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圆锥曲线第二、三定义
【知识点讲解】
1、在椭圆E:+=1(a>b>0)中:
(1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l',有l∥l',设其斜率为k0,则k0·k=-.
(2)如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=-.
(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k0·k=-.
2、在双曲线E:-=1(a>0,b>0)中,类比上述结论有:
(1)k0·k=. (2)k1·k2=. (3)k0·k=.
在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线PA与PB的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB的斜率为定值.
图示 条件 结论
已知椭圆+=1(a>b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在椭圆上,设A,B是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0. 直线AB的斜率kAB为 定值 .
已知双曲线-=1(a,b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在双曲线上,设A,B是双曲线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0. 直线AB的斜率kAB为 定值- .
已知抛物线y2=2px(p>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0. 直线AB的斜率kAB为 定值-.
3、在抛物线：中的结论有.
4、长短弦公式
椭圆中：长弦,短弦
（其中是焦参数，即焦点到对应准线的距离，是直线与轴的夹角，而非倾斜角）.
双曲线也有类似结论.
5、圆锥曲线的第二定义
平面内一个动点M与一个定点F的距离与一条定直线l（点F不在直线l上）的距离比等于一个常数e。当0＜e＜1时，动点M的轨迹是椭圆；当e=1时，动点M的轨迹是抛物线；当e＞1时，动点M的轨迹是双曲线。
6、焦半径公式
（1）椭圆
已知为椭圆上一点，椭圆的左右焦点为：
焦半径：（为椭圆的离心率）；
（2）双曲线
已知为双曲线上一点，双曲线的左右焦点为：
PF2=ex0-a
（3）抛物线
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
α为弦AB的倾斜角|AF|＝，|BF|＝
(其中点A在x轴上侧，点B在x轴下侧) .
【典例讲解】
【例1】已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点的直线交于、两点， 若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：设、，若轴，则、关于轴对称，不合乎题意，
将、的坐标代入椭圆方程得，两式相减得，
可得，
因为线段的中点坐标为，所以，，，
因为抛物线的焦点为，所以，
又直线过点，因此，所以，，
整理得，又，解得，，
因此，椭圆的方程为，
【跟踪训练1】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆上．
(1)经过点M（1，）作一直线交椭圆于AB两点，若点M为线段AB的中点，求直线的斜率；
【答案】(1)解：由题设椭圆的方程为
因为椭圆经过点，所以
所以椭圆的方程为.
设，所以，
所以，
由题得，所以，
所以，所以，
所以直线的斜率为,经检验的斜率等于复合题意.
【对点训练】
一、单选题
1．直线过抛物线的焦点F且与抛物线交于A,B两点，则
A． B． C． D．
2．椭圆上一点与两焦点组成一个直角三角形，则点到轴的距离是
A． B． C． D．或
3．直线不经过坐标原点O，且与椭圆交于A、B两点，M是线段AB的中点．那么，直线AB与直线OM的斜率之积为
A． B．1 C． D．2
4．是椭圆上一动点，则点到椭圆左焦点的最远距离是（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，则此椭圆的离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆上一点到其左焦点的距离为，则点到右准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆C：（）的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B，若P为线段的中点，O为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线l和双曲线相交于A，B两点，线段AB的中点为M，设直线l的斜率为（），直线OM的斜率为（O为坐标原点），则（ ）
A． B． C． D．
9．已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点，若P为线段的中点，O为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．设椭圆的方程为1，直线AB不经过原点，而且与椭圆相交于A，B两点，M为AB的中点．若直线AB的斜率为1，则直线OM的斜率不可能是（ ）
A． B． C． D．﹣1
11．设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是（ ）
A．直线AB与OM垂直；
B．若直线方程为，则.
