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第七章 空间向量与立体几何
专题2：空间点、直线、平面之间的位置关系
1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.
2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．
1．基本事实
基本 事实1 过不 的三个点，有且只有一个平面
基本 事实2 如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在这 个平面内
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 过该点的公共直线
基本事实4 平行于同一条直线的两条直线
2.“三个”推论
推论1：经过一条直线和 一点，有且只有一个平面；
推论2：经过两条 直线，有且只有一个平面；
推论3：经过两条 直线，有且只有一个平面．
3．空间中直线与直线的位置关系
提醒：分别在两个不同平面内的两条直线不一定为异面直线，他们关系也可能平行或相交．
4．空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有： 、 、 三种情况．
5．空间中平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系有 、 两种情况．
6．定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 ．
1．异面直线判定的一个定理
与一个平面相交的直线和平面内不经过交点的直线是异面直线，如图所示．
2．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
考点一　基本事实的应用
（2023.全国练习）如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：
P，A，C三点共线．
【证明】(1)因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF∥BD．
在△BCD中，＝＝，
所以GH∥BD，
所以EF∥GH.
所以E，F，G，H四点共面．
(2)因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG 平面ABC，
所以P∈平面ABC．同理P∈平面ADC．
所以P为平面ABC与平面ADC的公共点．
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
所以P∈AC，
所以P，A，C三点共线．
共面、共线、共点问题的证明
考点二　判断空间两直线的位置关系
若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
【答案】D
【解析】法一：(反证法)由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾．故l至少与l1，l2中的一条相交．
法二：(模型法)如图①，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图②，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．
图①　　　　　图②
2. 已知在长方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是(　　)
A．直线MN与直线A1B是异面直线
B．直线MN与直线DD1相交
C．直线MN与直线AC1是异面直线
D．直线MN与直线A1C平行
【答案】C　
【解析】如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误；因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确；因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误．
空间中两直线位置关系的判定方法
考点三　正方体的切割(截面)问题
(多选)已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，直线AC1⊥平面α.平面α截此正方体所得截面有如下四个结论，其中正确是(　　)
A．截面形状可能为正三角形　
B．截面形状可能为正方形
C．截面形状不可能是正五边形
D．截面面积最大值为3
【答案】ACD
【解析】如图，显然A、C成立，B不成立，下面说明D成立，
如图，当截面是正六边形，面积最大，MN＝2，GH＝， OE＝＝，
所以S＝2××(2＋)×＝3，故D成立．
在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________．
【答案】　
【解析】如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，过点M作BD的平行线，交C1D1于点N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α，
因为E为BC的中点，可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点，
由正方体的棱长为2，
则BD＝2，MN＝，
且BM＝DN＝，
∴等腰梯形MNDB的高为
h＝＝，
∴梯形MNDB的面积为×(＋2)×＝.
1.作截面应遵循的三个原则
(1)在同一平面上的两点可引直线；
(2)凡是相交的直线都要画出它们的交点；
(3)凡是相交的平面都要画出它们的交线．
2．作交线的两种方法
(1)利用基本事实3作交线；
(2)利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．
1．（2020·山东·高考真题）已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·浙江·高考真题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
3．（2021·全国·高考真题（理））在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
4．（2019·全国·高考真题（理））如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则
A．，且直线是相交直线
B．，且直线是相交直线
C．，且直线是异面直线
D．，且直线是异面直线
一、单选题
1．下列命题正确的是（ ）
A．若直线上有无数个点不在平面内，则直线和平面平行
B．若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直线都是异面直线
C．若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内
D．若直线与平面平行，则这条直线与平面内的直线平行
2．已知直线平面，表示直线，表示平面，有以下四个结论：①；②；③；④若与相交，则与相交.其中正确的结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．在正方体中，点在正方形内，且不在棱上，则（ ）
A．在正方形内一定存在一点，使得
B．在正方形内一定存在一点，使得
C．在正方形内一定存在一点，使得平面平面
D．在正方形内一定存在一点，使得平面
4．如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下面命题不正确的是（ ）
A．与是异面直线； B．与平行
C．与成角； D．与平行
5．在正方体中，直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．设，是互不重合的平面，，，是互不重合的直线，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，，，则
C．若，，，则 D．若，，，，则
7．已知四面体ABCD的所有棱长均为2，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点.有下列结论:
①若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直线;
②线段MN的长度为;
③异面直线MN和CD所成的角为;
④FM+FN的最小值为 2 .
