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【标题】第五节　共点力的平衡
解读课程　学科素养
课标要点 核心素养
1．知道平衡状态的概念，知道共点力的平衡条件． 2．会用合成法和正交分解法解答共点力的平衡问题． 3．掌握动态平衡问题的分析方法． 1．能对共点力的平衡综合性问题进行分析，获得平衡条件的结论．（科学思维） 2．能根据共点力的平衡问题探究平衡条件．（科学探究） 3．利用平衡条件解决实际生活中的实际问题．（科学态度与责任）
预习新知　自主学习
一、共点力平衡的条件
1．平衡状态：物体受到几个力作用时，保持静止或匀速直线运动状态．
2．共点力的平衡条件：在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0．
静止是指物体的速度和加速度都等于零的状态．
二、正交分解法
1．概念：将力沿着两个选定的相互垂直的坐标轴进行分解，再在这两个坐标轴上求合力的方法，叫力的正交分解法．
2．优点：正交分解法是在平行四边形定则的基础上发展起来的，其目的是将矢量运算转化为代数运算．其优点有以下两点：
（1）可借助数学中的直角坐标系对力进行描述．
（2）分解时只需熟知三角函数关系，几何关系简单，容易求解．
3．适用情况：常用于三个或三个以上的力的合成．
4．坐标轴的选取：建立坐标轴时，一般选共点力作用线的交点作为坐标轴的原点，并尽可能使较多的力落在坐标轴上，这样可以减少需要分解的力的数目，简化运算过程．
5．利用正交分解法求解共点力的平衡问题的一般步骤
（1）建立直角坐标系；
（2）将各力沿x、y两坐标轴依次分解为相互垂直的两个分力，并求出各分力的大小；
（3）将平衡条件F合＝0写成，利用列方程；
（4）解方程．
探究知识　提升素养
知识点1 共点力作用下物体的平衡
兴趣探究
如果一个物体保持静止或做匀速直线运动，我们就说这个物体处于平衡状态．因此，静止的雕像、匀速飞行的飞机都是处于平衡状态．那么，保持物体平衡需要什么条件呢？
【答案】共点力作用下物体的平衡条件是合力为0．
知识归纳
1．两种平衡情形
（1）物体在共点力作用下处于静止状态．
（2）物体在共点力作用下处于匀速直线运动状态．
2．两种平衡条件的表达式
（1）F合＝0．
（2）
其中Fx合和Fy合分别是将所受的力进行正交分解后，物体在x轴和y轴方向上所受的合力．
3．由平衡条件得出的三个结论
考向例题
考向　对共点力作用下物体平衡条件的理解
【例1】在如下所示的A、B、C、D四图中，滑轮本身的重力忽略不计，滑轮的轴O安装在一根轻木杆P上，一根轻绳ab以绕过滑轮，a端固定在墙上，b端下面挂一个质量都是m的重物，当滑轮和重物都静止不动时，A、C、D图中杆P与竖直方向夹角均为θ，图B中杆P在竖直方向上，假设A、B、C、D四图中滑轮受到木杆弹力的大小依次为FA、FB、FC、FD，则以下判断中正确的是 （　　）
A
B
C
D
A．FA＝FB＝FC＝FD　　B．FD＞FA＝FB＞FC
C．FA＝FC＝FD＞FB D．FC＞FA＝FB＞FD
【解析】由于两个绳子的拉力大小等于重物的重力大小，大小不变，即四个选项中绳子的拉力是大小相等的，根据平行四边形定则知两个力的夹角越小，则合力越大，即滑轮两边绳子的夹角越小，绳子拉力的合力越大，故D中绳子拉力合力最大，则杆的弹力最大，C中夹角最大，绳子拉力合力最小，则杆的弹力最小，故滑轮受到木杆弹力的大小顺序为FD＞FA＝FB＞FC．
【答案】B
知识点2 解决平衡问题的常用方法
兴趣探究
某幼儿园要在空地上做一个滑梯，根据空地的大小，滑梯的水平跨度确定为6 m．已知滑板和儿童裤料之间的动摩擦因数取0．4，为使儿童在滑梯游戏时能从滑板上滑下，如果让你设计滑梯的高度，利用所学物理知识，你能有哪几种方法解决这个问题？
【答案】有分解法、合成法和正交分解法
知识归纳
1．合成法
物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反，据此画出这两个力合成的平行四边形，利用几何知识求解力的三角形．
2．分解法
物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按其他两个力的作用线分解，则其分力和其他两个力等大、反向．
3．正交分解法
物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解到相互垂直的x、y轴上，则两轴上各分力的合力为零．
考向例题
考向一　单体平衡的计算
【例2】如图所示，一重为10N的球固定在支杆AB的上端，今用一段绳子水平拉球，使杆发生弯曲，已知绳的拉力为7．5 N，则AB杆对球的作用力 （　　）
A．大小为7．5 N
B．大小为10 N
C．方向与水平方向成53°角斜向右下方
D．方向与水平方向成53°角斜向左上方
