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高考一轮复习——单调性的几个等价命题
【方法点拨】
1. 函数 f(x)为定义域在D上的增函数 对任意 x1, x2 D，当 x1 x2时,都有
f (x1) f (x2 ) 0；
x1 x2
2. 对任意 x1, x2 D，当 x1 x2时,都有
f (x1) f (x2 ) k f (x 1) kx1 f (x2 ) kx2 0 函数 f(x)－kx为D上的增
x1 x2 x1 x2
函数
说明：含有地位同等的两个变量 x1 , x 2 或 , 等不等式，进行“尘归尘，土归土”式的整理，
是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需
要预先设定两个变量的大小）.
【典型题示例】
例 1 （2022·江苏南通海安 12月考·8）已知 f(x)＝x2＋2ax－1，对任意 x1、x2∈[1，＋∞)
且 x1＜x2，恒有 x2f(x1)－x1f(x2)＜a(x1－x2)成立，则实数 a的取值范围是（ ）
A. (－∞，2] B. (－∞，3] C. (－∞，7] D. (0，7]
2 2
【答案】A
【分析】由已知条件可得函数 ( ) = ( )+ 在[1, + ∞)上单调递增，所以 '( ) = 1 + 12
2
2 =
+1
2 ≥ 0在[1, + ∞)上恒成立，从而可得 ≤
2 + 1在[1, +∞)上恒成立，进而可求
得答案
【解析】由 ， , ∈ ∞ ，得 2 ( 1) 1 ( 2)2 ( 1) 1 ( 2) < ( 1 2) 1 2 [1, + ) < 1 2
( 1 2)，
1 2
所以 ( 1)+ < ( 2) + ，
1 1 2 2
因为 1, 2 ∈ [1, + ∞)且 1 < 2，
所以函数 ( ) = ( ) + 在[1, +∞)上单调递增，即 ( ) = + 2 1 + 在[1, + ∞)上单调