其中正确的结论为（ ）
A．①④ B．①③④ C．②③ D．②③④
8．如图（1）所示，已知球的体积为，底座由边长为12的正三角形铜片ABC沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图（2）所示．则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（ ）
A．CD与BE是异面直线
B．异面直线AB与CD所成角的大小为45°
C．由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面面积为
D．球面上的点到底座底面DEF的最大距离为
二、多选题
9．已知正方体的棱长为2，点O为的中点，若以O为球心，为半径的球面与正方体的棱有四个交点E，F，G，H，则下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．与EH所成的角的大小为45°
C．平面
D．平面与平面OEF所成角夹角的余弦值为
10．若点P在棱长为2的正方体ABCD—的表面运动，点M为棱的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A．当点P在底面ABCD内运动时，三棱锥M—ADP体积不变
B．当点P在底面ABCD内运动时，点P到平面M的距离不变
C．当直线AP与直线DM所成的角为时，线段AP长度的最大值为3
D．当直线AP与直线BB1所成的角为°时，点P的轨迹长度为π
11．如图，平面四边形中，是等边三角形，且是的中点．沿将翻折，折成三棱锥，翻折过程中下列结论正确的是（ ）
A．存在某个位置，使得与所成角为锐角
B．棱上存在一点，使得平面
C．三棱锥的体积最大时，二面角的正切值为
D．当二面角为直角时，三棱锥的外接球的表面积是
三、填空题
12．平面过正方体的顶点平面平面，平面，则所成角的正弦值为___________.
13．如图，已知二面角的棱l上有A，B两点，，，，，若，，有以下结论：
（1）直线AB与CD所成角的大小为 ；
（2）二面角的大小为 ；
（3）三棱锥的体积为；
（4）直线CD与平面所成角的正弦值为.
则正确结论的序号为___________.
14．若，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题：
①，，，则；②，，，则；
③，，，则；④若，，过内的一点且与垂直，则；⑤若，，，则．
其中错误命题的序号为______（将所有错误的序号都填上）．
15．在正方体中，点为线段上的动点.有下列结论：
①当为的中点时，面积最小；
②无论在线段的什么位置，均满足；
③存在一点，使；
④三棱锥的体积为定值.
其中，所有正确结论的序号为____________.
四、解答题
16．如图，正方体的棱长为8，，，分别是，，的中点．
(1)画出过点，，的平面与平面的交线；
(2)设平面，求的长．
17．如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，已知侧面与底面所成的二面角的大小为，是的中点.
(1)请在棱与上各找一点和，使平面平面，作出图形并说明理由；
(2)求异面直线与所成角的正切值；
(3)问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．
18．如图，在正方体中，是棱上一点，且．
(1)试画出过三点的平面截正方体所得截面；
(2)证明：平面与平面相交，并指出它们的交线．中小学教育资源及组卷应用平台
第七章 空间向量与立体几何
专题2：空间点、直线、平面之间的位置关系
1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.
2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．
1．基本事实
基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行
2.“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．空间中直线与直线的位置关系
提醒：分别在两个不同平面内的两条直线不一定为异面直线，他们关系也可能平行或相交．
4．空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
5．空间中平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
6．定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
1．异面直线判定的一个定理
与一个平面相交的直线和平面内不经过交点的直线是异面直线，如图所示．
2．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
考点一　基本事实的应用
（2023.全国练习）如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：
P，A，C三点共线．
【证明】　(1)因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF∥BD．
在△BCD中，＝＝，
所以GH∥BD，
所以EF∥GH.
