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高考数学专题训练——函数的奇偶性与单调性
【方法点拨】
1. 若函数 f(x)为偶函数，则 f(x)＝f(|x|)，其作用是将“变量化正”，从而避免分类讨论．
2. 以具体的函数为依托，而将奇偶性、单调性内隐于函数解析式去求解参数的取值范围，
是函数的奇偶性、单调性的综合题的一种重要命题方式，考查学生运用知识解决问
题的能力，综合性强，体现能力立意，具有一定难度.
【典型题示例】
a
例 1 （2022·江苏新高考基地高三第一次联考·19改编）已知函数f(x)＝1－ 为奇函
5x＋1
数，且存在 m∈[－1，1]，使得不等式f(x2)＋f(mx－2)≤2－x2－mx成立，则 x的取值范围
是 ．
【答案】[－2,2]
【解析】求得 a=2，且 f(x)为 R上的增函数，
f(x2)＋f(mx－2)≤2－x2－mx可化为 f(x2)＋x2≤2－mx－f(mx－2)
由 f(x)为奇函数，得 2－mx－f(mx－2)= 2－mx＋f(2－mx)
令 F(x)=f(x)＋x，则 F(x2)≤F(2－mx)，故有 x2≤2－mx，即 x2＋mx－2≤0
令 G(x)= x2＋mx－2
因为存在 m∈[－1，1]，使 G(x)= x2＋mx－2≤0
故 G(－1)= x2－x－2≤0或 G(1)= x2＋x－2≤0
解之得－2≤x≤2.
例 2 已知函数 f(x)＝x3－2x＋ex－1，其中 e是自然对数的底数，在 f(a－1)＋f(2a2)≤0，则
ex
实数 a的取值范围是________.
【答案】[ 1, 1]
2
【分析】直接发现函数的单调性、奇偶性，将 f (a 1) f (2a2 )≤0移项，运用奇偶性再将
负号移入函数内，逆用单调性脱“f”．
【解析】 ∵f(－x)＝(－x)3＋2x＋e－x－ex＝－f(x)且 x∈R，
∴f(x)是奇函数
∵函数 f(x)＝x3－2x＋ex－1，
ex
∴f′(x)＝3x2－2＋ex＋1≥3x2－2＋2 ex·1≥0(当且仅当 x＝0时取等号)，
ex ex
∴f(x)在 R 上单调递增.，
由 f(a－1)＋f(2a2)≤0，得 f(2a2)≤f(1－a).
所以 2a2≤1－a，解之得－1≤a≤1.
2
－1，1
所以实数 a的取值范围是 2 .
例 3 已知函数 f x ex e x +1（ e 为自然对数的底数），若 f (2x 1) f (4 x2 ) 2，
则实数 x 的取值范围为 ．
【答案】 1,3
【分析】本题是例 2的进一步的延拓，其要点是需对已知函数适当变形，构造出一个具有奇
偶性、单调性的函数,其思维能力要求的更高，难度更大.
【解析】令 F (x) f (x) 1 e x e x，易知 F (x)是奇函数且在R 上单调递增
由 f (2x 1) f (4 x2 ) 2得 f (4 x2 ) 1 1 f (2x 1) f (2x 1) 1
即 F(4 x2 ) F(2x 1)
由 F (x)是奇函数得 F(2x 1)=F(1 2x)，故 F(4 x2 ) F(1 2x)
由 F (x)在R 上单调递增，得 4 x2 1 2x，即 x2 2x 3 0，解得 1 x 3，
故实数 x的取值范围为 1,3 .