C．若直线方程为，则点M坐标为
D．若点M坐标为，则直线方程为；
12．已知椭圆的标准方程为，为椭圆的左右焦点，O为原点，P是椭圆在第一象限的点，则的取值范围（）
A． B． C． D．
二、多选题
13．设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，而且与椭圆相交于两点，为线段的中点，下列结论正确的是（ ）
A．直线与垂直
B．若点坐标为，则直线的方程为
C．若直线的方程为，则点坐标为
D．若直线过椭圆焦点，则
14．已知是椭圆上一点，、分别为的左、右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．准线方程为 D．周长为16
15．已设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，而且与椭圆相交于，两点，为线段的中点．下列结论正确的是（ ）．
A．直线与垂直
B．若点坐标为，则直线方程为
C．若直线方程为，则点坐标为
D．若直线方程为，则直线与椭圆相交
三、填空题
16．已知椭圆外一点A(5，6)，l为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到l的距离为d，则PA＋d的最小值为______
17．已知斜率为且不经过坐标原点O的直线与椭圆＝1相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则直线OM的斜率为 ________．
四、解答题
18．已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到点的最大距离为8.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线AB过点且与椭圆相交于点A、B，是否为定值，若是求出这个定值，若不是说明理由．
19．已知椭圆的离心率为，右顶点到右焦点的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l不经过原点O，且不平行于坐标轴，l 与C有两个交点A，B，线段AB 中点为M，证明：直线OM 的斜率与直线l的斜率乘积为定值．
20．已知椭圆的左顶点是A，右焦点是，过点F且斜率不为0的直线与C交于P，Q两点，B为线段AP的中点，O为坐标原点，直线AP与BO的斜率之积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l为圆的切线，且l与C相交于S，T两点，求的取值范围
【参考答案】
1．B
【详解】
是焦半径，故可用焦半径公式把转化为，联立直线方程和抛物线方程后再利用韦达定理可求此值.
详解：设，直线.
由 得到，
故，所以
，
2．D
【详解】
解：a＝5，b，c＝4，
第一种情况，两焦点连线段为直角边，则P点横坐标为±4，代入方程得纵坐标为±，则P到x轴距离为；
第二种情况，两焦点连线为斜边，设P（x，y），则|PF2|＝，|PF1|＝
∵||＝8，∴（）2+（）2＝64，∴P点横坐标为±，代入方程得纵坐标为±，则P到x轴距离为；
3．C
【详解】
试题分析：设，
∵M是线段AB的中点，，
把代入椭圆，
得，
两式相减，得，
∴，
∴，
又，
∴直线AB与直线OM的斜率之积：
．
4．B
【详解】
椭圆的左准线方程为
设，则根据椭圆的第二定义可得
5．A
【详解】
设P
由题得
因为
所以,
所以此椭圆的离心率的最小值为.
6．A
【详解】
设点的坐标为，则，，且，
对于椭圆，，，，
椭圆的左焦点为，右准线方程为，
，解得，
因此，点到右准线的距离为.
7．D
【详解】
直线过点，令则，所以，即.
设，则，两式相减并化简得，
所以，
，
所以椭圆的方程为.
8．C
【详解】
设，
则
所以
又两点在双曲线上，则
，
将两式相减得：
即
即
9．D
【详解】
设，因为直线过，所以，得，
所以，
设，
由，得，得，
因为P为线段的中点，O为坐标原点，
所以，，
所以，
又在直线上，所以，
所以，即，将其代入，得，，
所以椭圆C的方程为.
故选：D
10．D
【详解】
设,则,又 ,
即.故.即
又,故,因为,故.
11．D
【详解】
不妨设坐标为，则，两式作差可得：
，设，则.
对A：，故直线不垂直，则A错误；
对B：若直线方程为，联立椭圆方程，
可得：，解得，故，
则，故错误；
对：若直线方程为y=x+1，故可得，即，又，
解得，即，故错误；
对：若点M坐标为,则，则，
又过点，则直线的方程为，即，故正确.
12．C
【详解】
设,则,则 ,因为所以,, ,故选C.
13．BD
【详解】
对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质，
，所以A项不正确；
对于B项，，所以直线方程为，
即，所以B项正确；
对于C项，若直线方程为，点，
则，所以C项不正确；
对于D项，椭圆方程的通径长是最短的，最短为1，最长为长周长，
由于有斜率为且不经过原点，故等号取不到，所以D正确.
14．ABC
【详解】
A．因为，故正确；
B．因为，所以，
所以，
又因为，所以，故正确；
C．因为准线方程为，所以准线方程为，故正确；
D．的周长为：，故错误；
15．BD
【详解】
解：设直线方程为，则，
整理得，所以，
，，
所以
，
故A错误；
对于B，若点坐标为，直线方程为，即，
则，
整理得：，
所以，
，，所以，解得，所以直线方程为，故B正确；
对于C，若直线方程为，
则，整理得，，所以，，
所以中点坐标为，即为，故C错误；
对于D，若直线方程为，恒过，在椭圆内部，则直线方程为，则直线与椭圆相交．
16．10
【详解】
如图所示：
设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为F(－3，0)，
由圆锥曲线的统一定义得：＝e＝ ，即PF＝d，
所以PA＋d＝PA＋PF，
所以当P、F、A三点共线且P在线段AF上时，PA＋PF最小，最小值AF＝10．
故PA＋d的最小值为10．
17．或
【详解】
设直线的方程为，
联立，得，
即，
由，得，
设，，，
则，，
即，则直线OM的斜率为.