所以E，F，G，H四点共面．
(2)因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG 平面ABC，
所以P∈平面ABC．同理P∈平面ADC．
所以P为平面ABC与平面ADC的公共点．
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
所以P∈AC，
所以P，A，C三点共线．
共面、共线、共点问题的证明
考点二　判断空间两直线的位置关系
若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
【答案】D
【解析】法一：(反证法)由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾．故l至少与l1，l2中的一条相交．
法二：(模型法)如图①，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图②，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．
图①　　　　　图②
2. 已知在长方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是(　　)
A．直线MN与直线A1B是异面直线
B．直线MN与直线DD1相交
C．直线MN与直线AC1是异面直线
D．直线MN与直线A1C平行
【答案】C　
【解析】如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误；因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确；因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误．
空间中两直线位置关系的判定方法
考点三　正方体的切割(截面)问题
(多选)已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，直线AC1⊥平面α.平面α截此正方体所得截面有如下四个结论，其中正确是(　　)
A．截面形状可能为正三角形　
B．截面形状可能为正方形
C．截面形状不可能是正五边形
D．截面面积最大值为3
【答案】ACD
【解析】如图，显然A、C成立，B不成立，下面说明D成立，
如图，当截面是正六边形，面积最大，MN＝2，GH＝， OE＝＝，
所以S＝2××(2＋)×＝3，故D成立．
在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________．
【答案】　
【解析】如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，过点M作BD的平行线，交C1D1于点N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α，
因为E为BC的中点，可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点，
由正方体的棱长为2，
则BD＝2，MN＝，
且BM＝DN＝，
∴等腰梯形MNDB的高为
h＝＝，
∴梯形MNDB的面积为×(＋2)×＝.
1.作截面应遵循的三个原则
(1)在同一平面上的两点可引直线；
(2)凡是相交的直线都要画出它们的交点；
(3)凡是相交的平面都要画出它们的交线．
2．作交线的两种方法
(1)利用基本事实3作交线；
(2)利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．
1．（2020·山东·高考真题）已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据异面直线的定义，垂直关系的转化，判断选项.
【详解】A.，与相交，所以与异面，故A错误；
B.与平面相交，且，所以与异面，故B错误；
C.四边形是矩形，不是菱形，所以对角线与不垂直，故C错误；
D.连结，，，，所以平面，所以，故D正确.
故选：D
2．（2021·浙江·高考真题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
【答案】A
【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论.
【详解】
连，在正方体中，
M是的中点，所以为中点，
又N是的中点，所以，
平面平面，
所以平面.
因为不垂直，所以不垂直
则不垂直平面，所以选项B,D不正确；
在正方体中，，
平面，所以，
，所以平面，
平面，所以，
且直线是异面直线，
所以选项C错误，选项A正确.
故选：A.
3．（2021·全国·高考真题（理））在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.
【详解】
如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以.
故选：D
4．（2019·全国·高考真题（理））如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则
A．，且直线是相交直线
B．，且直线是相交直线
C．，且直线是异面直线
D．，且直线是异面直线
【答案】B
【解析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．
【详解】如图所示， 作于，连接，过作于．
连，平面平面．
平面，平面，平面，
与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，
．，故选B．
一、单选题
1．下列命题正确的是（ ）
A．若直线上有无数个点不在平面内，则直线和平面平行
B．若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直线都是异面直线
C．若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内
D．若直线与平面平行，则这条直线与平面内的直线平行
【答案】C
【分析】根据空间线线，线面的位置关系逐项分析即得.
【详解】对于A，若直线上有无数个点不在平面内，则直线可能与平面相交，故A错误；
对于B，若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直线可能相交，也可能是异面直线，故B错误；
对于C，根据平面的基本性质可知若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内，故C正确；
对于D，若直线与平面平行，则这条直线与平面内的直线平行或异面，故D错误.
故选：C.
2．已知直线平面，表示直线，表示平面，有以下四个结论：①；②；③；④若与相交，则与相交.其中正确的结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据线线，线面的位置关系，线面垂直的性质，面面的位置关系及面面垂直的判定定理，逐项分析即得.
【详解】对于①，或，故①错误；
对于②，，，又，所以，故②正确；
对于③，，，故③正确；
对于④，若与相交，则与相交或平行，故④错误.
故正确的结论的个数是2.
故选：C.