递增，
5
1 2所以 '( ) = 1 + = +1 2 2 2 ≥ 0在[1, + ∞)上恒成立，
所以 2 + 1 ≥ 0在[1, +∞)上恒成立，即 ≤ 2 + 1在[1, + ∞)上恒成立，
所以 ≤ 2，
所以实数 a的取值范围是( ∞, 2]，
故选：A
例 2 已知函数 f x a ln x 1 x2，在其图象上任取两个不同的点 P x1, y 、2 1
f x f x
Q x 1 22 , y2 x1 x2 ，总能使得 2，则实数 a的取值范围为（ ）x1 x2
A． 1, B． 1, C． 1,2 D． 1,2
【答案】B
f x f x
【分析】根据 1 2 2结合 x1 x2 0，可得出 f x1 2x f xx x 1 2 2x2，可1 2
知函数 g x f x 2x在 0, 上为增函数，可得出 g x 0，结合参变量分离法可
求得实数 a的取值范围.
f x f x
【解析】由 1 2 2以及 x1 x2 0， f x1 f x2 2xx x 1
2x2 ，
1 2
所以， f x1 2x1 f x2 2x2，
构造函数 g x 1 f x 2x a ln x x2 2x，则 g x1 g x2 ，2
所以，函数 g x 在 0, 上为增函数，
g x a由于 x 2，则 g x 0对任意的 x 0, 恒成立，
x
由 g x a x 2 0，可得 a x2 2x，
x
当 x 0时，则 y x2 2x x 1 2 1 1，当且仅当 x 1时，等号成立，
所以， a 1，因此实数 a的取值范围是 1, .
故选：B.
5
例 3 已知函数 f(x)的定义域为 R，图象恒过(0,1)点，对任意 x1, x2 R，当 x1 x2 时,都
f (x1) f (x有 2 ) 1，则不等式 f [ln(e x 1)] 1 ln(e x 1) )的解集为( )
x1 x2
A.(In2, +∞) B.(-∞,ln2) C.(In 2,1) D.(0, ln 2)
【答案】D
f (x ) f (x )
【分析】移项通分，按结构相同、同一变量分成一组的原则，将 1 2 1x x 化为1 2
f (x1) x1 f (x2 ) x2 0
x1 x2
令 F (x) f (x) x，
故 F (x)在 R上单增，且 F (0) f (0) 0 1
f [ln(e x 1)] 1 ln(e x 1)可化为 f [ln(e x 1)] ln(e x 1) 1
即 F[ln(ex 1)] F (0)，所以 ln(ex 1) 0，0 ex 1 1，解之得1 x ln 2
所以不等式 f [ln(e x 1)] 1 ln(e x 1) )的解集为(0, ln 2).
点评：
1. f(x)在D单增（减） 对任意 x1, x2 D，当 x1 x
f (x1) f (x2 )
2 时，都有 0( 0) ；x1 x2
f (x ) f (x )
2. 结 构 联 想 ， 当 题 目 中 出 现 1 2 a ， 应 移 项 通 分 转 化 为
x1 x2
f (x1) ax1 f (x2 ) ax2 0，即 F(x)=f(x)－ax在D单增.
x1 x2
例 4 已知函数 f (x) ln x x2 3x，对于任意 x1, x2 [1,10]，当 x1 x2时，不等式
m x x
f (x 1) f (x2 ) 1 2 恒成立，则实数m的取值范围是________.x1x2
【答案】 ( , 1710]
【分析】同构后不等式两边具有结构的一致性，构造新函数，直接转化为函数的单调性.
m x x m m
【解析】不等式 f x1 f x2 2 1 可变形为 f x f x ，x1x 1 22 x1 x2
5
f x m m即 1 f x2 ，当 x1, x2 [1,10] x xx x ，且 1 2恒成立，1 2
y f (x) m所以函数 在 [1,10]上单调递减.
x
m m
令h(x) f (x) ln x x2 3x , x [1,10]
x x
1 m
则 h (x) 2x 3 2 0在 x [1,10]上恒成立，x x
即m 2x3 3x2 x在 x [1,10]上恒成立.
2
设F(x) 2x3 3x2 x F (x) 1 1，则 6x2 6x 1 6 x .
2 2
因为当 x [1,10]时， F (x) 0，
所以函数 F(x)在 [1,10]上单调递减，
所以 F (x)min F (10) 2 10
3 3 102 10 1710，
所以m 1710，
即实数m的取值范围为 ( , 1710] .
例 5 已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数 x1 ， x2 ，都有
1
x f x x f x f 0.23 f sin1 f ln 3 2 1 1 2 0，记a 3 ，b ，c ，则 a，b ，cx2 x1 0.2 sin1 ln 3
的大小关系为
A. a b c B.b a c C. c a b D. c b a
【答案】D
f xg(x) 【解析】构造函数 ，则因为 f x 是定义在R 上的奇函数，故 g(x)为定义域
x
是 x | x 0 的偶函数
x2 f x x f x 又对任意两个不相等的正数 x , x 都有 1 1 21 2 0，即x2 x1
5
f x1 f x 2
x1 x2 g x1 g x2 ，故 g(x)在 0, 上为减函数. 0 0
x1 x2 x1 x2
综上, g(x)为偶函数,且在 ,0 上单调递增,在 0, 上单调递减.
f 0.23 f sin1 又 a g(0.23)，b g (sin1)，
0.23 sin1
f ln 1
c 3

f ln 3 f ln 3 ，且
3
g ln 3 0 0.2 sin1 ln 3
ln 3 ln 3 ln 3
所以 g(0.23) g(sin1) g (ln 3)，即 a b c ,故答案为：D.
【巩固训练】
log x,0 x 1 f x f x
1. 已知函数 f (x) a 满足对任意 x x 1 2(4a 1)x 2a, x 1 1 2
，都有 0成
x1 x2
5
立，则实数 a的取值范围是（ ）
0 1 0 1 1， ， A． B． C．6 6
0， D． 1，
4
x f x f x
2.已知函数 f (x) e ax 2, x (0, )，当 x 1 22 x1时，不等式 0恒成立，x x2 x1
则实数 a的取值范围为（ ）
e2 , , e
2 e e
A． B．