【答案】D
【解析】解法一：效果分解法
分析小球重力产生的效果可知，小球重力产生一个水平方向拉伸细绳的效果，可分解为一个沿水平向左的分力，其大小等于绳中张力．由平行四边形定则可确定小球重力的另一个分力的大小与方向，如图所示，另一分力的大小与方向与杆对小球的作用力等值反向．
设AB杆对小球的作用力与水平方向夹角为α，由图中几何关系有：F＝＝12．5N、tanα＝，故α＝53°，D正确．
解法二：合成法
对球受力分析如图所示：
球受重力、绳子的拉力及杆的弹力而处于平衡状态；则重力与绳子的拉力的合力与杆的作用力等大反向；则可得：F＝＝12．5N，方向与水平方向的夹角的正切值为：tanα＝，α＝53°，斜向左上方；故只有D正确，ABC错误．
解法三：正交分解法
小球受力如图所示，
则F2sinα＝G，F2cosα＝F1，tanα＝，α＝53°．F2＝N＝12．5N．故只有D正确，ABC错误．
方法技巧：物体受三个共点力的作用而平衡，这几种方法都能用，若物体不是受三个共点力的作用而平衡，一般就用正交分解法了，可见正交分解法的使用范围要广．
即时巩固
1．质量为m的木箱置于水平面上，水平推力F即可使木箱做匀速直线运动．现保持F的大小不变，方向改为与水平方向成60°斜向上拉木箱，仍能使其做匀速直线运动，如图所示．则木箱与水平面间的动摩擦因数为 （　　）
A．　　　B．　　　C．　　　D．
【解析】木箱匀速运动，受力平衡．当推力水平时有F＝μmg，当推力改为方向与水平方向成60°斜向上拉木箱时有Fcos60°＝μ（mg－Fsin60°），解得μ＝，C正确．
【答案】C
考向二　平衡中的极值问题
【例3】用一根长1 m的轻质细绳将一副质量为1 kg的画框对称悬挂在墙壁上，已知绳能承受的最大张力为10 N，为使绳不断裂，画框上两个挂钉的间距最大为（g取10 m/s2） （　　）
A． m B． m C． m D． m
【解析】一个大小方向确定的力分解为两个等大的力时，合力在分力的角平分线上，且两分力的夹角越大，分力越大．题中当绳子拉力达到F＝10N的时候，绳子间的张角最大，即两个挂钉间的距离最大；画框受到重力和绳子的拉力，三个力为共点力，受力如图．绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子长为L0＝1m，则有mg＝2Fcosθ，两个挂钉的间距离L＝2·sinθ，解得L＝m，A项正确．
【答案】A
知识点3 动态平衡问题
兴趣探究
如图所示，人通过跨过定滑轮的轻绳牵引一物体，人向左缓慢移动时，地面对人的支持力和摩擦力如何变化？
【答案】人受重力、绳子的拉力及地面对人的支持力和摩擦力，当人缓慢向左移动时，绳子拉力的大小不变，但在水平方向的分力增大，竖直方向的分力减小，故地面对人的支持力和摩擦力都变大．
知识归纳
2．动态平衡：
（1）所谓动态平衡问题，是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态．
（2）基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”．
2．分析动态平衡问题的常用方法：
（1）解析法：列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式，根据已知量的变化情况结合数学知识来确定未知量的变化情况．
（2）图解法：根据已知量的变化情况，画出平行四边形边、角的变化，确定未知量大小、方向的变化．
（3）相似三角形法：根据已知条件画出两个不同情况对应的力的三角形和空间几何三角形，确定对应边，利用三角形相似知识列出比例式，确定未知量大小的变化情况．
考向例题
考向一　图解法解决动态平衡问题
【例4】如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点，现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力FT的变化情况是 （　　）
A．FN保持不变，FT不断增大
B．FN不断增大，FT不断减小
C．FN保持不变，FT先增大后减小
D．FN不断增大，FT先减小后增大
【解析】
推动斜面体时，小球始终处于平衡状态，根据共点力的平衡条件解决问题，选小球为研究对象，其受力情况如图所示，用平行四边形定则作出相应的“力三角形OAB”，其中OA的大小、方向均不变，AB的方向不变，推动斜面时，FT逐渐趋于水平，B点向下转动，根据动态平衡，FT先减小后增大，FN不断增大，选项D正确．
【答案】D
方法技巧：何种题型考虑用图解法解题
（1）题目中不求力的具体数值，只关心力的大小变化情况；
（2）三力平衡问题：受到三个力作用且合力为0，其中的一个力大小、方向都不变，一个力方向不变，第三个力方向要变．
若符合这两个条件，用图解法比解析法解题要简单．
考向二　三角形相似法解决动态平衡问题
