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广东省茂名市电白区2021-2022学年高一下学期数学期末试试卷
一、单选题
1．（2022高一下·电白期末）已知复数：满足（为虚数单位），则（　　）
A． B． C． D．
2．（2022高一下·电白期末）下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是（　　）
A．某学校有学生1 320人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本
B．为了准备省政协会议，某政协委员计划从1 135个村庄中抽取50个进行收入调查
C．从全班30名学生中，任意选取5名进行家访
D．为了解某地区癌症的发病情况，从该地区的5 000人中抽取200人进行统计
3．（2022高一下·电白期末）2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，激发青少年学生的爱国、爱党热情，引导青少年学生深入地了解党的光辉历史，加强爱国主义教育，甲、乙两所学校均计划于2021年7月组织师生参加“观看一部红色电影”活动．据了解，《1921》、《革命者》、《红船》、《三湾改编》等多部电影将陆续上映．甲、乙两校分别从这4部电影中任选一部电影观看，则甲、乙两校选择不同电影观看的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（2022高一下·电白期末）如图，在中，是的中点，若，则实数的值是（　　）
A． B．1 C． D．
5．（2022高一下·电白期末）光明学校为了解男生身体发育情况，从2000名男生中抽查了100名男生的体重情况，根据数据绘制样本的频率分布直方图，如图所示，下列说法中错误的是（　　）
A．样本的众数约为
B．样本的中位数约为
C．样本的平均值约为66
D．体重超过75kg的学生频数约为200人
6．（2022高一下·扬州期末）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（　　）
A．甲与丙相互独立 B．丙与丁相互独立
C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立
7．（2022高一下·电白期末）如图，在正方体中，，，分别为，的中点，，分别为棱，上的动点，则三棱锥的体积（　　）
A．存在最大值，最大值为 B．存在最小值，最小值为
C．为定值 D．不确定，与，的位置有关
8．（2022·安徽模拟）将函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，再向下平移1个单位长度，最后向左平移个单位长度，得到函数的图象.若对任意，都存在，使得，则的值可能是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高一下·电白期末）一种新冠病毒变种在多个国家和地区蔓延扩散，令全球再度人心惶惶．据悉，新冠病毒变种被世界卫生组织定义为“关切变异株”，被命名为奥密克戎（Omicron）．根据初步研究发现，奥密克戎变异株比贝塔（Beta）变异株和德尔塔（Delta）变异株具有更多突变，下图是某地区奥密克戎等病毒致病比例（新增病例占比）随时间变化的对比图，则下列说法正确的有（　　）
A．奥密克戎变异株感染的病例不到25天占据新增病例的80%多
B．德尔塔变异株用了100天占据该地区约50%的新增病例
C．贝塔变异株的传染性比德尔塔变异株的传染性强
D．德尔塔变异株感染的病例占新增病例80%用了约75天
10．（2022高一下·电白期末）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，记事件“选中的2人都是女同学”的概率为；事件“选中2人都是男同学”的概率为；事件“选中1名男同学1名女同学”的概率．则下列选项正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2022高一下·电白期末）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖膈”．如图在堑堵中，，且．下列说法正确的是（　　）
A．四棱锥为“阳马”
B．四面体为“鳖膈”
C．四棱锥体积最大为
D．过点分别作于点，于点，则
12．（2022高一下·电白期末）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标准为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为2，极差为5；乙地：平均数为2，众数为2；丙地：平均数为2，中位数为3；丁地：平均数为2，方差为2，甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（　　）
A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地
三、填空题
13．（2022高一下·电白期末）北京时间2月20日，北京冬奥会比赛日收官，中国代表团最终以9枚金牌4枚银牌2枚铜共15枚奖牌的总成绩，排名奖牌榜第三，创造新的历史．据统计某高校共有本科生1600人，硕士生600人，博士生200人申请报名做志愿者，现用分层抽样方法从中抽取博士生30人，则该高校抽取的志愿者总人数为　 　．
14．（2022高一下·电白期末）我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、水、火、土这五种物质，称为“五行”.古人构建了金生水、水生木、木生火、火生土、土生金的相生理论，随机任取“两行”，则取出的“两行”相生的概率是　 　
15．（2022高一下·电白期末）在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污染的数字为　 　.