2
例 4 已知函数 f x x2 2x 1．若存在m 1, 4 x 使得不等式3 1
f 4 ma f m2 3m 2成立，则实数 a的取值范围是________．
【答案】 ,8
【分析】令 F (x) f (x) 1，判断函数 F (x)的奇偶性与单调性，从而将不等式转化为
m2
4 4
3m ma 4，分离参数可得 a m 3，令 g(m) m 3，m (1,4)，利用对勾函数
m m
的单调性可得 g(m) 8，结合题意即可求解 a的取值范围．
2
【解析】∵函数 f (x) f (x) x 2 2x 2
3x
1，若存在m (1,4)使得不等式 f (4 ma) f (m 3m) 2
1
成立，
2
令 F(x) f (x) 1 x2 2x x
2 x2 (3 x 1) x2 (1 3x )
xx x (3 1)， F ( x) F (x) ，3 1 3 1 3 x 1 1 3x
所以， F (x)为奇函数．
不等式 f (4 ma) f (m 2 3m) 2 ，即 f (4 ma) 1 f (m2 3m) 1 0，
即 F (4 ma) F (m 2 3m) 0 ，
所以 F (m2 3m) F (4 ma) F (ma 4) ，
因为 y x2 0在 (0, )上为增函数， y 1 2 x 0在 (0, )上为增函数，3 1
所以 F(x)
2
x2 (1 x )在 (0, )上为增函数，3 1
由奇函数的性质可得 F (x)在R上为增函数，所以不等式等价于m2 3m ma 4，分离参数可
得 a m
4
3，
m
令 g(m)
4
m 3，m (1,4)，
m
由对勾函数的性质可知 g(m)在 (1, 2)上单调递减，在 (2,4)上单调递增，
g（1） 8， g（4） 8，所以， g(m) 8，
所以由题意可得 a 8，
即实数 a的取值范围是 ( ,8)．
故答案为： ( ,8)．
21 x , x 1
例 5 已知函数 f (x) f (2x 2) f x2 x 2 x
2x 1
，若 ，则实数 的取值范围
, x 1
是（ ）
A．[ 2, 1] B．[1, )
C．R D． ( , 2] [1, )
【答案】D
21 x , x 1
f (x) 2 x 1【解析】函数 ，故 f (x)x 1 关于直线 x 1对称，且在[1， )上单
2 , x 1
减，函数 f (x)的图象如下：
∵ f (2x 2) f (x2 x 2)，且 x2
1 7
x 2 (x )2 1恒成立，
2 4
| 2x 2 1| x2 x 2 1，即 | 2x 3 | x2 x 1，
x 3 3当 时，不等式化为： 2x 3 x2 x 1，即 x2 3x 4 0，解得 x R ，即 x ；
2 2
当 x 3 时，不等式化为： 3 2x x2 x 1，即 x2 x 2 0，解得 x 2或 x 1，即
2
x 2或1 x 3 ；
2
综上， f (2x 2) f (x2 x 2)时，实数 x的取值范围是 ( ， 2] [1， )．
故选：D．
x x
例 6 已知函数 f (x) 3 3 ， f (1 2log3 t) f (3log3 t 1) log1 t ，则 t的取值范
3
围是 ．
【答案】[1, )
【分析】将已知 f (1 2log3 t) f (3log3 t 1) log1 t 按照“左右形式相当，一边一个变
3
量”的原则，移项变形为 f (3log3 t 1) log 1 t f (1 2log t) ，易知 f (x) 3
x 3 x
3
3
是奇函数，故进一步变为 f (3log3 t 1) (3log3 t 1) f (2 log3 t 1) (2 log3 t 1)
（#），故下一步需构造函数 F (x) f (x) x，转化为研究 F (x) f (x) x的单调性，
而 F (x) f (x) x单增，故（#）可化为 log3 t 0，即3log3 t 1 2log3 t 1，解之
得 t 1.
4
例 7 (2022·江苏南通期末·8)已知函数 f x x x ，a f log3 2 ，2 2
b f log4 3 ， c f
4
,则（ ）
3
A. a b c B. b c a
C. c a b D. c b a
【答案】B
【分析】分析可知函数 f x 在 1, 上为增函数，推导出函数 f x 的图象关于直线 x 1
对称，则函数 f x 在 ,1 上为减函数，可得出 c f 2 ，利用函数 f x 在 ,1 上
3
的单调性可得出 a、b、 c的大小关系.
【解析】令 g x x 4 x ，其中 x R ，则 g 1 0，2 2
4
因为函数 y x、 y x 均为R 上的增函数，故函数 g x 也为R 上的增函数，2 2
当 x 1时， g x g 1 0 f x x 4 x 4 ，此时 ，
2x 2 2x 2
故函数 f x 在 1, 上为增函数，
2 22 x 2 4 3 x
因为 f 2 4 2 x 2 x 2 x 2 x x 2 x x2 2 2 2 2 2
2x 23 x 4
x x x x
4
f x
2x 22 x 2 2 2 2x 2
故函数 f x 的图象关于直线 x 1对称，则函数 f x 在 ,1 上为减函数，
c f 4 f 2所以， 3
，
3
lg 2 2
∵23 32，则3lg 2 2lg3，即 log3 2 ，lg3 3
lg3 2 2
∵42 33，则 2lg 4 3lg3，则 log4 3 ，即 log3 2 log4 3 1，lg 4 3 3
因此，b c a .
