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第七章 空间向量与立体几何
专题4：空间直线、平面的垂直
从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．
1．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a ′∥a，b ′∥b，我们把直线a ′与b ′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°.
(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
2．直线与平面垂直
(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 l⊥α
性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a∥b
(3)直线和平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
②范围：[0°，90°].
3．二面角
(1)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
(2)二面角的平面角的范围：[0°，180°]．
4．平面与平面垂直
(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 α⊥β
性质 定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 l⊥α
提醒：两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”这一条件．
直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．
(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
考点一　直线与平面垂直的判定与性质
1．（2022·河北邯郸·高一期末）已知四棱锥的底面为矩形，，，平面，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)若与平面所成的角为45°，求二面角的正切值.
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的判断定理，证明，即可证明线面垂直；
（2）首先判断，再根据垂直关系，构造二面角的平面角，即可计算正切值.
（1）由条件可知，，满足，所以，又因为平面，平面，所以，且，所以平面；
（2）因为是与平面所成的角，所以，，因为，，，所以平面，取的中点，，垂足为点，连结，因为，所以平面，所以，，所以平面，所以，即是二面角的平面角，,，，所以，所以二面角的正切值为.
2．（2022·河北保定·高一阶段练习）如图，已知正方体.
(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可得，然后利用线面垂直的判定定理即得；
（2）过点E作于点F，可得为直线与平面所成的角，结合条件即得.
（1）连接.在正方体中，平面，所以，在正方形中，，因为，所以平面，因为平面，所以，同理可证得，因为，所以平面；
（2）过点E作于点F，连接，在正方体中，因为平面平面，平面平面，所以平面，又因为平面平面，所以为直线与平面所成的角，设正方体的棱长为4，则，因为，所以，则，在中，，由余弦定理得，即，在中，，故直线与平面所成角的正切值为.
判定线面垂直的四种方法
考点二　平面与平面垂直的判定与性质
在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥P BCDE.
(1)若平面PDE⊥平面BCDE，求四棱锥P BCDE的体积；
(2)若PB＝PC，求证：平面PDE⊥平面BCDE.
【解析】　(1)如图所示，取DE的中点M，连接PM，
由题意知，PD＝PE，∴PM⊥DE，
又平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE，PM 平面PDE，
∴PM⊥平面BCDE，即PM为四棱锥P BCDE的高．
在等腰直角三角形PDE中，PE＝PD＝AD＝2，
∴PM＝DE＝，
而梯形BCDE的面积S＝(BE＋CD)·BC＝×(2＋4)×2＝6，
∴四棱锥P BCDE的体积V＝PM·S＝××6＝2.
(2)证明：取BC的中点N，连接PN，MN，则BC⊥MN，
∵PB＝PC，∴BC⊥PN，
∵MN∩PN＝N，MN，PN 平面PMN，∴BC⊥平面PMN，
∵PM 平面PMN，∴BC⊥PM，由(1)知，PM⊥DE，
又BC，DE 平面BCDE，且BC与DE是相交的，
∴PM⊥平面BCDE，
∵PM 平面PDE，∴平面PDE⊥平面BCDE.
　证明面面垂直的两种方法
考点三　平行与垂直的综合问题
1．（2022·江苏省响水中学高一开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，分别为，的中点，侧面底面，且．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）连接，证明，原题即得证；
（2）证明平面，原题即得证；
（3）取的中点，连结，证明平面，再利用等体积法求解.
（1）证明：连结，则是的中点，为的中点，
故在中，，
且平面，平面，平面.
（2）证明：因为平面平面，平面平面，
又，所以平面，
所以，
又，所以是等腰直角三角形，且，
即，又 ，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（3）解：取的中点，连结，
，，
又平面平面，平面平面，
平面，
．
2．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））图是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，将其沿，折起使得与重合，连接，如图．
(1)证明：图中的，，，四点共面，且平面平面；
(2)求图中的二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线线平行可得，，，四点共面，再根据线面垂直的判定可得AB平面，从而证明平面平面；
（2）作，垂足为，根据面面垂直的性质可得平面，再以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求解二面角即可
（1）证明：由已知得，，所以，故AD，确定一个平面，从而，，，四点共面．由已知得，，又为平面内相交的两条直线，故AB平面．又因为平面，所以平面平面．
（2）作，垂足为.因为平面，平面平面，平面平面所以平面．由已知，菱形的边长为，，可求得，．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．设平面的法向量为，则，即，令，可取．又平面的法向量可取为 ，所以．易知二面角为锐角，因此二面角的大小为．
3．（2022·吉林·长春外国语学校高一期末）如图，直四棱柱的底面是边长为的菱形，且.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面平面，求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用菱形的性质、线面垂直的性质，结合线面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.