16．（2022高一下·电白期末）如图，在中，D为边上一点，，若的面积为，则的余弦值为　 　．
四、解答题
17．（2022高一下·电白期末）某单位为了了解退休职工生活情况，对50名退休职工做了一次问卷调查，满分100分，并从中随机抽取了10名退休职工的问卷，得分情况统计如下：
分数 77 79 81 84 88 92 93
人数 1 1 1 3 2 1 1
试回答以下问题：
（1）求抽取的10名退休职工问卷得分的均值和方差.
（2）10名退休职工问卷得分在与之间有多少人？这些人占10名退休职工的百分比为多少？
18．（2022高一下·电白期末）2022年2月20日，北京冬奥会在国家体育场“鸟巢”落下帷幕，中国代表团创历史最佳战绩.北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动.某学校组织了一次冰雪运动趣味知识竞赛，100名喜爱冰雪运动的学生参赛，现将成绩分成，，，，（成绩均在区间上）共五组并制成如下频率分布直方图.学校决定对成绩前15名的参赛学生进行奖励，奖品为冬奥吉祥物冰墩墩玩偶.
（1）试求参赛学生成绩的众数及受奖励的分数线的估计值；
（2）从受奖励的15名学生中按上述成绩分组并利用分层抽样抽取5人.现从这5人中抽取2人，试求这2人成绩恰有一个不低于90分的概率.
19．（2022高一下·电白期末）已知函数，.
（1）求的最小正周期及单调增区间；
（2）求在区间的值域.
20．（2022·聊城模拟）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B；
（2）若b=4，求周长的最大值.
21．（2022高一下·电白期末）大力开展体育运动，增强学生体质，是学校教育的重要目标之一.我校开展体能测试，A、B、C三名男生准备在跳远测试中挑战2.80米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为“优秀”，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为“优秀”，若第二跳失败，则等级为“良好”，挑战结束.已知A、B、C三名男生成功跳过2.80米的概率分别是，，，且每名男生每跳相互独立.
（1）求A，B，C三名男生在这次跳远挑战中共跳5次的概率；
（2）分别求A，B，C三名男生在这次跳远挑战中获得“优秀”的概率
22．（2022高一下·电白期末）如图所示，矩形中，，.、分别在线段和上，，将矩形沿折起.记折起后的矩形为，且平面平面.
（1）求证：平面；
（2）若，求证：；
（3）求四面体体积的最大值
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，进而得出复数z，再结合复数与共轭复数的关系，进而得出复数z的共轭复数。
2．【答案】C
【知识点】简单随机抽样
【解析】【解答】对于A，不同年级的学生身体发育情况差别较大，适合用分层抽样，A不是；
对于B，总体容量较大，并且各村庄人口、地域、发展等方面的差异，不宜用简单随机抽样，B不是；
对于C，总体容量较小，个体之间无明显差异，适宜用简单随机抽样；
对于D，总体容量较大，不同年龄的人癌症的发病情况不同，不宜用简单随机抽样，D不是.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合简单随机抽样的方法，进而找出正确的答案。
3．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】分别用1，2，3，4表示《1921》、《革命者》、《红船》、《三湾改编》，
由题可得基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，共有16种，
其中甲、乙两校选择不同电影有：，，，，，，，，，，，，共有12种，
所以甲、乙两校选择不同电影观看的概率是。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出甲、乙两校选择不同电影观看的概率 。
4．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】∵分别是的中点，
∴.
又因为，∴。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合中点的性质，再结合三角形法则和恶平面向量基本定理，进而得出实数m的值。
5．【答案】C
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】对于，样本的众数为，故正确，
对于，设样本的中位数为，则，
解得，故正确，
对于，由直方图估计样本平均值可得：
，故错误，
对于，2000名男生中体重超过的人数大约为，故正确．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合频率分布直方图各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频数等于频率乘以样本容量的公式，再结合频率分布直方图求众数、中位数和平均数公式，进而找出说法错误的选项。
6．【答案】C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】甲、乙、丙、丁事件分别记为，则有，，
对于A，显然甲丙不可能同时发生，即，A不正确；
对于B，显然丙丁不可能同时发生，即，B不正确；
对于C，，甲与丁相互独立，C符合题意；
对于D，，D不正确.