C． , D．12 12 2
,
2
3. x x (m ) x x2－x1
注：(e为自然对数的底数，即 e＝2.718 28…)
A.1 B．e C．1 D.3
e e
4.已知函数 f x x asin x ，对任意的 x1 ， x2 , ，且 x1 x2 ，不等式
f x1 f x2 a恒成立，则实数 a的取值范围是（ ）
x1 x2
1 1 1 1
A．a B．a C． a D． a
2 2 2 2
5.已知 f (x)是定义在 1,1 上的奇函数，且 f ( 1) 1，当 a,b 1,1 ，且a b 0时，
(a b)( f (a) f (b)) 0成立，若 f x m2 2tm 1对任意的 t 1,1 恒成立，则实
数 m的取值范围是（ ）
A． ( , 2) 0 (2, ) B． ( , 2) (2, )
C． ( 2，2) D． ( 2，0) (0，2)
6.设函数 f x 是定义在R 上的奇函数， f 2 0，若对任意两个不相等的正数 x1, x2都有
x2 f x1 x1 f x2 0 f x ，则不等式 0的解集为______.
x1 x2 x
1 f (x ) f (x )
7.已知 f (x) alnx x2 x，若对任意两个不等的正实数 x ， x ，都有 1 2 1恒
2 1 2 x 2 x 21 2
成立，则 a的取值范围是 ．
5
2 n
8.已知大于 1的正数 a，b ln b b满足 2a

e
，则正整数n的最大值为（ ）
a
A．7 B．8 C．9 D．11
5
【答案与提示】
1. 【答案】B
f
x x x1 f x2 【解析】因为函数对任意 1 2，都有 0成立，所以函数在定义域内单x1 x2
0 a 1
1
调递减，所以 4a 1 0 ， 0 a .故选 B.

loga1
6
4a 1 1 2a
2. 【答案】A
f x1 f x【分析】令 g x xf x ，由 2 0可知 g x 在 0, 上单调递增，从而
x2 x1
g x ex 3ax2 0 0, 3a e
x
可得 在 上恒成立；通过分离变量可得 ，令
x2
x 2 2
h x e e e 2 x 0 ，利用导数可求得 h x h 2 ，从而可得3a ，解不等式x min 4 4
求得结果.
f x
【解析】由 1
f x
2 0且 x2 x1 0得： x1 f xx x 1 x2 f x2 2 1
令 g x xf x ex ax3，可知 g x 在 0, 上单调递增
x
g x ex 3ax2 0在 0, 3a e上恒成立，即：
x2
x x
e e x 2h x x 0 h x 令 ，则
x2

x3
x 0,2 时，h x 0，h x 单调递减； x 2, 时，h x 0，h x 单调递增
e2 e2 e2
h x h 2 3a ，解得： a ,min 4 4 12
本题正确选项： A
点评：
本题考查根据函数的单调性求解参数范围的问题，关键是能够将已知关系式变形为符合
单调性的形式，从而通过构造函数将问题转化为导数大于等于零恒成立的问题；解决恒成立
5
问题常用的方法为分离变量，将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系比较的问题，属
于常考题型.
3.【答案】 C
【解析】 由题意，当 0≤mx1ln x2－x2ln x1
由 <1，等价于 x1ln x2－x2ln x1x2－x1
ln x ＋1 ln x ＋1
故 x1(ln x2＋1)2 < 11＋ ，故 ，
x2 x1
ln x＋1
令 f(x)＝ ，则 f(x2)x
又∵x2>x1>m≥0，
故 f(x)在(m，＋∞)上单调递减，
－ln x
又由 f′(x)＝ ，令 f′(x)<0，解得 x>1，
x2
故 f(x)在(1，＋∞)上单调递减，故 m≥1.
4. 【答案】B
f x f x
【 解 析 】 因 为 x1 x x x
1 2
2 ， 不 妨 设 1 2 ， 则 a 可 化 为x1 x2
f x1 f x2 a(x1 x2 )，即 f x1 ax1 f x2 ax2
设 F(x) f x ax
f x
则 1
f x2 a恒成立，即 f x1 ax1 f x2 ax2 对任意的 x1，x2 , 且x1 x2
x1 x2时恒成立，即 F(x1) F(x2)对任意的 x1， x2 , 且 x1 x2时恒成立
所以 F(x) f x ax在 R上单增
故 F x x a sin x ax 1 a cos x a 0在 R上恒成立
a 1 1 1所以 ，故 a
1 cos x