（2）根据给定条件，求出，再作出直线与平面所成的角，在直角三角形中计算作答.
（1）在直四棱柱中，平面，平面，则，四边形为菱形，则，而，平面，因此平面，又平面，所以平面平面.
（2）令，连接，如图，平面，平面，则，由（1）知，，平面，因此平面，又平面，于是得，而平面平面，平面平面，平面，则平面，而平面，有，即，菱形中，，，则，，令，则，由得，令，连，过M作交于N，则有平面，连，则是直线与平面所成的角，，显然，则，又，因此，，所以与平面所成角的正弦值是.
垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．如果有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
1．（2022·全国·高考真题）已知正方体，则（ ）
A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为
【答案】ABD
【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.
【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，
因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；
连接，因为平面，平面，则，
因为，，所以平面，
又平面，所以，故B正确；
连接，设，连接，
因为平面，平面，则，
因为，，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
设正方体棱长为，则，，，
所以，直线与平面所成的角为，故C错误；
因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.
故选：ABD
2．（2022·全国·高考真题（文））如图，四面体中，，E为AC的中点．
(1)证明：平面平面ACD；
(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明详见解析
(2)
【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.
（2）首先判断出三角形的面积最小时点的位置，然后求得到平面的距离，从而求得三棱锥的体积.
（1）
由于，是的中点，所以.
由于，所以，
所以，故，
由于，平面，
所以平面，
由于平面，所以平面平面.
（2）
依题意，，三角形是等边三角形，
所以，
由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.
，所以，
由于，平面，所以平面.
由于，所以，
由于，所以，
所以，所以，
由于，所以当最短时，三角形的面积最小值.
过作，垂足为，
在中，，解得，
所以，
所以.
过作，垂足为，则，所以平面，且，
所以,
所以.
一、单选题
1．已知m，n为两条不同的直线，与为两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据空间直线，平面，平行和垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可.
【详解】对于A, 若，根据线线平行性质定理，则.故A正确.
对于B，由线面垂直的判定定理可得.故B正确.
对于C，根据平行的传递性可知，若，则，故C正确.
对于D，n与的位置关系不确定，D错误.
故选：D.
2．如图，为正方体，下列错误的是（ ）
A．平面 B．
C．平面平面 D．异面直线与所成的角为60°
【答案】D
【分析】根据正方体的性质及线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理证明即可.
【详解】解：在正方体中，，平面，平面，所以平面，故A正确；
由，平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，故异面直线与所成的角为，即B正确，D错误；
又由，平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，故C正确；
故选：D
3．在四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中错误的是（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】D
【分析】由面面垂直的判定定理和性质定理对选项逐一判断可得答案.
【详解】对于A中，由已知底面，且底面为矩形，
所以，且,平面，
所以平面，又由平面，所以平面平面，所以A正确；
对于B中，由已知底面，且底面为矩形，
所以，且,平面，
所以平面，又由平面，所以平面平面，所以B正确；
对于C中，由已知底面，且底面为矩形，
所以，且,平面，
所以平面，又由平面，所以平面平面，
所以C正确；
对于D中，设为平面与平面的交线，因为，平面，
平面，所以平面，因为为平面与平面的交线，
所以，又，所以，因为平面，平面，
所以，所以，又底面，所以，所以，
所以为平面与平面的二面角，若平面平面，
则，而底面，所以，此时三角形内角和大于，所以平面与平面不垂直，所以D错误.
故选：D.
4．在正方体中，分别为的中点，则下列判断错误的是（ ）
A．与异面 B．平面//平面
C．平面平面 D．与所成角的正切值为
【答案】C
【分析】A选项根据异面直线定义来判断，B选项利用面面平行的判定来说明，C选项利用反证法说明，D选项可将两条线平移到一起来求解.