18．（1）；（2）=为定值.
【详解】
（1）由，
得，则由， 解得，
设椭圆的方程为， 则，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）当AB的斜率不存在时，，=，
当AB的斜率存在时，设AB的方程为，设，
由，可得，
，而椭圆C的离心率，
所以===，
综上可得：=为定值．
19．（1）；（2）证明见解析.
【详解】
（1）椭圆C：的离心率，
可得，，以及，
解得，，
所求椭圆C方程为．
（2）证明：设直线l：，，
设，
把直线代入 可得，
故，，
于是在OM的斜率为：，
即，
直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
20．(1)(2)
【解析】
(1)设椭圆C的右顶点是A'，连接PA'，
因为B，O分别是PA，AA'的中点，所以，
因为直线AP与BO的斜率之积为，所以.
设，则，
因为，，所以
，
所以，解得，
所以椭圆C的方程为.
(2)设，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，联立
整理得，
则，则，
，
则
.
又直线l为圆的切线，
则，即，
则，
又因为
于是；
当直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为，则，，
综上，圆锥曲线第二、三定义
【知识点讲解】
1、在椭圆E:+=1(a>b>0)中:
(1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l',有l∥l',设其斜率为k0,则k0·k=-.
(2)如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=-.
(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k0·k=-.
2、在双曲线E:-=1(a>0,b>0)中,类比上述结论有:
(1)k0·k=. (2)k1·k2=. (3)k0·k=.
在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线PA与PB的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB的斜率为定值.
图示 条件 结论
已知椭圆+=1(a>b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在椭圆上,设A,B是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0. 直线AB的斜率kAB为 定值 .
已知双曲线-=1(a,b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在双曲线上,设A,B是双曲线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0. 直线AB的斜率kAB为 定值- .
已知抛物线y2=2px(p>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0. 直线AB的斜率kAB为 定值-.
3、在抛物线：中的结论有.
4、长短弦公式
椭圆中：长弦,短弦
（其中是焦参数，即焦点到对应准线的距离，是直线与轴的夹角，而非倾斜角）.
双曲线也有类似结论.
5、圆锥曲线的第二定义
平面内一个动点M与一个定点F的距离与一条定直线l（点F不在直线l上）的距离比等于一个常数e。当0＜e＜1时，动点M的轨迹是椭圆；当e=1时，动点M的轨迹是抛物线；当e＞1时，动点M的轨迹是双曲线。
6、焦半径公式
（1）椭圆
已知为椭圆上一点，椭圆的左右焦点为：
焦半径：（为椭圆的离心率）；
（2）双曲线
已知为双曲线上一点，双曲线的左右焦点为：
PF2=ex0-a
（3）抛物线
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
α为弦AB的倾斜角|AF|＝，|BF|＝
(其中点A在x轴上侧，点B在x轴下侧) .
【典例讲解】
【例1】已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点的直线交于、两点， 若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
常规做法：
二级结论：
题后反思：
【跟踪训练1】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆上．
经过点M（1，）作一直线交椭圆于AB两点，若点M为线段AB的中点，求直线的斜率；
常规方法：
二级结论：
题后反思：
【对点训练】
一、单选题
1．直线过抛物线的焦点F且与抛物线交于A,B两点，则
A． B． C． D．
2．椭圆上一点与两焦点组成一个直角三角形，则点到轴的距离是
A． B． C． D．或
3．直线不经过坐标原点O，且与椭圆交于A、B两点，M是线段AB的中点．那么，直线AB与直线OM的斜率之积为
A． B．1 C． D．2
4．是椭圆上一动点，则点到椭圆左焦点的最远距离是（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，则此椭圆的离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆上一点到其左焦点的距离为，则点到右准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆C：（）的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B，若P为线段的中点，O为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线l和双曲线相交于A，B两点，线段AB的中点为M，设直线l的斜率为（），直线OM的斜率为（O为坐标原点），则（ ）
A． B． C． D．
9．已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点，若P为线段的中点，O为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．设椭圆的方程为1，直线AB不经过原点，而且与椭圆相交于A，B两点，M为AB的中点．若直线AB的斜率为1，则直线OM的斜率不可能是（ ）
A． B． C． D．﹣1
11．设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是（ ）
A．直线AB与OM垂直；
B．若直线方程为，则.