故答案为：C
【分析】 根据已知条件，结合列举法和相互独立事件的概率乘法公式，即可求解出答案.
7．【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】如下图，连接，在正方体中，，分别为，的中点，
可得，，所以当在棱移动时，到平面的距离为定值，当在棱移动时，到的距离为定值，所以为定值，则三棱锥的体积为定值. 平面即平面，作，由于，可得平面MABN，由，可得，而，。
故答案为：C.
【分析】连接，在正方体中，，分别为，的中点，再利用中点作中位线的方法和中位线的性质，可得，再利用线线平行证出线面平行，所以，所以当在棱移动时，到平面的距离为定值，当在棱移动时，到的距离为定值，所以为定值，再利用三棱锥的体积公式，则三棱锥的体积为定值，利用平面即平面，作，由于，可得平面MABN，由结合两三角形相似对应边成比例，可得CH的长，再结合三角形面积公式得出的值，再利用三棱锥的体积公式结合等体积法，进而得出三棱锥的体积。
8．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由题，，又对任意，都存在，使得，故在上的值域包含在上的值域.又当时，，即在上的值域包含.又当时， ，且有解，故区间包含，排除AB；又当时，，因为，故不包含不合题意排除D；当时，此时，故，故此时在上的值域包含满足条件.综上所述满足条件
故答案为：C
【分析】由题意易得在在上的值域包含在的值域，再分析的最值判断值域的包含关系，结合选项排除即可.
9．【答案】A,D
【知识点】频率分布折线图、密度曲线；随机抽样和样本估计总体的实际应用
【解析】【解答】对于A选项，奥密克戎变异株感染的病例不到25天占据新增病例的80%多，A对；
对于B选项，德尔塔变异株用了近50天占据该地区约50%的新增病例，B不符合题意；
对于C选项，德尔塔变异株感染的病例占新增病例的60%用了近天左右，
而贝塔变异株感染的病例占新增病例的60%所用时间超过了100天，C不符合题意；
对于D选项，德尔塔变异株感染的病例占新增病例80%用了约75天，D对.
故答案为：AD.
【分析】利用已知条件结合折线图中的数据，再结合统计的知识，进而找出说法正确的选项。
10．【答案】B,C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】将2名男同学分别记为，，3名女同学分别记为，，，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有，，，，，，，，，共10种，则，，，
因此，，，。
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式以及比较法，进而找出正确的选项。
11．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，
∴在堑堵中，，侧棱平面，
A选项，∴，又，且，则平面，
∴四棱锥为“阳马”，对；
B选项，由，即，又且，
∴平面，
∴，则为直角三角形，
又由平面，得为直角三角形，
由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形．
∴四面体为“鳖膈”，对；
C选项，在底面有，即，
当且仅当时取等号，
，错；
D选项，因为平面，则，
且，则平面，
∴，又且，
则平面，所以则，对；
故答案为：ABD．
【分析】利用已知条件结合 “阳马” 和 “鳖膈” 的定义，再结合四棱锥的体积公式和线线垂直的判断方法，进而基本不等式求最值的方法，从而找出说法正确的选项。
12．【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】甲地的中位数为2，极差为5，所以，最大值不大于，A符合；
若乙地过去10天每天新增疑似病例人数分别为0、0、0、2、2、2、2、2、2、8，
则满足平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，B不符合；
假设丙地至少有一天新增疑似病例人数超过7人，
由中位数为3可得平均数的最小值为，
与题意矛盾，C符合；
假设至少有一天新增疑似病例超过7人，则方差的最小值为，与题意矛盾，D符合．
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合众数、平均数、中位数、极差、方差的公式，进而找出甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的选项。
13．【答案】360
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】因为，用分层抽样方法从中抽取博士生30人，所以本科生、硕士生抽取的人数分别为人、人，则该高校抽取的志愿者总人数为。
故答案为：360。
【分析】利用已知条件结合分层抽样的方法，进而结合求和法得出该高校抽取的志愿者总人数。
14．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由题意得，随机任取“两行”共有金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土共10种，
其中取出的“两行”相生的情况有金生水、水生木、木生火、火生土、土生金共5种，
所以取出的“两行”相生的概率。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出取出的“两行”相生的概率。
15．【答案】2
【知识点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】根据茎叶图进行数据分析可得：极差为48-20=28.