1 cos x min 2
所以实数 a a 1的取值范围是 ， 选 B．
2
5
5. 【答案】B
【解析】令 a x1,b x2，则 x1, x2 1,1 ， (x1 x2 )( f (x1) f (x2 )) 0成立，
则 f x 为单调增函数，
若 f x m2 2tm 1对任意的 t 1,1 恒成立，则 f x m2 2tm 1max ，
即 f 1 m2 2tm 1，即 t 1,1 都有m2 2tm 0，
令 g (t) m2 2tm 0，则 g(t)min 0，
g(1) 0
∴ ，∴m ( , 2) (2, )，故选 B
g( 1) 0
6.【答案】 , 2 2,
f x
【解析】构造函数 g(x) ,则因为 f x 是定义在R 上的奇函数,故 g(x)为定义域是
x
x f x x f xx | x 0 的偶函数,又对任意两个不相等的正数 x1, x2都有 2 1 1 2 0 ,即x1 x2
f x1 f x 2
x1 x2 g x g x 故 g(x)在 0, 上为减函数又 f 20 1 2 0 , . 0 ,
x1 x2 x1 x2
f 2
故 g( 2) 0 .
2
综上, g(x)为偶函数,且在 ,0 上单调递增,在 0, 上单调递减.
g 2 g 2 0 f x 且 .故 0即 g x g 2 .
x
根据函数性质解得 x , 2 2, ，故答案为： , 2 2, .
1
7.【答案】 ( ， ]
4
【解析】设 x1 x2 ，则 f (x1) f (x2 ) x
2
1 x
2
2 ，
f (x 21) x1 f (x2 ) x
2
2 ，
令 g(x) f (x) x2 alnx 1 x2 x，
2
5
g(x1) g(x2 )，
g(x) 在 (0, )上单调递减，
g a (x) x 1 0，
x
1 1
a x2 x (x )2 ，
2 4
x 1 1 时， (x2 x)
4 min
，
4
a 1 ．
4
a 1的取值范围是 ( ， ]．
4
1
故答案为： ( ， ]．
4
8.【答案】C
ln2 b bn ln2 b e2a ln2 x e2x
【分析】 等价于 ，令2a n n n f x ，n g x ，分别求 f x ，e a b a x xn
2
2

g x 的导数，判断函数的单调性，可求得 f x 有最大值 2 gf en n ， x 有最小 e2
2
g n e
n 2
n
值

2 n
e
n n ，根据题意，即求 f x g x max min，代入为 2 n ，等价于
e n2
2
n 2 n
ln ，令 x x 2 ln x ，即求 x 0的最大的正整数.对 x 求导求单调
n 2 2 x 2 2
性，可知 x 单调递减，代入数值计算即可求出结果.
ln2 b bn ln2 b e2a
【解析】由题干条件可知： 等价于 ，
e2a an bn

an
ln2 x xn 1f x x 1 f ' x ln x(2 n ln x) ln x(2 n ln x)令 ， ，则
xn x2n

xn 1
f ' x 0 2， x e n ，
2 2
当 f ' x 0时， x 1,e n ，当 f ' x 0时， x en ,

5
2 2
所以 f x 在 1,en 上单调递增，在 en , 上单调递减，则 f x 有最大值

2
2

2
f en
n .
2
e
2x 2x
令 g x e ， x 1 e 2x n，则 g ' x n n ，当 1时，此题无解，所以 1，
xn x2n 2 2
则 g ' x 0, x n n n ，当 g ' x 0, x ，当 g ' x 0,1 x ，
2 2 2
所以 g x n n 在 1, 上单调递减，在 , 上单调递增，则 g x 有最小值
2 2
n
g n e
2 n n .

2
2
2
ln2 b e2a 2 f en g n
n en n n 2
若 成立，只需 ，即 ，即 n 2
，
bn an 2 e
2 n e
n 2

2
两边取对数可得： n 2 (n 2) ln n . n 2时，等式成立，当 n 3 n 2 时，有 ln n，
2 n 2 2
令 x x 2 ln x，本题即求 x 0的最大的正整数.
x 2 2
' x 4 1 0恒成立，则 x 在 3, 上单调递减，
(x 2)2 x
8 5 ln 4 0 9 11 9 ， ln 1.5714 1.51 0， 10 3 ln 5 0，
3 7 2 2
所以 x 0的最大正整数为 9.
故选：C.
点评:
本题考查构造函数法解决恒成立问题，双变元的恒成立问题，经常采用构造成两个函数，转
化为 f x1 g x2 ，只需 f x1 gmax x2 min .
5
5

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