3．在正方体中，点在正方形内，且不在棱上，则（ ）
A．在正方形内一定存在一点，使得
B．在正方形内一定存在一点，使得
C．在正方形内一定存在一点，使得平面平面
D．在正方形内一定存在一点，使得平面
【答案】A
【分析】对于选项A，当是的中位线时，可判断A选项；对于选项B，假设存在，则平面，或者平面，进而与已知矛盾判断B选项；对于选项C，假设存在，则可得到平面平面，进而由矛盾判断C选项；对于选项D，假设存在，则可得到平面平面，进而已知矛盾判断D选项.
【详解】对于选项A，连接、交于点P，连接、交于点Q，连接、，
因为是的中位线，所以，故A项正确；
对于选项B，在正方形内如果存在一点Q，使得，由于平面，所以平面，或者平面，而P、Q在平面的两侧，与平面相交，故B项错误；
对于选项C，在正方形内如果存在一点Q，使得平面平面，由于平面平面，所以平面平面，而平面与平面相交于点，故C项错误；
对于选项D，在正方形内如果存在一点Q，使得平面，由于平面，所以平面平面，而P、Q在平面的两侧，所以平面与平面相交，故D项错误．
故选：A
4．如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下面命题不正确的是（ ）
A．与是异面直线； B．与平行
C．与成角； D．与平行
【答案】D
【分析】根据正方体的展开图得到直观图，再根据正方体的性质一一判断即可.
【详解】解：如图，与是异面直线，故A正确；
因为，，所以四边形为平行四边形，所以，故B正确．
因为，所以与所成角即为与所成角，在等边三角形中，
所以与所成角为，故C正确．
平面，平面，所以，又，，
平面，平面，平面，所以，故D错误．
故选：D．
5．在正方体中，直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据线线角的求法求得正确答案.
【详解】画出图象如下图所示，
根据正方体的性质可知，
所以是直线与所成角，
由于三角形是等边三角形，所以，
即直线与所成角的大小为.
故选：B
6．设，是互不重合的平面，，，是互不重合的直线，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，，，则
C．若，，，则 D．若，，，，则
【答案】B
【分析】对于A，可能相交，也可能平行，可判断A;根据面面垂直的性质定理可判断B;对于C，判断m,n可能平行也可能异面，即可判断正误，对于D，根据线面垂直的的判定定理可判断.
【详解】对于A，，，，则可能相交，也可能平行，故A错误‘
对于B, 若，，，，根据面面垂直的性质定理可知，故B正确；
对于C, 若，，，则m,n可能平行也可能异面，故C错误；
对于D，若，，，，由于不能确定m,n是否相交，故不能确定，故D错误，
故选:B
7．已知四面体ABCD的所有棱长均为2，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点.有下列结论:
①若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直线;
②线段MN的长度为;
③异面直线MN和CD所成的角为;
④FM+FN的最小值为 2 .
其中正确的结论为（ ）
A．①④ B．①③④ C．②③ D．②③④
【答案】D
【分析】对于①，取AB的中点为F,CD的中点为E,说明四边形FNEM为平行四边形，直线FG与直线CD相交于E，即可判断；对于②，解三角形求得线段MN的长度即可判断；对于③，取BD的中点为H,找到则即为异面直线MN和CD所成的角或其补角，求得其大小，即可判断；对于④，将面ABD,面ABC展开为一个平面，即可求得FM+FN的最小值，进行判断，由此可得答案.
【详解】对于①，取AB的中点为F,CD的中点为E,连接FM,ME,EN,NF,
则 , ,
所以 ,故四边形FNEM为平行四边形，
则MN与EF交于点G，故此时直线FG与直线CD相交于E，
因此此时直线FG与直线CD不是异面直线，故①错误；
对于②，连接AN,DN, 四面体ABCD的所有棱长均为2，
故 ,因为M为AD中点，故 ,
所以 ,故②正确；
对于③，取BD的中点为H,连接HN,HM,因为M，N分别为棱AD，BC的中点，
故，
则即为异面直线MN和CD所成的角或其补角，
因为，故为等腰直角三角形，
则，故③正确；
对于④，将面ABD,面ABC展开为一个平面，如图示：
当M,F,N三点共线时，FM+FN最小，因为M，N分别为棱AD，BC的中点，
所以此时四边形AMNC为平行四边形，故,
即FM+FN的最小值为 2，故④正确，
故选：D
8．如图（1）所示，已知球的体积为，底座由边长为12的正三角形铜片ABC沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图（2）所示．则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（ ）
A．CD与BE是异面直线
B．异面直线AB与CD所成角的大小为45°
C．由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面面积为
D．球面上的点到底座底面DEF的最大距离为
【答案】C
【分析】取中点N，M，利用给定条件证明，推理判断A，B；求出外接圆半径，结合球面截面圆性质计算判断C，D作答.