C．若直线方程为，则点M坐标为
D．若点M坐标为，则直线方程为；
12．已知椭圆的标准方程为，为椭圆的左右焦点，O为原点，P是椭圆在第一象限的点，则的取值范围（）
A． B． C． D．
二、多选题
13．设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，而且与椭圆相交于两点，为线段的中点，下列结论正确的是（ ）
A．直线与垂直
B．若点坐标为，则直线的方程为
C．若直线的方程为，则点坐标为
D．若直线过椭圆焦点，则
14．已知是椭圆上一点，、分别为的左、右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．准线方程为 D．周长为16
15．已设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，而且与椭圆相交于，两点，为线段的中点．下列结论正确的是（ ）．
A．直线与垂直
B．若点坐标为，则直线方程为
C．若直线方程为，则点坐标为
D．若直线方程为，则直线与椭圆相交
三、填空题
16．已知椭圆外一点A(5，6)，l为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到l的距离为d，则PA＋d的最小值为______
17．已知斜率为且不经过坐标原点O的直线与椭圆＝1相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则直线OM的斜率为 ________．
四、解答题
18．已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到点的最大距离为8.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线AB过点且与椭圆相交于点A、B，是否为定值，若是求出这个定值，若不是说明理由．
19．已知椭圆的离心率为，右顶点到右焦点的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l不经过原点O，且不平行于坐标轴，l 与C有两个交点A，B，线段AB 中点为M，证明：直线OM 的斜率与直线l的斜率乘积为定值．
20．已知椭圆的左顶点是A，右焦点是，过点F且斜率不为0的直线与C交于P，Q两点，B为线段AP的中点，O为坐标原点，直线AP与BO的斜率之积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l为圆的切线，且l与C相交于S，T两点，求的取值范围圆锥曲线第二、三定义（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
圆锥曲线第二、三定义
【知识点讲解】
1、在椭圆 E:
2 2
2+ 2=1(a>b>0)中:
(1)如图①所示,若直线 y=kx(k≠0)与椭圆 E交于 A,B 两点,过 A,B 两点作椭圆的切线 l,l',有
2
l∥l',设其斜率为 k0,则 k0·k=-

2
.
(2)如图②所示,若直线 y=kx 与椭圆 E 交于 A,B 两点,P 为椭圆上异于 A,B 的点,若直线 PA,PB
2
的斜率存在,且分别为 k1,k2,则 k1·k =-

2 . 2
(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且 m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦 AB的中点,设直线
2
PO 的斜率为 k0,则 k0·k=-

2
.
2 2
2、在双曲线 E: - 2 =1(a>0,b>0)中,类比上述结论有: 2
2 2 2
(1)k0·k= . (2)k ·k = . (3)k ·k= . 2 1 2 2 0 2
在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点 P(非顶点)与曲线上的两动点 A,B 满
足直线 PA 与 PB 的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线 AB 的斜率为定值.
图示 条件 结论
x2 y2
已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),定点 P(x0,ya b 0)(x0y0≠0) 直线 AB的斜率 kAB为
在椭圆上,设 A,B 是椭圆上的两个动点,直线 b2x
定值 0.
a2y0
PA,PB 的斜率分别为 kPA,kPB,且满足 kPA+kPB=0.
x2 y2
已知双曲线 - =1(a,b>0),定点 P(x ,y )(x y ≠
a2 b2 0 0 0 0 直线AB的斜率 kAB为
0)在双曲线上,设 A,B 是双曲线上的两个动点,直 b2x
定值- 0
a2
.
y0
线 PA,PB 的斜率分别为 kPA,kPB,且满足 kPA+kPB=0.
第 1 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination one-round sprint
圆锥曲线第二、三定义（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
已知抛物线 y2=2px(p>0),定点 P(x0,y0)(x0y0≠0) 直线 AB的斜率 kAB为
在抛物线上,设 A,B 是抛物线上的两个动点,直线 p
定值- .
y
PA,PB 的斜率分别为 k 0PA,kPB,且满足 kPA+kPB=0.
p
3、在抛物线C： y2 2px(p 0)中的结论有 k (y 0)y 0 .0
4、长短弦公式
ep ep
椭圆中：长弦 AF= ,短弦 BF=
1 ecos 1 ecos
（其中 p是焦参数，即焦点到对应准线的距离， 是直线 l与 x轴的夹角，而非倾斜角）.