【详解】A选项，平面，平面，，根据异面直线的定义，与异面，A选项正确；
B选项，由于//，平面，平面，于是//平面，同理类似的可证//平面，
又，平面，根据面面平行的判定，平面平面，B选项正确；
C选项，显然侧棱平面，若假设有平面平面成立，则//平面或者平面，
实际上和平面相交，假设不成立，故C选项错误；
D选项，与所成角即与所成角，即，正切值是，D选项正确.
故选：C
5．在正方体中，点在线段上，则（ ）
A．与所成角等于 B．平面
C．平面平面 D．三棱锥体积为定值
【答案】C
【分析】由线面垂直的判定可证得平面，可知，知A错误；假设平面，由面面平行的判定与性质可知平面，由线面平行性质得，可知当不与重合时，不成立，知B错误；由线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定可知C正确；根据平面，可知点到平面的距离不是定值，知D错误.
【详解】对于A，连接，
四边形为正方形，；
平面，平面，；
又，平面，平面，
又平面，，A错误；
对于B，连接，
假设平面，
，平面，平面，平面，
又，平面，平面平面，
平面，平面，
又平面，平面平面，，
当与不重合时，显然不成立，B错误；
对于C，平面，平面，；
又，，平面，平面，
平面，；
同理可得：，
，平面，平面，
平面，平面平面，C正确；
对于D，平面，当为线段上的动点时，其到平面的距离不是定值，三棱锥体积不是定值.
故选：C.
6．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵，已知在堑堵中，，则与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在棱柱中，将与所成的角转化为与所成的角，即可求解.
【详解】在棱柱中，，所以与所成的角等于与所成角；
因为平面，所以；
又因为，，所以平面，
连接，则，
因为，故，
所以为等腰直角三角形，所以，所以C正确.
故选：C.
7．已知点A为圆台O1O2下底面圆O2的圆周上一点，S为上底面圆O1的圆周上一点，且SO1=1，O1O2=，O2A=2，记直线SA与直线O1O2所成角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据线面角的定义确定，再根据圆的性质计算得解.
【详解】由题意，设上 下底面半径分别为，其中，
如图，过作垂直下底面于，则，
所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角，即，
而，由圆的性质，，
所以，所以，
故选：C.
8．如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形为正方形，则下列结论正确的是（ ）
A．该八面体的体积为
B．该八面体的外接球的表面积为
C．到平面的距离为
D．与所成角为
【答案】D
【分析】由八面体的体积为结合锥体体积公式即可判断A选项；求得该八面体的外接球的球心为交点，即可判断B选项；取中点，过作，求出即可判断C选项；由及即可判断D选项.
【详解】
对于A，连接交于点，连接，易得过点，且平面，又，
则，则该八面体的体积为，A错误；
对于B，因为，则点即为该八面体的外接球的球心，
则外接球半径，则外接球的表面积为，B错误；
对于C，取中点，连接，易得，，，
，平面，则平面，过作交延长线于，平面，
则，又，平面，故平面，，
则，即到平面的距离为，C错误；
对于D，易得，则或其补角即为与所成角，又，则与所成角为，D正确.
故选：D.
二、多选题
9．如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为正方形上的动点，则（ ）
A．满足MP//平面的点P的轨迹长度为
B．满足的点P的轨迹长度为
C．不存在点P，使得平面AMP经过点B
D．存在点P满足
【答案】ACD
【分析】A选项，作出辅助线得到面面平行，从而得到满足MP//平面的点P的轨迹长度为的长，为，A正确；
B选项，作出辅助线得到满足的点P的轨迹长度为线段ST的长度，
又因为，B错误；
C选项，作出辅助线，得到平面截正方体所得的截面，根据截面与与正方形没有交点，故不存在点P，使得平面AMP经过点B；
D选项，作出辅助线，求出的最小值，且存在点P使得，故可得到存在点P满足.