【详解】取中点N，M，连接，如图，
因为正三角形，则，而平面平面，平面平面，平面，
于是得平面，同理平面，即，，
因此，四边形是平行四边形，有，则直线CD与BE在同一平面内，A不正确；
由选项A，同理可得，则异面直线AB与CD所成角等于直线DF与CD所成角，B不正确；
由选项A知，，同理可得，正外接圆半径，
由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面圆是的外接圆，此截面面积为，C正确；
体积为的球半径，由得，由选项C知，球心到平面的距离，
由选项A，同理可得点A到平面的距离为，即平面与平面的距离为，
所以球面上的点到底座底面DEF的最大距离为，D不正确.
故选：C
二、多选题
9．已知正方体的棱长为2，点O为的中点，若以O为球心，为半径的球面与正方体的棱有四个交点E，F，G，H，则下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．与EH所成的角的大小为45°
C．平面
D．平面与平面OEF所成角夹角的余弦值为
【答案】ABD
【分析】首先根据球的性质、勾股定理说明E，F，G，H分别是正方体棱的中点，再根据线面平行的判定定理、异面直线所成角的求法、线面垂直的性质以及二面角的定义、等腰三角形进行判断.
【详解】在正方体中，平面，又平面，所以，在中，，又正方体的棱长为2，点O为的中点，所以，又，设，所以，即H是正方体棱的中点，同理可证，E，F，G分别是棱，，的中点.
对于选项A，因为G，H分别是棱、的中点，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；
对于选项B，因为，所以与EH所成的角即为，因为E，H分别是棱、的中点，大小为45°，故B正确；
对于选项C，因为E，H分别是棱、的中点，所以，因为G，H分别是棱、的中点，所以面，所以，又，所以平面，又，所以不垂直于平面，故C错误；
对于选项D，取EF、GH的中点I、Q，连接OI 、QI、QO，因为OF=OE，所以，同理可证，所以即为平面与平面OEF所成角的平面角，根据勾股定理有：，，，所以在等腰中有：.
所以平面与平面OEF所成角夹角的余弦值为，故D正确.
故选：ABD.
10．若点P在棱长为2的正方体ABCD—的表面运动，点M为棱的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A．当点P在底面ABCD内运动时，三棱锥M—ADP体积不变
B．当点P在底面ABCD内运动时，点P到平面M的距离不变
C．当直线AP与直线DM所成的角为时，线段AP长度的最大值为3
D．当直线AP与直线BB1所成的角为°时，点P的轨迹长度为π
【答案】BC
【分析】由正方体的性质判断P到平面、平面的距离是否为定值判断A、B；取，中点E，F，连接EA，EF，FB，求证MD⊥平面ABFE，结合判断P的轨迹，即可确定AP长度的最大值判断C；注意P点轨迹是含圆弧的曲边三角形，进而求周长即可判断D.
【详解】A：易知，△ADM面积不变，P到平面距离不定，不定，错误；
B：点P在底面ABCD内运动时，平面平面ABCD，P到平面的距离不变，正确；
C：分别取，中点E，F，连接EA，EF，FB，
首先EF与CD平行且相等，CD与AB平行且相等，
因此EF与AB平行且相等，则EFBA是平行四边形，
在同一平面内，正方形，易得，
所以°，
所以（N为AE，DM的交点），
所以，又AB⊥平面，MD平面，
所以、AE平面ABFE，
所以MD⊥平面ABFE，而，则P∈平面ABFE，
所以P点轨迹是矩形ABEF（除A点），
当P与F重合时AF最大，为，正确；
D：当直线AP与直线所成的角为时，连接，，
在正方形内，以为圆心，2为半径作圆弧，易证P点轨迹就是曲边三角形（除去A点），其周长为，错误.