因为极差与中位数之和为61，所以中位数为33.
设被污染的数字为a，则，解得：a=2。
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合茎叶图中的数据，再利用极差公式和中位数公式，进而得出被污染的数字。
16．【答案】
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】易知，，解得，故，，
又因为，故，，，即，
故，故。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合三角形的面积，再结合余弦定理，进而得出 的余弦值。
17．【答案】（1）解：抽取的10名退休职工问卷得分的均值为
，
抽取的10名退休职工问卷得分的方差为
（2）解：由（1）可得，
所以，，
所以10名退休职工问卷得分在与之间有6人，占的百分比为60%.
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合统计表中的数据，再利用均值求解方法和方差公式，进而得出抽取的10名退休职工问卷得分的均值和方差的值。
（2） 由（1）可得的值，进而得出，的值，进而得出10名退休职工问卷得分在与之间的人数，从而得出占的百分比。
18．【答案】（1）解：由频率分布直方图估计众数为75，
竞赛成绩在的人数为，
竞赛成绩在的人数为，故受奖励分数线在内.
设受奖励分数为，则，
解得，故受奖励分数的估计值为85.
（2）解：由（1）知，受奖励的15人，成绩在的人数为9，成绩在的人数为6，
利用分层抽样，可知成绩在的抽取3人，记作，，，成绩在的抽取2人，记作，，
现从这5人中抽取2人，所有的可能情况有，，，，，，，，，共10种，
满足条件的情况有，，，，，共6种，
故所求的概率为.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图求众数的方法，再利用频率分布直方图各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频数等于频率乘以样本容量公式，进而得出参赛学生成绩的众数及受奖励的分数线的估计值。
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法和古典概型求概率公式，进而得出这2人成绩恰有一个不低于90分的概率。
19．【答案】（1）解：∵，
∴，即最小正周期.
由，解得，
∴增区间为，
（2）解：∵，∴，
∴，
∴，
∴值域为.
【知识点】函数的值域；三角函数的周期性；正弦函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式，进而得出正弦型函数 的最小正周期，再利用正弦型函数的图象判断其单调性，从而求出正弦型函数的单调递增区间。
（2）利用已知条件结合正弦型函数的图象求最值的方法，进而得出正弦型函数 在区间的值域。
20．【答案】（1）解：因为，则，
在中，由正弦定理得，，而，即，
整理得，即，又，解得，
所以.
（2）解：在中，由余弦定理得：，即，
而，于是得，当且仅当a=c=4时取“=”，
因此，当a=c=4时，a+c取最大值8，从而a+b+c取最大值12，
所以周长的最大值为12.
【知识点】基本不等式；正弦定理
【解析】【分析】（1）利用差角的余弦公式，结合正弦定理，化简计算作答.
（2）利用余弦定理，结合均值不等式求出的最大值， 从而求得周长的最大值.
21．【答案】（1）解：记“A，B，C三名男生第跳成功分别为事件，则由题意可知
，
A，B，C三名男生共跳5次，则有1人第一跳成功，其余2人第一跳失败，
记“A，B，C三名男生共跳5次”为事件，则
（2）解：由题意得男生跳高的等级为“优秀”的概率为
，
男生跳高的等级为“优秀”的概率为
男生跳高的等级为“优秀”的概率为
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式、互斥事件加法求概率公式对立事件求概率公式，进而得出 A，B，C三名男生在这次跳远挑战中共跳5次的概率。
（2） 利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式、互斥事件加法求概率公式对立事件求概率公式，进而分别求出A，B，C三名男生在这次跳远挑战中获得“优秀”的概率 。
22．【答案】（1）证明：∵四边形，都是矩形，
∴，，∴四边形是平行四边形，
∴，∵平面，∴平面；
（2）证明：连接，设，∵平面平面，且，
∴平面，∴，
又，∴四边形为正方形，∴，
∴平面，又平面，∴，
（3）解：设，则，其中，
由（1）得平面，
∴四面体的体积为：
，
时，四面体的体积最大，其最大值为2.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1） 连接，设，利用平面平面，且结合面面垂直的性质对立证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用，所以四边形为正方形，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。
（2） 设，则，其中，由（1）得平面，再利用三棱锥的体积公式和二次函数的图象求最值的方法得出四面体的体积的最大值。
1 / 1广东省茂名市电白区2021-2022学年高一下学期数学期末试试卷
一、单选题