【详解】如图1，取的中点F，取的中点E，连接EF，FM，EM，
因为M为的中点，
所以，，，
因为平面，平面，
所以平面，同理可得：平面，
因为平面EFM，
所以平面平面，
因为点P为正方形上的动点，
所以当P在线段EF上时，MP//平面，
故满足MP//平面的点P的轨迹长度为的长，为，A正确；
如图2，过点M作MQ⊥AM，交于点Q，可得：，
因为正方体的棱长为2，点M为的中点，
所以，故，
即，解得：，
过点Q作，交于点S，交于点T，
则平面，因为平面，
所以，
当点P位于线段ST上时，满足，
即满足的点P的轨迹长度为线段ST的长度，
又因为，所以B选项错误；
如图3，连接BM，取中点H，连接AH，HM，则可知平面截正方体所得的截面为ABMH，与正方形没有交点，
所以不存在点P，使得平面AMP经过点B
故C正确；
如图4，延长到点O，使得，则点M关于平面的对称点为O，
连接AO交正方形于点P，则此时使得取得最小值，
最小值为，
当点P与重合时，此时，
故存在点P满足
D正确；
故选：ACD
10．在棱长为的正方体中，已知点在面对角线上运动，点，，分别为，，的中点，点是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则下列选项正确的是（ ）
A．平面
B．平面平面
C．过，，三点的平面截正方体所得的截面面积为
D．动点的轨迹所形成区域的面积是
【答案】ABD
【分析】对A,根据面面平行即可判断线面平行，对B，由线线垂直可证线面垂直，进而可得面面垂直,对C，由正方体的特征可得截面为正六边形，即可求面积，对D,由面面平行可得点的运动轨迹，进而可求面积.
【详解】对于A,在正方体中，由平面，平面，平面，
同理可得平面，又，所以平面平面,而平面,故平面，故A对,
对于B,因为,所以平面,又平面,
因此,同理可得,又,故平面,因为平面，故平面平面，所以B对，
对于C,可知过三点平面截正方体所得的截面为正六边形,且正六边形的变长为,所以截面正六边形的面积为，故C错，
对于D,由A知，平面平面，又平面，故可知平面，因此在三角形边上以及内部运动，而三角形是边长为的正三角形，故面积为，故D对，
故选：ABD
11．在棱长为1的正方体中，点为底面的中心，点是正方形内（含边界）一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．点存在无数个位置满足平面
C．直线与平面所成角的余弦值为
D．三棱锥体积的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据题意，分别作图，利用图象，根据线面垂直、面面平行、线面角定义、三棱锥的体积公式，可得答案.
【详解】对于选项A，根据题意作图如下：
在正方体中，易知，
因为，所以平面，即，故A正确；
对于选项B，根据题意作图如下：
在正方体中，易知，
因为平面，平面，所以平面，
同理可得：平面，因为，所以平面平面，
易知平面，当时，平面，故B正确；
对于选项C，根据题意作图如下：
在正方体中，易知，
因为，所以平面，即，同理可得：，
因为，所以平面，连接，易知，
则为直线与平面所成角，
在中，，
因为，所以直线与平面所成角的余弦值为.故C错误；
对于选项D，根据题意作图如下：
在正方体中，
易知当点与点重合时，三棱锥体积取最大值，
设点到平面的距离为，则，
由选项B可知，则，可得，
则三棱锥体积取最大值：
，故D正确.
故选：ABD
12．在正方体中，下列说法正确的是（ ）
A．与垂直的面对角线有6条 B．直线与直线所成的角为45°
C．直线与平面所成的角为45° D．二面角的余弦值为
【答案】AD
【分析】利用线面垂直的定理、直线与直线、直线与平面所成角的概念，二面角的概念进行判断.
【详解】
对于选项A，在正方体中，平面，
又平面，所以，又，，
所以平面，又平面，所以,
同理可证，、、、、与垂直.所以，与垂直的面对角线有6条，故A正确；
对于选项B，直线与直线所成的角为，在正方体中，
易知平面，所以是直角三角形，即 ，
因为在正方体中，，所以直线与直线所成的角不等于45°，
故B错误；
对于选项C，因为平面，所以直线与平面所成的角为
，同上，是直角三角形，即 ，因为在正方体中，，所以直线与直线所成的角不等于45°，故C错误；
对于选项D，取的中点，因为，所以，
同理可证，，所以为二面角的平面角，
设正方体的边长为2，则，，由勾股定理有：
，，在中，由余弦定理有：
.
所以，二面角的余弦值为.
故D正确.
故选：AD.