故选：B.
【巩固训练】
1．若函数 为偶函数，则实数 =
2.设函数 f x ln 1 x 1 2 ，则使得 f x f 1 成立的 x的取值范围是（ ）．1 x
A． 1, B． , 1 U 1,
C． 1,1 D． 1,0 U 0,1
3.已知函数 f (x) 1 x 2
x，则满足 f (x2 5x) f (6) 0的实数 x的取值范围是 ．
2
2
4. 已知函数 f (x) x | x | 3x 1 ，若 f (a) f a 2 2 ，则实数 a 的取值范围
__________.
x2 2x, x 0
5.已知函数 f (x) 2 ，若 f 2 a2 f a ，则实数 a的取值范围是
2x x , x 0
__________.
1
6.已知函数 g x ex e x ，f x xg x ，若 a f ln
1
，b f 0.2 4
1.2
，c f 5 ，
3
则 a、b、 c 的大小关系为（ ）
A．b a c B．c b a C．b c a D．a b c
1 2
7. （多选题）关于函数 f (x)
x
1 x 下列结论正确的是（ ） e 1
A．图像关于 y轴对称 B．图像关于原点对称
C．在 ,0 上单调递增 D． f x 恒大于 0
8.已知函数 f x 2020 x log 22020 x 1 x 2020 x 1，则关于 x的不等式
f 2x 1 f x 1 2 0的解集为（ ）.
1
A． ,

B． 2020,
2020
2 , 2 , C． D．3 3
2
9. 2x已知函数 f (x) x2 1 .若存在 m∈(1,4)使得不等式
3x 1
f (4 ma) f (m2 3m) 2成立，则实数 a的取值范围是
A. ,7 B. ,7 C. ,8 D. ,8
10. 已知函数 f x ex e x 2sin x，则关于 x的不等式 f x2 3 f 2x 0的解集为
（ ）
A. 3,1 B. 1,3 C. , 3 1, D. 1,3
2
已知 f x ex x 11. e sin x x，若 f (a 2ln( x 1)) f x 0恒成立，则实数 a
2
的取值范围___．
2
12.已知 f x ex e x sin x x，若 f (a 2ln( x 1)) f
x
0恒成立，则实数 a的取值
2
范围_ __．
1
13. 已知函数 f x ex e xx ，若不等式 f ax2 f 1 2ax 1对 x R恒成立，则实2 1
数 a的取值范围是（ ）
A． 0,e B． 0,e C． 0,1 D． 0,1
14.已知函数 f x 2 x+1 sin x ln x2 1 x ，若不等式 f 3x 9x f m 3x 3 4 对
任意 x R 均成立，则m的取值范围为（ ）
A． , 2 3 1 B． , 2 3 1 C． 2 3 1,2 3 1 D． 2 3 1,
【答案或提示】
1．【答案】1
【解析】 奇函数， ， .
2. 【答案】B
【解析】f x 偶函数，且在 (0, )单增，f x f 1 转化为 x 1，解得 x 1或 x 1.
3.【答案】（2,3）
【解析】 f x 奇函数，且单减， f (x2 5x) f (6) 0转化为 x2 5x 6 0，解得
2 x 3 .
4. 【答案】 ( 2,1)
【解析】设 g(x) x | x | 3x，则 g(x)奇函数，且单增，而 f (x) g(x) 1，由
f (a) f a2 2 2得 f a2 2 1 1 f (a)即 g a2 2 g(a) g( a)，故
a2 2 a，解之得 2 a 1.
5.【答案】 ( 2,1)
【解析】Q y x2 2x在[0, )上单调递增， y 2x x2在 ( ,0)上单调递增，且
02+2 0=2 0 02， f (x)在 R上单调递增，
因此由 f 2 a2 f a 得 2 a2 a， 2 a 1，故答案为： 2,1
6. 【答案】A
【解析】∵ f x xg x x e x e x ，该函数的定义域为R，
f x x e x e x x e x e x ，所以，函数 y f x 为偶函数，
当 x 0时， g x ex e x 0，
任取 x1 x2 0， x1 x2，则 ex1 ex2 ， e x1 e x2 ，
所以， ex1 e x1 ex2 e x2 ，
g x1 g x2 0， x1g x1 x2g x2 ，即 f x1 f x2 ，
所以，函数 y f x 在 0, 上单调递增， a f 1 1 ln f ln f ln 3 ，
3 3
1 1 4 1.2
∵0 0.24 0.20 1 ln3 5 51.2，则 f 0.2 f ln 3 f 5 ，
即b a c .故选：A.