双曲线也有类似结论.
5、圆锥曲线的第二定义
平面内一个动点 M与一个定点 F 的距离与一条定直线 l（点 F 不在直线 l 上）的距离比等
于一个常数 e。当 0＜e＜1 时，动点 M的轨迹是椭圆；当 e=1时，动点 M 的轨迹是抛物线；
当 e＞1时，动点 M 的轨迹是双曲线。
6、焦半径公式
（1）椭圆
2 2
已知P(x0 , y )
x y
0 为椭圆 2 2 1 a b 0 上一点，椭圆的左右焦点为 F1,F2：a b
焦半径： PF1 a ex0 ,PF2 a ex0 （ e为椭圆的离心率）；
（2）双曲线
x2 y2
已知P(x0 , y0 )为双曲线 2 2 1 a b 0 上一点，双曲线的左右焦点为 Fa b 1
,F2：
PF1 = ex0 + a PF2=ex0-a
（3）抛物线
设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
p p
α为弦 AB 的倾斜角|AF|＝ ，|BF|＝
1－cos α 1＋cos α
(其中点 A在 x轴上侧，点 B在 x轴下侧) .
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圆锥曲线第二、三定义（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
【典例讲解】
x2 y2
【例 1】已知椭圆 E : 1 a b 0 的右焦点 F 与抛物线 y2 12x2 2 的焦点重合，过点 F 的直线交 E于A、a b
B两点， 若 AB的中点坐标为 1, 1 ，则 E的方程为（ ）
x2 y2 x2 y2 x2 y2 2 2A． 1 B． 1 C． 1 D x y． 1
45 36 36 27 27 18 18 9
常规做法： 二级结论：
题后反思：
【跟踪训练 1】已知椭圆 C 3的中心在原点，焦点在 x轴上，长轴长为 4，且点 (1, )在椭圆上．
2
经过点 M 1（1， 2 ）作一直线 l1交椭圆于 AB两点，若点 M为线段 AB的中点，求直线 l1的斜率；
常规方法： 二级结论：
题后反思：
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圆锥曲线第二、三定义（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
【对点训练】
一、单选题
2 | AF | | BF |1．直线 过抛物线 y ax(a 0)的焦点 F 且与抛物线交于 A,B 两点，则 | AF | | BF |
a a
A． B． C． 2a D．4a
2 4
2 2
2 x y．椭圆 1上一点 P与两焦点 F1,F2组成一个直角三角形，则点 P到 x轴的距离是25 9
16 9
A B C 9
9
． ． ． 5 D
9
5 ．4 5或 4
3．直线 不经过坐标原点 O，且与椭圆 交于 A、B两点，M是线段 AB 的中点．那么，
直线 AB 与直线 OM 的斜率之积为
A． B．1 C． D．2
2 2
4 x y． P是椭圆 1上一动点，则点 P到椭圆左焦点的最远距离是（ ）
9 5
A． 4 B．5 C．6 D．1
5 x
2 y2
．已知椭圆 2 2 1 a b 0 的左、右焦点分别为F1、F2，点 P在椭圆上，且 PF1 4 PFa b 2 ，则
此椭圆的离心率 e的最小值为（ ）
3 4 1 3
A． B． C D5 5 ． ．4 4
x2 y26．已知椭圆 1上一点 P到其左焦点的距离为6，则点 P到右准线的距离为（ ）
16 12
A． 4 B．6 C．8 D．12
x27 y
2
．已知椭圆 C： 2 2 1（a b 0）的左焦点为 F，过点 F的直线 x y 3 0与椭圆 C相a b
1
交于不同的两点 A，B，若 P为线段 AB的中点，O为坐标原点，直线OP的斜率为 2，则椭圆
C的方程为（ ）
x2 y2 x2 x2 y2 x2A y
2
． 1 B． y2 1 C． 1 D． 1
3 2 4 4 2 6 3
x28．已知直线 l 和双曲线 y2 1相交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，设直线 l 的斜率为 k
3 1
（ k1 0），直线 OM 的斜率为 k2（O 为坐标原点），则 k1k2 （ ）
A 2
1 1 2
． B3 ．
C D
3 ． 3 ． 3
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9 x
2 y2
．已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)的左焦点为 F，过点 F的直线 x y 3 0与椭圆 C相交于不a b
1