三、填空题
13．在正方体中，，为线段上的动点，且与不重合，为线段的中点.给出下列三个结论：
①；
②三棱锥的体积不变；
③平面截正方体所得的截面图形一定是矩形.
其中，所有正确结论的序号为___________.
【答案】①②③
【分析】对于①，连接，由线面垂直的性质和判定可证得平面，由此可判断；
对于②，由，点F到平面ABC的距离是正方体的棱长的一半，是定值可判断；
对于③，延长BE交CD于点G，过点G作交于点H，连接，则四边形就是面截正方体所得的截面图形，由此可判断；
【详解】解：对于①，连接，
因为平面，所以，又，所以平面，所以，
同理可证，又，所以平面，故平面，所以，故①正确；
对于②，因为，而为线段的中点，所以点F到平面ABC的距离是正方体的棱长的一半，是个定值，又是定值，所以三棱锥的体积不变，故②正确；
对于③，延长BE交CD于点G，过点G作交于点H，连接，
则四边形就是面截正方体所得的截面图形，
而平面，又平面，所以，
又，，所以，又，所以四边形一定是矩形.
同理可得延长BE交AD于点G时的情形如下图所示，仍得四边形一定是矩形.故③正确；
所以正确的命题为：①②③，
故答案为：①②③.
14．如图：在三棱柱中，已知⊥平面ABC，，当底面满足条件___________时，有.
【答案】
【分析】利用线面垂直的性质定理可以得到线线垂直.
【详解】当底面满足条件时，有.
理由如下：⊥平面ABC，
四边形是正方形
//
又，，
//

所以当底面满足条件时，有.
故答案为：.
15．如图，正方形的边长为1，将沿折到的位置，连结.若二面角为直二面角.则直线与平面ABC所成角的大小为____________.
【答案】
【分析】取中点，连接，证明是与平面所成的角，求得此角即得，
【详解】如图，取中点，连接，则，，
所以是二面角的平面角，所以，
又，所以，，
因为，，，平面，所以平面，
所以是与平面所成的角．所以与平面所成的角是．
故答案为：．
16．如图，在直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是_______.（填写序号）
①平面；②三棱锥的体积的最大值为；
③与为异面直线；④存在点，使得与垂直.
【答案】②
【分析】利用勾股定理可判断①；利用锥体的体积公式可判断②；取与点重合时，可判断③；利用反证法可判断④.
【详解】对于①，因为平面，平面，，
所以，，同理可得，
因为，则，故不与垂直，
所以，不与平面垂直，①错；
对于②，取的中点，连接，
因为是边长为的等边三角形，则且，
平面，平面，，
，、平面，平面，
当点与点重合时，的面积取最大值，
所以，，②对；
对于③，当点与点重合时，与共面，③错；
对于④，取的中点，连接，如下图所示：
因为平面，平面，则，
若存在点使得，，则平面，
因为，且，所以，为等腰直角三角形，且，
同理可知，所以，，则，
平面，平面，，
，平面，故，
事实上，直线、相交，假设不成立，④错.
故答案为：②.
四、解答题
17．如图所示，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，是的中点，是上一点．
(1)求证：平面平面；
(2)若平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意证明平面即可证明结论；
（2）取中点，连接、，记，则是中点，连接，进而得是中点，故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
（1）
解：在直三棱柱中，平面，
因为平面，所以，
因为是等边三角形，D是AB的中点，所以，
因为，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，平面平面．
（2）
解：取中点，连接、，
记，则是中点，连接，则平面平面，
因为平面，平面，
所以，
因为是中点，
所以是中点．
所以，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，如图，
则，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，即，令，得，
因为平面，
所以平面的一个法向量为，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为
．
所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
18．如图，四边形是正方形，四边形是菱形，平面平面．
(1)证明：；
(2)若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题证得，，由线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的性质定理即可证得.
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，由二面角所成角的向量公式代入即可得出答案.
（1）如图，连接交于点，连接．∵四边形为正方形，∴，且为的中点．
又四边形为菱形，∴．∵，∴平面，又平面，∴．
（2）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，不妨设，则，，．
由（1）得，又平面平面，
平面平面，平面，
∴平面，，，∴，
故，，∴，，
，．
设为平面的一个法向量，
为平面的一个法向量，
则，故可取，
同理，故可取，
所以 设平面与平面所成的锐二面角为，
则，
所以平面与平面所成的锐二面角的正弦值为．中小学教育资源及组卷应用平台
第七章 空间向量与立体几何
专题4：空间直线、平面的垂直
从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．
1．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a ′∥a，b ′∥b，我们把直线a ′与b ′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)异面直线所成的角θ的取值范围： .