1．（2022高一下·电白期末）已知复数：满足（为虚数单位），则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，进而得出复数z，再结合复数与共轭复数的关系，进而得出复数z的共轭复数。
2．（2022高一下·电白期末）下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是（　　）
A．某学校有学生1 320人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本
B．为了准备省政协会议，某政协委员计划从1 135个村庄中抽取50个进行收入调查
C．从全班30名学生中，任意选取5名进行家访
D．为了解某地区癌症的发病情况，从该地区的5 000人中抽取200人进行统计
【答案】C
【知识点】简单随机抽样
【解析】【解答】对于A，不同年级的学生身体发育情况差别较大，适合用分层抽样，A不是；
对于B，总体容量较大，并且各村庄人口、地域、发展等方面的差异，不宜用简单随机抽样，B不是；
对于C，总体容量较小，个体之间无明显差异，适宜用简单随机抽样；
对于D，总体容量较大，不同年龄的人癌症的发病情况不同，不宜用简单随机抽样，D不是.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合简单随机抽样的方法，进而找出正确的答案。
3．（2022高一下·电白期末）2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，激发青少年学生的爱国、爱党热情，引导青少年学生深入地了解党的光辉历史，加强爱国主义教育，甲、乙两所学校均计划于2021年7月组织师生参加“观看一部红色电影”活动．据了解，《1921》、《革命者》、《红船》、《三湾改编》等多部电影将陆续上映．甲、乙两校分别从这4部电影中任选一部电影观看，则甲、乙两校选择不同电影观看的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】分别用1，2，3，4表示《1921》、《革命者》、《红船》、《三湾改编》，
由题可得基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，共有16种，
其中甲、乙两校选择不同电影有：，，，，，，，，，，，，共有12种，
所以甲、乙两校选择不同电影观看的概率是。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出甲、乙两校选择不同电影观看的概率 。
4．（2022高一下·电白期末）如图，在中，是的中点，若，则实数的值是（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】∵分别是的中点，
∴.
又因为，∴。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合中点的性质，再结合三角形法则和恶平面向量基本定理，进而得出实数m的值。
5．（2022高一下·电白期末）光明学校为了解男生身体发育情况，从2000名男生中抽查了100名男生的体重情况，根据数据绘制样本的频率分布直方图，如图所示，下列说法中错误的是（　　）
A．样本的众数约为
B．样本的中位数约为
C．样本的平均值约为66
D．体重超过75kg的学生频数约为200人
【答案】C
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】对于，样本的众数为，故正确，
对于，设样本的中位数为，则，
解得，故正确，
对于，由直方图估计样本平均值可得：
，故错误，
对于，2000名男生中体重超过的人数大约为，故正确．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合频率分布直方图各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频数等于频率乘以样本容量的公式，再结合频率分布直方图求众数、中位数和平均数公式，进而找出说法错误的选项。
6．（2022高一下·扬州期末）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（　　）
A．甲与丙相互独立 B．丙与丁相互独立
C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立
【答案】C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】甲、乙、丙、丁事件分别记为，则有，，
对于A，显然甲丙不可能同时发生，即，A不正确；
对于B，显然丙丁不可能同时发生，即，B不正确；
对于C，，甲与丁相互独立，C符合题意；
对于D，，D不正确.
故答案为：C
【分析】 根据已知条件，结合列举法和相互独立事件的概率乘法公式，即可求解出答案.
7．（2022高一下·电白期末）如图，在正方体中，，，分别为，的中点，，分别为棱，上的动点，则三棱锥的体积（　　）
A．存在最大值，最大值为 B．存在最小值，最小值为
C．为定值 D．不确定，与，的位置有关
【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】如下图，连接，在正方体中，，分别为，的中点，
可得，，所以当在棱移动时，到平面的距离为定值，当在棱移动时，到的距离为定值，所以为定值，则三棱锥的体积为定值. 平面即平面，作，由于，可得平面MABN，由，可得，而，。
故答案为：C.
