课时练习）在三棱柱中，点、分别是、上的点，且平面平面，试求的值.
【答案】
【分析】连接交于点，连接，利用面面平行的性质可得出为的中点，再利用面面平行的性质可推导出四边形为平行四边形，可得出，即可得解.
【详解】解：连接交于点，连接，如下图所示：
由棱柱的性质可知，四边形为平行四边形，所以，为的中点，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
，则为的中点，则，
平面平面，平面平面，平面平面，
所以，，
又因为，所以，四边形为平行四边形，
所以，，因此，.
3．（2023·全国·高三专题练习）两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，，，且，过M作于H，求证：
(1)平面平面BCE；
(2)平面BCE.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由线面平行的判定推证平面，再借助比例式推平行得，利用线面、面面平行的判定推理作答.
（2）利用（1）的结论，结合面面平行的性质推理作答.
（1）在正方形ABCD中，，，则，又平面，平面，因此平面，由，得，而，，则有，即，于是得，又平面，平面，则平面，因，平面，所以平面平面.
（2）由（1）知：平面平面，而平面，所以平面.
证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的定义．
(2)利用面面平行的判定定理．
(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．
(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
1．（2022·全国·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
（2）
2．（2022·全国·高考真题（文））小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
(1)证明：平面；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
一、选择题
1．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
【2．已知m，n，l为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法错误的是(　　)
A．若m∥α，α∥β，则m∥β
B．若α∥γ，β∥γ，则α∥β
C．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n
D．若m∥l，n∥l，则m∥n
3．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有(　　)
A．BD1∥GH
B．BD∥EF
C．平面EFGH∥平面ABCD
D．平面EFGH∥平面A1BCD1
　
4．如图，AB∥平面α∥平面β，过A，B的直线m，n分别交α，β于C，E和D，F，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，则BD的长为(　　)
A．　　　 B．
C． D．
　
5．(多选)在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，下列四个推断中正确的是(　　)
A．FG∥平面AA1D1D
B．EF∥平面BC1D1
C．FG∥平面BC1D1
D．平面EFG∥平面BC1D1
　
6．(多选)如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，以下说法正确的是(　　)
A．BM∥平面ADE B．CN∥AF
C．平面BDM∥平面AFN D．平面BDE∥平面NCF
　
7．(多选)下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
　
二、填空题
8．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m γ.
可以填入的条件有________．
　
9.如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
　
10．如图，四棱锥P ABCD的底面为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD，E，F分别是线段PA，PD的中点，H在线段AB上．若平面PBC∥平面EFH，则AH＝________AB，若AD＝4，AB＝2，则点D到平面PAC的距离为________．
　
11．在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.
12．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为P3A，P2D，P4C，P4B的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.
其中正确结论的序号是________．
三、解答题
13.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E、F分别是PA、PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．
14．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F分别为A1C1和BC的中点，M，N分别为A1B和A1C的中点．求证：
(1)MN∥平面ABC；
(2)EF∥平面AA1B1B．
15．如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
16.如图，四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．
(1)求证：CE∥平面PAD；
(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．

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