(3)当θ＝ 时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
2．直线与平面垂直
(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的 一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 l⊥α
性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线 a∥b
(3)直线和平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在 所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
②范围：
3．二面角
(1)从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角．以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
(2)二面角的平面角的范围： ．
4．平面与平面垂直
(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面过另一个平面的 ，那么这两个平面垂直 α⊥β
性质 定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平面垂直 l⊥α
提醒：两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”这一条件．
直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．
(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
考点一　直线与平面垂直的判定与性质
1．（2022·河北邯郸·高一期末）已知四棱锥的底面为矩形，，，平面，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)若与平面所成的角为45°，求二面角的正切值.
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的判断定理，证明，即可证明线面垂直；
（2）首先判断，再根据垂直关系，构造二面角的平面角，即可计算正切值.
（1）由条件可知，，满足，所以，又因为平面，平面，所以，且，所以平面；
（2）因为是与平面所成的角，所以，，因为，，，所以平面，取的中点，，垂足为点，连结，因为，所以平面，所以，，所以平面，所以，即是二面角的平面角，,，，所以，所以二面角的正切值为.
2．（2022·河北保定·高一阶段练习）如图，已知正方体.
(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可得，然后利用线面垂直的判定定理即得；
（2）过点E作于点F，可得为直线与平面所成的角，结合条件即得.
（1）连接.在正方体中，平面，所以，在正方形中，，因为，所以平面，因为平面，所以，同理可证得，因为，所以平面；
（2）过点E作于点F，连接，在正方体中，因为平面平面，平面平面，所以平面，又因为平面平面，所以为直线与平面所成的角，设正方体的棱长为4，则，因为，所以，则，在中，，由余弦定理得，即，在中，，故直线与平面所成角的正切值为.
判定线面垂直的四种方法
考点二　平面与平面垂直的判定与性质
在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥P BCDE.
(1)若平面PDE⊥平面BCDE，求四棱锥P BCDE的体积；
(2)若PB＝PC，求证：平面PDE⊥平面BCDE.
【解析】(1)如图所示，取DE的中点M，连接PM，
由题意知，PD＝PE，∴PM⊥DE，
又平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE，PM 平面PDE，
∴PM⊥平面BCDE，即PM为四棱锥P BCDE的高．
在等腰直角三角形PDE中，PE＝PD＝AD＝2，
∴PM＝DE＝，
而梯形BCDE的面积S＝(BE＋CD)·BC＝×(2＋4)×2＝6，
∴四棱锥P BCDE的体积V＝PM·S＝××6＝2.
(2)证明：取BC的中点N，连接PN，MN，则BC⊥MN，
∵PB＝PC，∴BC⊥PN，
∵MN∩PN＝N，MN，PN 平面PMN，∴BC⊥平面PMN，
∵PM 平面PMN，∴BC⊥PM，由(1)知，PM⊥DE，
又BC，DE 平面BCDE，且BC与DE是相交的，
∴PM⊥平面BCDE，
∵PM 平面PDE，∴平面PDE⊥平面BCDE.
　证明面面垂直的两种方法
考点三　平行与垂直的综合问题
1．（2022·江苏省响水中学高一开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，分别为，的中点，侧面底面，且．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）连接，证明，原题即得证；
（2）证明平面，原题即得证；
（3）取的中点，连结，证明平面，再利用等体积法求解.
（1）证明：连结，则是的中点，为的中点，
故在中，，
且平面，平面，平面.