【分析】连接，在正方体中，，分别为，的中点，再利用中点作中位线的方法和中位线的性质，可得，再利用线线平行证出线面平行，所以，所以当在棱移动时，到平面的距离为定值，当在棱移动时，到的距离为定值，所以为定值，再利用三棱锥的体积公式，则三棱锥的体积为定值，利用平面即平面，作，由于，可得平面MABN，由结合两三角形相似对应边成比例，可得CH的长，再结合三角形面积公式得出的值，再利用三棱锥的体积公式结合等体积法，进而得出三棱锥的体积。
8．（2022·安徽模拟）将函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，再向下平移1个单位长度，最后向左平移个单位长度，得到函数的图象.若对任意，都存在，使得，则的值可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由题，，又对任意，都存在，使得，故在上的值域包含在上的值域.又当时，，即在上的值域包含.又当时， ，且有解，故区间包含，排除AB；又当时，，因为，故不包含不合题意排除D；当时，此时，故，故此时在上的值域包含满足条件.综上所述满足条件
故答案为：C
【分析】由题意易得在在上的值域包含在的值域，再分析的最值判断值域的包含关系，结合选项排除即可.
二、多选题
9．（2022高一下·电白期末）一种新冠病毒变种在多个国家和地区蔓延扩散，令全球再度人心惶惶．据悉，新冠病毒变种被世界卫生组织定义为“关切变异株”，被命名为奥密克戎（Omicron）．根据初步研究发现，奥密克戎变异株比贝塔（Beta）变异株和德尔塔（Delta）变异株具有更多突变，下图是某地区奥密克戎等病毒致病比例（新增病例占比）随时间变化的对比图，则下列说法正确的有（　　）
A．奥密克戎变异株感染的病例不到25天占据新增病例的80%多
B．德尔塔变异株用了100天占据该地区约50%的新增病例
C．贝塔变异株的传染性比德尔塔变异株的传染性强
D．德尔塔变异株感染的病例占新增病例80%用了约75天
【答案】A,D
【知识点】频率分布折线图、密度曲线；随机抽样和样本估计总体的实际应用
【解析】【解答】对于A选项，奥密克戎变异株感染的病例不到25天占据新增病例的80%多，A对；
对于B选项，德尔塔变异株用了近50天占据该地区约50%的新增病例，B不符合题意；
对于C选项，德尔塔变异株感染的病例占新增病例的60%用了近天左右，
而贝塔变异株感染的病例占新增病例的60%所用时间超过了100天，C不符合题意；
对于D选项，德尔塔变异株感染的病例占新增病例80%用了约75天，D对.
故答案为：AD.
【分析】利用已知条件结合折线图中的数据，再结合统计的知识，进而找出说法正确的选项。
10．（2022高一下·电白期末）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，记事件“选中的2人都是女同学”的概率为；事件“选中2人都是男同学”的概率为；事件“选中1名男同学1名女同学”的概率．则下列选项正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】将2名男同学分别记为，，3名女同学分别记为，，，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有，，，，，，，，，共10种，则，，，
因此，，，。
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式以及比较法，进而找出正确的选项。
11．（2022高一下·电白期末）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖膈”．如图在堑堵中，，且．下列说法正确的是（　　）
A．四棱锥为“阳马”
B．四面体为“鳖膈”
C．四棱锥体积最大为
D．过点分别作于点，于点，则
【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，
∴在堑堵中，，侧棱平面，
A选项，∴，又，且，则平面，
∴四棱锥为“阳马”，对；
B选项，由，即，又且，
∴平面，
∴，则为直角三角形，
又由平面，得为直角三角形，
由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形．
∴四面体为“鳖膈”，对；
C选项，在底面有，即，
当且仅当时取等号，
，错；
D选项，因为平面，则，
且，则平面，
∴，又且，
则平面，所以则，对；
故答案为：ABD．
【分析】利用已知条件结合 “阳马” 和 “鳖膈” 的定义，再结合四棱锥的体积公式和线线垂直的判断方法，进而基本不等式求最值的方法，从而找出说法正确的选项。
12．（2022高一下·电白期末）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标准为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为2，极差为5；乙地：平均数为2，众数为2；丙地：平均数为2，中位数为3；丁地：平均数为2，方差为2，甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（　　）
A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地
【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】甲地的中位数为2，极差为5，所以，最大值不大于，A符合；