【例5】半径为R的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B的距离为h，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T的大小变化的情况是 （　　）
A．N变大，T变小
B．N变小，T变大
C．N变小，T先变小后变大
D．N不变，T变小
【解析】如图所示
对小球：受力平衡，由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态，其中重力mg不变，支持力N，绳子的拉力T一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图中小阴影三角形）．由于在这个三角形中有四个变量：支持力N的大小和方向、绳子的拉力T的大小和方向，所以还要利用其他条件．实物（小球、绳、球面的球心）形成的三角形也是一个动态的封闭三角形（图中大阴影三角形），并且始终与三力形成的封闭三角形相似，则有如下比例式：
　　
可得：T＝mg　运动过程中L变小，T变小．
N＝mg　运动中各量均为定值，故支持力N不变．综上所述，正确答案为选项D．
【答案】D
方法技巧：此题虽然是不考虑力的具体大小，只关心力的大小变化，也是三力平衡问题，一个力大小、方向都不变，但是两个力的方向都变，所以不能用图解法解题，遇到这种情况可考虑用三角形相似法．
基础性达标作业
1．物体在共点力作用下，下列说法中正确的是 （　　）
A．物体的速度在某一时刻等于零，物体就一定处于平衡状态
B．物体相对另一物体保持静止时，物体一定处于平衡状态
C．物体所受合力为零，就一定处于平衡状态
D．物体做匀加速运动时，物体处于平衡状态
【解析】处于平衡状态的物体，从运动形式上来看是处于静止或匀速直线运动状态；从受力上来看，物体所受合力为零．物体某一时刻的速度为零，所受合外力不一定为零，故不一定处于平衡状态，A错误；物体相对于另一物体静止时，说明两物体运动状态相同，但是该物体不一定处于平衡状态，如当另一物体做变速运动时，该物体也做变速运动，此时物体处于非平衡状态，B错误；物体所受合力为零，加速度为零，则物体一定处于平衡状态，C正确；物体做匀加速运动时，物体所受合力不为零，故不是平衡状态，D错误．
【答案】C
2．物体在以下三个共点力作用下，可能做匀速直线运动的是 （　　）
A．1 N、6 N、8 N　　　B．3 N、6 N、2 N
C．7 N、2 N、6 N D．5 N、9 N、15 N
【解析】做匀速直线运动，则物体必须受力平衡，合力为零，三力合成时，如果三力满足任意两力之和大于等于第三个力，任意两力之差小于等于第三个力，则这三个力合力为零，故只有C满足，选项C正确．
【答案】C
3．如图所示，某人静躺在椅子上，椅子的靠背与水平面之间有固定倾斜角θ．若此人所受重力为G，则椅子对他的作用力大小为 （　　）
A．G B．Gsin θ
C．Gcos θ D．Gtan θ
【解析】人受多个力处于平衡状态，人受力可以看成两部分，一部分是重力，另一部分是椅子各部分对他的作用力的合力．根据平衡条件得椅子各部分对他的作用力的合力与重力等值，反向，即大小为G，方向竖直向上．故A正确，B、C、D错误．
【答案】A
4．（多选）如图所示，在水平力F作用下，所受重力大小为G的物体保持沿竖直墙壁匀速下滑，物体与墙壁之间的动摩擦因数为μ，物体所受摩擦力大小等于 （　　）
A．μF　　B．μF＋G　　C．μF－G　　D．G
【解析】分析物体受力可知，物体在竖直方向上只受到重力和摩擦力的作用而匀速下滑，故由平衡条件可得f＝G，D正确．再由水平方向的上受力及平衡可得F＝N，则由摩擦力公式有f＝μN＝μF，A正确BC错误．
【答案】AD
5．（多选）如图所示，重为G的小孩沿斜面匀速滑下，小孩受力如图所示，这些力之间的大小关系是 （　　）
A．FN＝Gcos θ
B．Ff＝Gsin θ
C．Ff＋FN＝G
D．G2＝＋
【解析】小孩匀速下滑，受力平衡，把重力G分解，沿斜面方向和垂直于斜面方向列式即可求解．
【答案】ABD
6．在我国东北寒冷的冬季，狗拉雪橇是人们出行的常见交通工具，如图所示，一质量为30 kg的小孩坐在10．6 kg的钢制滑板的雪橇上，狗用与水平方向成37°角斜向上的拉力拉雪橇，雪橇与冰道间的动摩擦因数为0．02，求狗要用多大的力才能够拉雪橇匀速前进．（sin 37°＝0．6，cos 37°＝0．8，g＝10 m/s2）
【解析】
对小孩和雪橇整体受力分析，如图所示，雪橇匀速运动时有，竖直方向：（M＋m）g＝FN＋Fsin37°①
水平方向：Fcos37°＝Ff②
又Ff＝μFN③
由①②③得：狗拉雪橇匀速前进要用力为F＝＝10N
【答案】10 N
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