7. 【答案】ACD
8. 【答案】C
【解析】构造函数 F x f x 1 2020 x log 2 x2020 x 1 x 2020 ，
由于 x2 1 x2 x ，所以 x2 1 x 0，所以 F x 的定义域为R.
F x 2020 x log 2 x2020 x 1 x 2020
x2 1 x x2 1 x
2020 x log x2020 20202
x 1 x



2020 x log 1 x2020 2020
x2 1 x
2020 x log 22020 x 1 x 2020 x F x ，
所以 F x 为奇函数， F 0 0 .
当 x 0时， y 2020 x , y 2020 x , y log 22020 x 1 x 都为增函数，
所以当 x 0时， F x 递增，所以 F x 在R上为增函数.
由 f 2x 1 f x 1 2 0，得 f 2x 1 1 f x 1 1 0，
即 F 2x 1 F x 1 0，所以2x 1 x 1 0 x 2 ，解得 .
3
2
所以不等式的解集为 ,

.故选：C
3
9. 【答案】C
2
f (x) x2 2x 1 x2 2 3
x 1
【解析】 x 1 x 1 x
2 1
3 1 3 1 3x 1
g(x) f (x) 1 x2 3
x 1
设 ，则 g(x)为定义在x R的奇函数3 1
所以 f (x)关于点 0,1 对称
又 g (x) x2 3
x 1 3x 1 3xx2 1 2 ln 3 x
2 3x
x 2x 3 1 x x x 3 1 3 1 3 1
所以当 x 0时， g (x) 0， g(x)在 0, 上单增
故 g(x)在 , 上也单增
因为 f (4 ma) f (m2 3m) 2可化为 f (4 ma) 1 f (m2 3m) 1
所以 g (4 ma) g (m2 3m)
因为 g(x)为R的奇函数， g (4 ma) g (m2 3m) g ( m2 3m)
所以 4 ma m2 3m
4
又因为存在 m∈(1,4)使得不等式 4 ma m2 3m成立，分参得 a m 3m
4
易得m 3 7,8 ，所以 a 8，故选 C.
m
10.【答案】A
【分析】根据题意可判断函数 f x ex e x 2sin x为奇函数且在 R上单调递增，进而根
据奇偶性与单调性解不等式即可.
【解析】函数 f x ex e x 2sin x的定义域为 R，
f x e x ex 2sin x e x ex 2sin x f x ，
所以函数 f x ex e x 2sin x为奇函数，
因为 f ' x ex e x 2cos x 2 2cos x 0，
所以函数 f x ex e x 2sin x在 R上单调递增，
所以 f x2 3 f 2x 0 f x2 3 f 2x f 2x ，
所以 x2 3 2x，即 x2 2x 3 0，解得 3 x 1
所以不等式 f x2 3 f 2x 0的解集为 3,1
故选：A
1
11.【答案】 2 ln 2 , 2
2
【分析】先分析 f x 的奇偶性和单调性，则 f (a 2ln( x 1)) f x 0等价于
2
2 2
f (a 2 ln( x 1)) x f a 2ln( x 1)
x
， 所 以
2
， 可 转 化 为
2
x2a g(x) 2ln( x 1) ，即 a g(x)max ，求 g ( x )max 即得解
2
【解析】因为 f x e x ex sin x x f x ，
所以 f x 是R上的奇函数，
f x ex e x cos x 1，
f x ex e x cos x 1 2 ex e x cos x 1 1 cos x 0，
所以 f x 是R上的增函数，
2 2 2
f (a 2ln( x x 1)) f 0等价于 f (a 2ln( x 1))
x x
f
2 2
f ，
2
2 2
所以 a 2ln( x 1) x a x ，所以 2ln( x 1)，
2 2
x2
令 g(x) 2ln( x 1)，则 a g(x)max ，
2
因为 g( x) g(x)且定义域为 R，
x2
所以 g x 2ln( x 1)是 R上的偶函数，
2
所以只需求 g x 在 0, 上的最大值即可.
2
当 x 0, 时， g(x) x 2ln(x 1) ，
2
2 x 2 x 1
g (x) x 2 x x 2 ，
x 1 x 1 x 1
则当 x 0,1 时， g x 0；当 x 1, 时， g x 0；
所以 g x 在 0,1 上单调递增，在 1, 上单调递减，
可得： g(x)max g(1) 2ln 2
1
，即 a 2 ln 2 1 .
