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第一单元 长方体和正方体
第7课时 《长方体和正方体的体积》导学案
【学习目标】
1.学习目标描述：经历操作、观察、猜想、验证等数学活动的过程，探索并掌握长方体和正方体的体积公式，能运用公式正确计算长方体和正方体的体积。
2.学习内容分析：本节所学的内容是在学生已经认识了长方体和正方体的特征、学习了表面积的计算，掌握了体积的概念和常用的体积单位的基础上, 引导学生探索并掌握长方体和正方体的体积公式，并应用公式解决一些简单的实际问题。初步掌握长方体和正方体体积公式的基础上, 引导学生进一步探索长方体和正方体的体积公式，在探索中通过分析、比较、归纳，掌握”长方体(正方体)的体积=底面积×高”这一体积的统一公式。
3.学科核心素养分析：使学生在活动中进一步积累空间与图形的学习经验，增强空间观念，发展数学思考；进一步体会图形学习与实际生活的联系，感受图形学习的价值，提高数学学习的兴趣和学好数学的自信心。
【学习重点】掌握长方体、正方体体积的计算方法；理解并掌握长方体和正方体体积的统一公式。
【学习难点】理解长方体体体积公式的推导过程。
【知识链接】
1.填一填。
棱长是1cm的正方体，体积是（ ）。
棱长是1dm的正方体，体积是（ ）。
棱长是1m的正方体，体积是（ ）。
1立方分米=（ ）升
1立方厘米=（ ）毫升
2.下面的长方体都是由棱长为1厘米的小正方体拼成的，它们的体积各是多少呢？
我发现：数小正方体的（ ），（ ）是多少，长方体的体积就是多少。
【合作探究】
一、探索长方体体积与长、宽、高的关系
1.下图是由体积为1立方厘米的小正方体组成的，摆成的长方体的长、宽、高各是多少？用了多少小正方体？包含多少个体积单位？
（1）摆成长方体的长是（ ）厘米，宽和高都是（ ）厘米。
（ ）×（ ）×（ ）=（ ）（个），用了（ ）个小正方体。
包含了（ ）个体积单位，所以这个长方体的体积是（ ）立方厘米。
（2）用若干个1立方厘米的小正方体摆出不同的长方体，并填写下表。
①说说你是怎样判断出所摆长方体的长、宽、高的？
沿着长、宽、高各摆几个正方体，长方体的长、宽、高就分别是几（ ）。
②怎样数出每个长方体里包含的正方体的个数？
长方体的个数=（ ）×（ ）×（ ）
③长方体的体积与小正方体的数量有什么关系？
我发现：长方体里有多少个正方体，体积就是多少（ ）。
2.用1立方厘米的小正方体摆出下面的长方体，各需要多少个？先想一想，再摆一摆。
第一个长方体
①长方体的宽与高都是（ ）厘米，只要把（ ）个正方体摆成一行。
②我发现：长方体长的数量是（ ），沿着长摆出（ ）个体积单位。
（ ）×（ ）=（ ）（个），长与宽的乘积，就是（ ）行里体积单位的个数，体积是（ ）cm3。
③长方体长的数量与沿着长摆的体积单位个数是（ ）的。
（2）第二个长方体
①长方体的高（ ）=厘米，只要把正方体摆成（ ）层。
②我发现：长方体宽的数量是（ ），沿着宽应该摆出（ ）行体积单位。
（ ）×（ ）=（ ）（个），长与宽的乘积，就是（ ）层里体积单位的个数，体积是（ ）cm3。
（3）第三个长方体
①长方体高（ ）厘米，要把正方体摆成（ ）层。
②我发现：长方体高的数量是（ ），沿着高摆出（ ）层体积单位。
（ ）×（ ）×（ ）=（ ）（个），长乘宽乘高的乘积，就是（ ）层体积单位的个数，体积是24cm3。
3.从上面的两次摆一摆中，你发现长方体的体积与什么有关？
我发现：长方体的体积应该与（ ）、（ ）、（ ）有关。
4.可以怎么求长方体的体积？
长方体的体积=（ ）×（ ）×（ ）
5.如果用V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长、宽、高，上面的公式可以写成……？
V=_______________________
三、探索正方体体积的计算方法
1.正方体的棱长有什么特点？可以怎样求正方体的体积？与同学交流你的想法。
我发现：
（1）正方体12条棱长度（ ），每行摆的个数、摆的行数、摆的层数都与正方体的棱长（ ）。
（2）正方体的体积=（ ）×（ ）×（ ）
2.如果用V表体积，用a表示棱长，上面的公式可以写成……？
a·a·a也可以写成（ ），读作a的（ ）。a 表示3个a相（ ），正方体的体积公式一般写成：
V=_______________________
完成“试一试”
计算下面长方体和正方体包装盒的体积。
五、统一公式
1.认识“底面积”
（1）找出这两个图形的底面，涂上颜色。
我发现：底面就是它们的（ ）面。
（2）一个长方体的6个面中，任何一个面都可以做底面，一般以水平放置的下面做（ ）面。
（3）这两个图形的底面积是哪个面的面积？
我认为：长方体和正方体（ ）的面积，叫作它们的底面积。
（4）长方体和正方体的底面面积怎么计算？