若乙地过去10天每天新增疑似病例人数分别为0、0、0、2、2、2、2、2、2、8，
则满足平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，B不符合；
假设丙地至少有一天新增疑似病例人数超过7人，
由中位数为3可得平均数的最小值为，
与题意矛盾，C符合；
假设至少有一天新增疑似病例超过7人，则方差的最小值为，与题意矛盾，D符合．
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合众数、平均数、中位数、极差、方差的公式，进而找出甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的选项。
三、填空题
13．（2022高一下·电白期末）北京时间2月20日，北京冬奥会比赛日收官，中国代表团最终以9枚金牌4枚银牌2枚铜共15枚奖牌的总成绩，排名奖牌榜第三，创造新的历史．据统计某高校共有本科生1600人，硕士生600人，博士生200人申请报名做志愿者，现用分层抽样方法从中抽取博士生30人，则该高校抽取的志愿者总人数为　 　．
【答案】360
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】因为，用分层抽样方法从中抽取博士生30人，所以本科生、硕士生抽取的人数分别为人、人，则该高校抽取的志愿者总人数为。
故答案为：360。
【分析】利用已知条件结合分层抽样的方法，进而结合求和法得出该高校抽取的志愿者总人数。
14．（2022高一下·电白期末）我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、水、火、土这五种物质，称为“五行”.古人构建了金生水、水生木、木生火、火生土、土生金的相生理论，随机任取“两行”，则取出的“两行”相生的概率是　 　
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由题意得，随机任取“两行”共有金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土共10种，
其中取出的“两行”相生的情况有金生水、水生木、木生火、火生土、土生金共5种，
所以取出的“两行”相生的概率。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出取出的“两行”相生的概率。
15．（2022高一下·电白期末）在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污染的数字为　 　.
【答案】2
【知识点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】根据茎叶图进行数据分析可得：极差为48-20=28.
因为极差与中位数之和为61，所以中位数为33.
设被污染的数字为a，则，解得：a=2。
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合茎叶图中的数据，再利用极差公式和中位数公式，进而得出被污染的数字。
16．（2022高一下·电白期末）如图，在中，D为边上一点，，若的面积为，则的余弦值为　 　．
【答案】
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】易知，，解得，故，，
又因为，故，，，即，
故，故。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合三角形的面积，再结合余弦定理，进而得出 的余弦值。
四、解答题
17．（2022高一下·电白期末）某单位为了了解退休职工生活情况，对50名退休职工做了一次问卷调查，满分100分，并从中随机抽取了10名退休职工的问卷，得分情况统计如下：
分数 77 79 81 84 88 92 93
人数 1 1 1 3 2 1 1
试回答以下问题：
（1）求抽取的10名退休职工问卷得分的均值和方差.
（2）10名退休职工问卷得分在与之间有多少人？这些人占10名退休职工的百分比为多少？
【答案】（1）解：抽取的10名退休职工问卷得分的均值为
，
抽取的10名退休职工问卷得分的方差为
（2）解：由（1）可得，
所以，，
所以10名退休职工问卷得分在与之间有6人，占的百分比为60%.
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合统计表中的数据，再利用均值求解方法和方差公式，进而得出抽取的10名退休职工问卷得分的均值和方差的值。
（2） 由（1）可得的值，进而得出，的值，进而得出10名退休职工问卷得分在与之间的人数，从而得出占的百分比。
18．（2022高一下·电白期末）2022年2月20日，北京冬奥会在国家体育场“鸟巢”落下帷幕，中国代表团创历史最佳战绩.北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动.某学校组织了一次冰雪运动趣味知识竞赛，100名喜爱冰雪运动的学生参赛，现将成绩分成，，，，（成绩均在区间上）共五组并制成如下频率分布直方图.学校决定对成绩前15名的参赛学生进行奖励，奖品为冬奥吉祥物冰墩墩玩偶.
（1）试求参赛学生成绩的众数及受奖励的分数线的估计值；
（2）从受奖励的15名学生中按上述成绩分组并利用分层抽样抽取5人.现从这5人中抽取2人，试求这2人成绩恰有一个不低于90分的概率.
【答案】（1）解：由频率分布直方图估计众数为75，
竞赛成绩在的人数为，
竞赛成绩在的人数为，故受奖励分数线在内.