2 2
1
故答案为： 2 ln 2 , . 2
12.【答案】 2ln 2
1
,
2
x2 【分析】先分析 f x 的奇偶性和单调性，则 f (a 2ln( x 1)) f 2 0
等价于

x2 2f (a 2ln( x 1)) f ，所以 a 2ln( x 1) x2
，可转化为
2
2
a x g(x) 2ln( x 1) ，即 a g(x)max ，求 g(x)max 即得解2
【解析】因为 f x e x ex sin x x f x ，
所以 f x 是 R上的奇函数，
f x ex e x cos x 1，
f x e x e x cosx 1 2 e x e x cosx 1 1 cosx 0 ，
所以 f x 是 R上的增函数，

f (a 2ln( x 1)) f x
2 2 2
0等价于 f (a 2ln( x 1)) f
x
f
x
2
，
2 2
2 2 2
所以 a 2ln( x x x x 1) ，所以 a 2ln( x 1) a 2ln( x 1)，
2 2 2
2
令 g(x) x 2ln( x 1) ，则 a g(x)
2 max
，
因为 g( x) g(x)且定义域为 R，
2
所以 g x x 2ln( x 1)是 R上的偶函数，
2
所以只需求 g x 在 0, 上的最大值即可.
2 2
当 x 0, 时， x ， 2 x x 2 x 2 x 1 g(x) 2ln(x 1) g (x) x ，
2 x 1 x 1 x 1
则当 x 0,1 时， g x 0；当 x 1, 时， g x 0；
所以 g x 在 0,1 上单调递增，在 1, 上单调递减，
可得： g(x) 1 1max g(1) 2ln 2 ，即 a 2ln 2 .2 2
故答案为： 1 2ln 2 , 2
.

13.【答案】D
【分析】构造函数 g x f x 1 ，判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式转化为
2
f ax2 1 1 f 1 2ax ，即 g ax2 g 2ax 1 ，再利用函数单调性解不等式即可2 2 .
【解析】Q f x 1 x ex e x，2 1
f x f x 1 ex e x 1 e x ex 1 1 x x x x 12 1 2 1 2 1 2 1
g x f x 1令 ，则 g x g x 0，可得 g x 是奇函数，
2
x
又 g x
1 ex e x ex+e x 2 ln 2 ex+ 1 ln 2
2x 1 x 2 x2 ， 1 e 2x 1 x 22
1 1
又利用基本不等式知 ex+ x 2当且仅当 e
x x ，即 x 0时等号成立；e e
ln 2 ln 2
1 x 12x 2 4 当且仅当 2 2x
，即 x 0时等号成立；
2x
故 g x 0，可得 g x 是单调增函数，
f ax2 f 1 2ax 1 1 1 f ax2 f 1 2ax 1 由 得 f 1 2ax ，2 2 2
即 g ax2 g 1 2ax g 2ax 1 ，即 ax2 2ax 1 0对 x R恒成立.
a 0
当 a 0时显然成立；当 a 0时，需 2 ，得 0 a 1，
4a 4a 0
综上可得0 a 1，故选：D.
14.【答案】A
【分析】由题设，构造 g(x) f (x) 2，易证 g(x)为奇函数，利用导数可证 g(x)为增函数，结
3
合题设不等式可得 g(3x 9x ) g(3 m 3x )，即m x 3
x 1对任意 x R 均成立，即可求m
3
的范围.
【解析】由题设，令 g(x) f (x) 2 2x sin x ln( x2 1 x)，
∴ g( x) 2x sin( x) ln( ( x)2 1 x) 2x sin x ln( x2 1 x) g(x，)
∴ g(x)为奇函数，又 g (x) 2 cos x
1
0，即 g(x)
x2
为增函数，
1
∵ f 3x 9x f m 3x 3 4 ，即 f (3x 9x ) 2 [ f (m 3x 3) 2]，
∴ g(3x 9x ) g(m 3x 3) g(3 m 3x )，则3x 9 x 3 m 3x，
∴m 3 x 3
x 1 1对任意 x R 均成立，又 3 3xx 1 2
3 x x
3 3 3x
3 1 2 3 1，当且仅当 时
2
等号成立，
∴m 2 3 1，即m , 2 3 1 .故选：A

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