故选：BC
11．如图，平面四边形中，是等边三角形，且是的中点．沿将翻折，折成三棱锥，翻折过程中下列结论正确的是（ ）
A．存在某个位置，使得与所成角为锐角
B．棱上存在一点，使得平面
C．三棱锥的体积最大时，二面角的正切值为
D．当二面角为直角时，三棱锥的外接球的表面积是
【答案】BCD
【分析】证明判断A；取CD的中点N，由推理判断B；三棱锥的体积最大时确定点C位置判断C；求出三棱锥的外接球半径计算判断D作答.
【详解】对于A，取BD中点E，连接CE，ME，如图，因是正三角形，有，而是的中点，
有，而，则，，平面，
于是得平面，平面，所以，A不正确；
对于B，取CD的中点N，连MN，因是的中点，则，平面，平面，所以平面，B正确；
对于C，因，要三棱锥的体积最大，当且仅当点C到平面距离最大，
由选项A知，点C到直线BD的距离，是二面角的平面角，当时，平面，
即当C到平面距离最大为时，三棱锥的体积最大，此时点在平面上的投影为点，从而可知在平面上的投影为，设二面角的平面角为，则有，
在中，可知,，
在中，可知，又，
所以,于是有，
所以，从而有,
所以，C正确；
对于D，三棱锥的外接球被平面所截小圆圆心是正的中心，，
被平面所截小圆圆心为点M，设球心为O，连，则平面，平面，
当二面角为直角时，由选项C知，平面，平面，有，
四边形为矩形，，连，在中，，
所以三棱锥的外接球的表面积，D正确.
故选：BCD
三、填空题
12．平面过正方体的顶点平面平面，平面，则所成角的正弦值为___________.
【答案】
【分析】根据已知条件画出图形，再利用异面直线所成角的定义及解三角形即可求解.
【详解】由题意可知，延长与平面交于点，延长与平面交于点，连接，即平面所在平面为平面，如图所示
因为平面平面，平面平面，又，
所以.
同理可证,
所以所成角的大小与所成角的大小相等，
在正方体中，，
所以是等边三角形，
所以所成角就是,
所以所成角的正弦值为.
故答案为：.
13．如图，已知二面角的棱l上有A，B两点，，，，，若，，有以下结论：
（1）直线AB与CD所成角的大小为 ；
（2）二面角的大小为 ；
（3）三棱锥的体积为；
（4）直线CD与平面所成角的正弦值为.
则正确结论的序号为___________.
【答案】（1）（2）（4）
【分析】采用平行线法作出直线AB与CD所成角，解三角形求出角的大小，判断（1）；通过作辅助线，作出二面角的平面角，解三角形求得角的大小，判断（2）；根据等体积法求得，判断（3）；通过作垂线，找到直线CD与平面所成角，解三角形求得该角大小，判断（4）.
【详解】如图，在 内作 ,交于E点，
则即为直线AB与CD所成角或其补角，
因为，，则 ,
故四边形AEDB为正方形，则 ,又，则 ,
而 ,故平面ACE,平面ACE,
故,又,故,
由于，故，故（1）正确；
由于 ,故为二面角的平面角，
由以上分析可知 ,
故 为正三角形，则，故（2）正确；
由于平面ACE,平面AEDB,故平面ACE平面AEDB,
且平面ACE平面AEDB=AE,故作 ,垂足为H,
则平面AEDB，且，
所以,故（3）错误；
连接DH,由于平面AEDB，故为直线CD与平面所成角，
在中， ,故（4）正确，
故答案为：（1）（2）（4）
14．若，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题：
①，，，则；②，，，则；
③，，，则；④若，，过内的一点且与垂直，则；⑤若，，，则．
其中错误命题的序号为______（将所有错误的序号都填上）．
【答案】④
【分析】利用空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，结合线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的性质逐项判断即可.
【详解】解：，，，由线面平行的性质可得，故①正确；
，，，根据面面垂直判定定理的推论(如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直（法向量垂直的平面互相垂直）)可得，故②正确；
∵，，∴或，又，利用面面垂直的判定定理(一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直.)或面面垂直判定定理的推论(如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直)可得，故③正确；
若，，过内的一点且与垂直，则直线可能与平面相交，但不会垂直，也可能或，故④错误；
若，，，利用面面垂直的性质（如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面）可得，故⑤正确；
故答案为：④.