设受奖励分数为，则，
解得，故受奖励分数的估计值为85.
（2）解：由（1）知，受奖励的15人，成绩在的人数为9，成绩在的人数为6，
利用分层抽样，可知成绩在的抽取3人，记作，，，成绩在的抽取2人，记作，，
现从这5人中抽取2人，所有的可能情况有，，，，，，，，，共10种，
满足条件的情况有，，，，，共6种，
故所求的概率为.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图求众数的方法，再利用频率分布直方图各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频数等于频率乘以样本容量公式，进而得出参赛学生成绩的众数及受奖励的分数线的估计值。
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法和古典概型求概率公式，进而得出这2人成绩恰有一个不低于90分的概率。
19．（2022高一下·电白期末）已知函数，.
（1）求的最小正周期及单调增区间；
（2）求在区间的值域.
【答案】（1）解：∵，
∴，即最小正周期.
由，解得，
∴增区间为，
（2）解：∵，∴，
∴，
∴，
∴值域为.
【知识点】函数的值域；三角函数的周期性；正弦函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式，进而得出正弦型函数 的最小正周期，再利用正弦型函数的图象判断其单调性，从而求出正弦型函数的单调递增区间。
（2）利用已知条件结合正弦型函数的图象求最值的方法，进而得出正弦型函数 在区间的值域。
20．（2022·聊城模拟）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B；
（2）若b=4，求周长的最大值.
【答案】（1）解：因为，则，
在中，由正弦定理得，，而，即，
整理得，即，又，解得，
所以.
（2）解：在中，由余弦定理得：，即，
而，于是得，当且仅当a=c=4时取“=”，
因此，当a=c=4时，a+c取最大值8，从而a+b+c取最大值12，
所以周长的最大值为12.
【知识点】基本不等式；正弦定理
【解析】【分析】（1）利用差角的余弦公式，结合正弦定理，化简计算作答.
（2）利用余弦定理，结合均值不等式求出的最大值， 从而求得周长的最大值.
21．（2022高一下·电白期末）大力开展体育运动，增强学生体质，是学校教育的重要目标之一.我校开展体能测试，A、B、C三名男生准备在跳远测试中挑战2.80米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为“优秀”，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为“优秀”，若第二跳失败，则等级为“良好”，挑战结束.已知A、B、C三名男生成功跳过2.80米的概率分别是，，，且每名男生每跳相互独立.
（1）求A，B，C三名男生在这次跳远挑战中共跳5次的概率；
（2）分别求A，B，C三名男生在这次跳远挑战中获得“优秀”的概率
【答案】（1）解：记“A，B，C三名男生第跳成功分别为事件，则由题意可知
，
A，B，C三名男生共跳5次，则有1人第一跳成功，其余2人第一跳失败，
记“A，B，C三名男生共跳5次”为事件，则
（2）解：由题意得男生跳高的等级为“优秀”的概率为
，
男生跳高的等级为“优秀”的概率为
男生跳高的等级为“优秀”的概率为
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式、互斥事件加法求概率公式对立事件求概率公式，进而得出 A，B，C三名男生在这次跳远挑战中共跳5次的概率。
（2） 利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式、互斥事件加法求概率公式对立事件求概率公式，进而分别求出A，B，C三名男生在这次跳远挑战中获得“优秀”的概率 。
22．（2022高一下·电白期末）如图所示，矩形中，，.、分别在线段和上，，将矩形沿折起.记折起后的矩形为，且平面平面.
（1）求证：平面；
（2）若，求证：；
（3）求四面体体积的最大值
【答案】（1）证明：∵四边形，都是矩形，
∴，，∴四边形是平行四边形，
∴，∵平面，∴平面；
（2）证明：连接，设，∵平面平面，且，
∴平面，∴，
又，∴四边形为正方形，∴，
∴平面，又平面，∴，
（3）解：设，则，其中，
由（1）得平面，
∴四面体的体积为：
，
时，四面体的体积最大，其最大值为2.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1） 连接，设，利用平面平面，且结合面面垂直的性质对立证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用，所以四边形为正方形，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。
（2） 设，则，其中，由（1）得平面，再利用三棱锥的体积公式和二次函数的图象求最值的方法得出四面体的体积的最大值。
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