同的两点 A、B，若 P为线段 AB的中点，O为坐标原点，直线OP的斜率为 2，则椭圆 C的方
程为（ ）
A x
2 y2 21 B x y
2 x2 y2 x2 2
． ． 1 C y． 1 D． 1
3 2 4 3 5 2 6 3
2 2
10 x y．设椭圆的方程为 2 2 1，直线 AB不经过原点，而且与椭圆相交于 A，B两点，M为a b
AB的中点．若直线 AB的斜率为 1，则直线 OM的斜率不可能是（ ）
4 9 1A． B． C． D．﹣13 16 4
x2 y211．设椭圆的方程为 12 4 ，斜率为 k的直线不经过原点 O，而且与椭圆相交于 A，B两点，
M为线段 AB的中点，下列结论正确的是（ ）
A．直线 AB与 OM垂直；
4
B．若直线方程为 y 2x 2，则 AB 2 .3
1 4C ．若直线方程为 y x 1，则点 M坐标为 ，3 3
D．若点 M坐标为 1,1 ，则直线方程为 2x y 3 0；
12 x
2 y2
．已知椭圆的标准方程为 1，F ,F 为椭圆的左右焦点，O 为原点，P 是椭圆在第一象
4 3 1 2
PF1 PF2
限的点，则 PO 的取值范围（）
A
1
． 0, B． 0,
3
C． 0,1 D． 0,
2 3
2 3 3
二、多选题
13 x
2
．设椭圆的方程为 y2 1，斜率为 k的直线 l不经过原点O，而且与椭圆相交于 A,B两点，
4
M 为线段 AB的中点，下列结论正确的是（ ）
A．直线 AB与OM 垂直
B．若点M 坐标为 1, 1 ，则直线 l的方程为 x 4 y 5 0
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3
C．若直线 l的方程为 y x 1

，则点M 坐标为 3,


4
D．若直线 l过椭圆焦点，则1 AB 4
2 2
14．已知P(x x y0 , y0 )是椭圆C : 1上一点，F1、 F2分别为C的左、右焦点，则下列结论正确16 7
的是（ ）
A． PF1 PF2 8 B． PF1 ex0 a [1,7]
x 16C．准线方程为 D．△PF3 1
F2周长为 16
x2 215 y．已设椭圆的方程为 1，斜率为 k2 4 的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A， B两
点，M 为线段 AB的中点．下列结论正确的是（ ）．
A．直线 AB与OM 垂直
B．若点M 坐标为 (1,1)，则直线方程为 2x y 3 0
1 4
C ．若直线方程为 y x 1，则点M 坐标为 ,
3 3
D．若直线方程为 y k(x 1)，则直线与椭圆相交
三、填空题
x216 y
2
．已知椭圆 1外一点 A(5，6)25 16 ，l为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点 P到 l的距离
3
为 d，则 PA＋ 5 d的最小值为______
1 2 2
17 x y．已知斜率为 3且不经过坐标原点 O的直线与椭圆 + ＝1 相交于 A，B两点，M为线9 7
段 AB的中点，则直线 OM的斜率为 ________．
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四、解答题
18．已知直线 1 4k x 2 3k y 3 12k 0 k R 所经过的定点 F恰好是椭圆C的一个焦点，
且椭圆C上的点到点 F的最大距离为 8.
（1）求椭圆C的标准方程；
1 1
（2）设直线 AB过点 F且与椭圆C相交于点 A、B， FA FB 是否为定值，若是求出这个定值，
若不是说明理由．
2 2
19 x y 2．已知椭圆C：2 2 1 a b 0 的离心率为 ，右顶点到右焦点的距离为 2 2 2．a b 2
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）直线 l 不经过原点 O，且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 中点为 M，
证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值．
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2 2
20．已知椭圆C : x y2 2 1(a b 0)的左顶点是 A，右焦点是 F( 2,0)，过点 F且斜率不为 0 的a b
直线与 C交于 P，Q两点，B为线段 AP的中点，O为坐标原点，直线 AP与 BO的斜率之积为
1
.
2
(1)求椭圆 C的方程；
2 2
(2)设直线 l为圆 x y 1的切线，且 l与 C相交于 S，T两点，求OS OT的取值范围
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