（2）证明：因为平面平面，平面平面，
又，所以平面，
所以，
又，所以是等腰直角三角形，且，
即，又 ，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（3）解：取的中点，连结，
，，
又平面平面，平面平面，
平面，
．
2．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））图是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，将其沿，折起使得与重合，连接，如图．
(1)证明：图中的，，，四点共面，且平面平面；
(2)求图中的二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线线平行可得，，，四点共面，再根据线面垂直的判定可得AB平面，从而证明平面平面；
（2）作，垂足为，根据面面垂直的性质可得平面，再以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求解二面角即可
（1）证明：由已知得，，所以，故AD，确定一个平面，从而，，，四点共面．由已知得，，又为平面内相交的两条直线，故AB平面．又因为平面，所以平面平面．
（2）作，垂足为.因为平面，平面平面，平面平面所以平面．由已知，菱形的边长为，，可求得，．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．设平面的法向量为，则，即，令，可取．又平面的法向量可取为 ，所以．易知二面角为锐角，因此二面角的大小为．
3．（2022·吉林·长春外国语学校高一期末）如图，直四棱柱的底面是边长为的菱形，且.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面平面，求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用菱形的性质、线面垂直的性质，结合线面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.
（2）根据给定条件，求出，再作出直线与平面所成的角，在直角三角形中计算作答.
（1）在直四棱柱中，平面，平面，则，四边形为菱形，则，而，平面，因此平面，又平面，所以平面平面.
（2）令，连接，如图，平面，平面，则，由（1）知，，平面，因此平面，又平面，于是得，而平面平面，平面平面，平面，则平面，而平面，有，即，菱形中，，，则，，令，则，由得，令，连，过M作交于N，则有平面，连，则是直线与平面所成的角，，显然，则，又，因此，，所以与平面所成角的正弦值是.
垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．如果有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
1．（2022·全国·高考真题）已知正方体，则（ ）
A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为
2．（2022·全国·高考真题（文））如图，四面体中，，E为AC的中点．
(1)证明：平面平面ACD；
(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．
一、单选题
1．已知m，n为两条不同的直线，与为两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．如图，为正方体，下列错误的是（ ）
A．平面 B．
C．平面平面 D．异面直线与所成的角为60°
3．在四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中错误的是（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
.
4．在正方体中，分别为的中点，则下列判断错误的是（ ）
A．与异面 B．平面//平面
C．平面平面 D．与所成角的正切值为
5．在正方体中，点在线段上，则（ ）
A．与所成角等于 B．平面
C．平面平面 D．三棱锥体积为定值
6．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵，已知在堑堵中，，则与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．已知点A为圆台O1O2下底面圆O2的圆周上一点，S为上底面圆O1的圆周上一点，且SO1=1，O1O2=，O2A=2，记直线SA与直线O1O2所成角为，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形为正方形，则下列结论正确的是（ ）
A．该八面体的体积为
B．该八面体的外接球的表面积为
C．到平面的距离为
D．与所成角为
二、多选题
9．如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为正方形上的动点，则（ ）
A．满足MP//平面的点P的轨迹长度为
B．满足的点P的轨迹长度为
C．不存在点P，使得平面AMP经过点B
D．存在点P满足
10．在棱长为的正方体中，已知点在面对角线上运动，点，，分别为，，的中点，点是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则下列选项正确的是（ ）
A．平面
B．平面平面
C．过，，三点的平面截正方体所得的截面面积为
D．动点的轨迹所形成区域的面积是
11．在棱长为1的正方体中，点为底面的中心，点是正方形内（含边界）一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．点存在无数个位置满足平面
C．直线与平面所成角的余弦值为
D．三棱锥体积的最大值为
12．在正方体中，下列说法正确的是（ ）
A．与垂直的面对角线有6条 B．直线与直线所成的角为45°
C．直线与平面所成的角为45° D．二面角的余弦值为
三、填空题
13．在正方体中，，为线段上的动点，且与不重合，为线段的中点.给出下列三个结论：
①；
②三棱锥的体积不变；
③平面截正方体所得的截面图形一定是矩形.
其中，所有正确结论的序号为___________.
14．如图：在三棱柱中，已知⊥平面ABC，，当底面满足条件___________时，有.
15．如图，正方形的边长为1，将沿折到的位置，连结.若二面角为直二面角.则直线与平面ABC所成角的大小为____________.
16．如图，在直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是_______.（填写序号）
①平面；②三棱锥的体积的最大值为；
③与为异面直线；④存在点，使得与垂直.
四、解答题
17．如图所示，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，是的中点，是上一点．
(1)求证：平面平面；
(2)若平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
18．如图，四边形是正方形，四边形是菱形，平面平面．
(1)证明：；
(2)若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的正弦值．

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