长方体的底面积＝（ ）×（ ）
正方体的底面积＝（ ）×（ ）
2.统一公式
（1）想一想，长方体和正方体的体积还可以怎么计算？并说说这个公式是怎样得到的？
长方体的体积=（ ）×（ ）×（ ）
=（ ）×（ ）
正方体的体积=（ ）×（ ）×（ ）
=（ ）×（ ）
注意：正方体底面积×棱长中的“棱长”相当于正方体的（ ），所以正方体的体积也可以看成（ ）×（ ）。
（2）这两个公式能统一起来吗？
长方体（或正方体）的体积＝（ ）×（ ）
（3）如果用S表示底面积，体积公式可以写成……
V=____________
（4）现在知道了求长方体和正方体体积的统一公式， 在解决求体积的些实际问题时, 可以直接用它的（ ）（或先求出_______）乘（ ）就可以了。
3.理解横截面的意义
（1）长方体和正方体不同放置，说法各不相同。
长方体和正方体的侧面叫做（ ）面。
（2）以长方体为例，说说横截面、长与底面积、高有什么关系呢？
我发现：横截面相当于（ ），长相当于（ ），所以长方体（或正方体）的体积=（ ）×（ ）。
【达标检测】
1.填一填。
（1）长方体的体积＝（ ）×（ ）×（ ），用字母表示为（ ）。
正方体的体积＝（ ）×（ ）×（ ），用字母表示为（ ）。
（2）一个正方体的棱长是10厘米，这个正方体的体积是（ ）立方厘米。
（3）一个长方体的长是4分米，宽是2.5分米，高是3分米，求它的体积是（ ）立方分米。
（4）一个长方体的长是4厘米，宽是5厘米，高是2厘米，棱长总和是（ ）
厘米，它的体积是（ ）立方厘米，表面积是（ ）平方厘米。
（5）长方体（或正方体）的体积＝（ ）×（ ），用字母表示为（ ）。
（6）一个长方体，底面积是7平方米，高5米，它的体积（ ）立方米。
（7）一个长方体的长是7分米，高是3分米，宽是6分米，这个长方体的底面积是（ ）平方分米。
（8）一个正方体的棱长是5米，这个正方体的底面积是（ ）平方米。
2.计算下面长方体和正方体的体积。
3.下面正方体的棱长之和是72cm，请你求出它的表面积及体积。
4.一个长方体的水池，长500分米，宽300分米，深2米，如果每分钟可以放进5立方米的水，要放满这一池水需要多少小时？
5.一个长方体的底面积是32平方分米，高和宽都是4分米，这个长方体的表面积和体积各是多少？
6.在一个底面边长2分米的正方体玻璃水槽中放入一块青铜，这时水面上升了1分米。
（1）这块青铜的体积是多少立方分米？
（2）如果每立方分米青铜重8.5千克，这块青铜重多少千克？
7.把一根长1.2米的长方体木料截成4段，表面积增加了1200平方分米，这根木料的体积是多少？
8.一个正方体玻璃缸，棱长4dm，用它装满水，再把水全部倒入一个底面积为20dm2的长方形水槽中，槽里的水面高多少分米？
参考答案
1.填一填。
（1）长 宽 高 V=abh
棱长 棱长 棱长 V=a3
（2）1000
（3）30
（4）44 40 76
（5）底面积 高 V=Sh
（6）35
（7）42
（8）25
2.计算下面长方体和正方体的体积。
10×2×4=80（立方厘米）
答：这个长方体的体积是80立方厘米。
5×5×5=125（立方厘米）
答：这个正方体的体积是125立方厘米。
3.下面正方体的棱长之和是72cm，请你求出它的表面积及体积。
72÷12=6（cm）
6×6×6=216（cm2）
6×6×6=216（cm3）
4.一个长方体的水池，长500分米，宽300分米，深2米，如果每分钟可以放进5立方米的水，要放满这一池水需要多少小时？
500分米=50米 300分米=30米
50×30×2÷5
=3000÷5
=600（分钟）
=10（小时）
答：要放满这一池水需要10小时。
5.一个长方体的底面积是32平方分米，高和宽都是4分米，这个长方体的表面积和体积各是多少？
由题意画图如下：
（1）32×4+4×4×2
=128+32
=160（平方分米）
（2）32×4=128（立方分米）
答：这个长方体的表面积160平方分米，体积是128立方分米。
6.在一个底面边长2分米的正方体玻璃水槽中放入一块青铜，这时水面上升了1分米。
（1）2×2×1=4（立方分米）
答：这块青铜的体积是4立方分米。
（2）4×8.5=34（千克）
答：这块青铜重34千克。
7.把一根长1.2米的长方体木料截成4段，表面积增加了1200平方分米，这根木料的体积是多少？
1.2米=12分米
1200÷6×12
=200×12
=7200（立方分米）
答：这根木料的体积是7200立方分米。
8.一个正方体玻璃缸，棱长4dm，用它装满水，再把水全部倒入一个底面积为20dm2的长方形水槽中，槽里的水面高多少分米？
4×4×4÷20=3.2（分米）
答：槽里的水面高3.2分米。
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