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2022年8月学科能力综合测试(TACA)
丘成桐数学零试试题及解析
题1.设取整
102022
10100-9
被10”整除，则非负整数n的最大可能值为
解析：
22
记10100-9=a,则
20
1022=102(a+920=102∑Ca4g20k=102×g20
(mod a)
k=0
所以
102022
102022-1022×920
10100-9
=1022×102000-920
a
因为(a,10)=1,所以n=22.
题2.设an=
()(等)·()…()产，其中q=总。记a=lm+sa,
则[a=
解析：42
记an=
Pn
-(9）(0)(t+)
的-)广a-)广
于是a=（
-92m+1)
1-0)2
一.所以
a=lim dn=
1
n→+o
故[a=42.
题3.满足方程局+++=1，k…kn≤200的所有有序正整数组(n,,…,kn)
的组数为
解析：12
1=11
十
k1 k2
云产”k5≥0：→n<3
1
(1)n=1:(n,k)=(1,1),共1组；
(2)n=2:(n,1,k2)=(2,2,2),共1组.
(3)m=3:
3、1.1.1
石产后+后+后=1字州≤3.
(1)1=2时，(k2,k3)=(3,6),(4,4)月
(i)1=3时，(k2,3)=(3,3).
本情形一共有A+C3+1=10组，
综上，一共有1+1+10=12组.
题4.已知下列不等式2阳≤e2对所有实数x均成立，则日的最小值为
解析：242
记F(x)=2ex2-e22x-e22r,因为F(0)=0,且F(x)≥0恒成立，所以x=0是
极小值点，故
F(0)=0,F"(0)≥0
于是c≥222/2=242.
当c=242时，注意到对任意x∈R,我们有
2e0-2+2cn2+2(c22
2!
e2x+e22r=2
2.(22m2+2:(2x+
2!
4!
所以欲说明F(x)≥0，只需有
(cx2)n、(22.x)2n
n!
(2m)！
2
显然
(ca2)n(2c)"x2n (22x)2n
n!
(2m)！-(2m)！
所以c=242时，不等式恒成立.
题5.记1=厦蛊，则[1001=
解析：54
dx
d(-cosx)
sinx
sin2 x
-I
dx
1
∫吃(1+x+1-x)dx
1-x2
2。
(1-x)(1+x)
1
dx
1吃
dx
2J0
1-x
2J0
1+x
ln3
2
故[100I=54.
题6.设正实数G,C2,C%使得对任意定义在[-π，π]上的三次多项式f(x)均有∫f(x)dr=
cf(-)+f0)+cf(m),则[°]
的最大可能值为
解析：5
设f(x)=ar3+bx2+cx+d,则
f(x)da=
+2d
caf(-π)+c2f(0)+c3f(π)=a(-G1+c3)π3+b(c1+c3)π2+c(-C1+c3)π+d(c1+c2+c3)
于是
C=C3,
12
G+c2+8=1,→G==62=3
G+3=号
3

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