15．在正方体中，点为线段上的动点.有下列结论：
①当为的中点时，面积最小；
②无论在线段的什么位置，均满足；
③存在一点，使；
④三棱锥的体积为定值.
其中，所有正确结论的序号为____________.
【答案】①②④
【分析】利用异面直线公垂线的定义判断①，证明平面，判断②，设正方体棱长为1，（，计算，求出最小值后判断③，根据线面平行性质，棱锥体积公式，判断④．
【详解】当为中点时，取中点，则，由正方体性质知侧棱与上下底面垂直，即与上下底面上的任何直线垂直，从而与、垂直，所以是异面直线和的公垂线（段），是上的点到直线的距离的最小值，所以面积最小，①正确；
连接，
由侧棱底面，面，得，又，平面，所以平面，
而平面，所以，同理，
，平面，所以平面，
所以只要，则平面，因此有，②正确；
连接，设正方体棱长为1，（，，
，
由正方体的侧棱与底面上的直线垂直，得，
，
所以时，取得最小值，而，
所以线段上不存在点，使得，③错；
正方体中，，平面，平面，平面，
在上运动时，到平面的距离不变，
而的面积不变，因此三棱锥的体积不变为定值，④正确．
故答案为：①②④．
四、解答题
16．如图，正方体的棱长为8，，，分别是，，的中点．
(1)画出过点，，的平面与平面的交线；
(2)设平面，求的长．
【答案】(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）通过平面，将延长后必与相交，设交点为，连接，即为过点，，的平面与平面的交线.
（2）由可知，进而可通过勾股定理求得的长.
（1）如下图所示，∵平面，与不平行，∴与必相交．设交点为，连接．∵平面，平面，∴过点，，的平面与平面的交线为.
（2）∵，∴，∴．∴.
17．如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，已知侧面与底面所成的二面角的大小为，是的中点.
(1)请在棱与上各找一点和，使平面平面，作出图形并说明理由；
(2)求异面直线与所成角的正切值；
(3)问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）根据三角形中位线可得线线平行，进而可得线面平行，由线面平行可证明面面平行，
（2）利用线线平行，即可找到异面直线所成的角，进而在三角形中进行求解即可，
（3）根据线线垂直，可得线面垂直，即可找到的位置.
（1）分别取AB，BC的中点M，N，连接MN，NE，则平面MNE//平面PAC证明：在中，M，E分别为AB，PB的中点，所以ME//AP，同理，NE//PC，又平面平面所以ME//平面PAC，同理NE//平面PAC又ME，所以平面MNE //平面PAC
（2）连接，，因为分别是的中点，所以，故为异面直线与所成的角或其补角．因为，，平面，所以平面．又平面，所以．设四棱锥的底面边长为，取中点为,连接由于,故为侧面与底面所成的二面角的平面角，故，在中,，所以， 所以；
（3）存在点F符合题意，且AF=AD，证明：取OB得中点Q，连接，在中，Q，E分别为BP，BO的中点，所以QE//PO，所以QE⊥平面ABCD，因为BC平面ABCD，所以QE⊥BC,又在中，，,所以QF//AB，所以QF⊥BC，又,所以BC⊥平面QEF，所以BC⊥EF在，PF= =,BF= =所以，故又所以平面PBC,所以存在点F符合题意。所以存在这样的F点，且
18．如图，在正方体中，是棱上一点，且．
(1)试画出过三点的平面截正方体所得截面；
(2)证明：平面与平面相交，并指出它们的交线．
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析；为面与面的交线
【分析】（1）在上取一点，使得，延长交于点，连结，即可得到截面；
（2）根据两平面有公共点，可知两面相交；延长，设它们交于点，可证得在两面交线上，由此可知交线为.
（1）在上取一点，使得，延长交于点，连结，则平面就是过三点的平面截正方体所得截面．
（2）平面，平面，平面平面，即平面与平面相交．延长，设它们交于点，直线，直线平面，平面．直线，直线平面，平面．为面与面的交线．

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