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冬奥专题01 集合与常用逻辑用语
一、单选题
1.【原创】(多选)下列各组对象能组成集合的是(　　)
A．2022年北京冬奥会的5个冰上项目和10个雪上项目
B．喜欢冰墩墩的人
C．被3除余2的所有整数
D．函数y＝图象上所有的点
【答案】ACD
【解析】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“喜欢”没有明确标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合.
2．（2020·全国·高三专题练习（文））短道速滑队组织6名队员（含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内）进行冬奥会选拔，记“甲得第一名”为，“乙得第二名”为，“丙得第三名”为，若是真命题，是假命题， 是真命题，则选拔赛的结果为
A．甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名
B．甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名
C．甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名
D．甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名
【答案】D
【解析】由“是真命题”、“是假命题”知，命题一真一假；由“ 是真命题”可得为真命题，为真命题，故为假命题．综上可得为真命题，为假命题，为真命题，从而可得到结论“甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名”．选D．
3.【原创】北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断.某班共30人，其中26人喜爱冰墩墩，20人喜爱雪容融，1人对这两个吉祥物都不喜爱，则喜爱冰墩墩但不喜爱雪容融的人数为________．
A．16 B．17
C．26 D．27
【答案】B
【解析】 设所求人数为x，则只喜爱乒乓球运动的人数为(26－x)+(20－x)+x+1=30，解得x＝17.
二、填空题
4．（2021·黑龙江·佳木斯市第二中学高三阶段练习（理））为迎接2022年北京冬奥会，短道速滑队组织甲 乙 丙等6名队员参加选拔赛，比赛结果没有并列名次.记“甲得第一名”为p，“乙得第一名”为q，“丙得第一名”为r，若是真命题，是真命题，则得第一名的是__________.
【答案】甲
【解析】由是真命题，可知p，q中至少有一个是真命题，
又比赛结果没有并列名次，说明第一名要么是甲，要么是乙，则r是假命题，
又是真命题，则是真命题，即 q为假命题，故得第一名的是甲，故答案为：甲．
5．（2021·全国·高一单元测试）短道速滑队组织6名队员(包括赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员)参加冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为，“乙得第二名”为，“丙得第三名”为，若是真命题，是假命题，是真命题，则选拔赛的第一名为______．（请用“甲，乙，丙”作答）
【答案】甲
【解析】因为是真命题，是假命题，
所以，一真一假，
因为是真命题，
所以假，真，真，
即“甲得第一名”为为真，“乙得第二名”为假，“丙得第三名为真”
则选拔赛的第一名为甲．
故答案为：甲．
冬奥专题02 函数与导数
一、单选题
1.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奧会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ）小时.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，可得，设，
可得，解得.
因此，污染物消除至最初的还需要小时.故选：C.
三、解答题
2．（2022·四川绵阳·高一期末）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会计划于2022年2月4日开幕．冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已经衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为400万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完．（利润销售总价成本总价，销售总价销售单价销售量，成本总价固定成本生产中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；
(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获得利润最大．
【答案】(1)
(2)60万盒
【解析】 (1)由题意，
当产量小于或等于50万盒时，；
当产量大于50万盒时，.
所以利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式是：.
(2)由（1）：当时，，当有最大值，其最大值为（万元）；
当时，，当有最大值，其最大值为（万元）.
综上可知，当产量为60万盒时，该企业在生产中所获得利润最大．
3．（2022·广东清远·高一期末）冰雪装备器材产业是冰雪产业的重要组成部分，加快发展冰雪装备器材产业，对筹办好北京2022年冬奥会、冬残奥会，带动我国3亿人参与冰雪运动具有重要的支撑作用.某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产千件，需另投入成本（万元）.当年产量低于60千件时，；当年产量不低于60千件时，.每千件产品售价为60万元，且生产的产品能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？
【解析】 (1)当时，；
当时，.
所以；
(2)当时，.
当时，取得最大值，且最大值为950.
当时，
当且仅当时，等号成立.
因为，
所以当该企业年产量为50千件时，所获得利润最大，最大利润是950万元.
4（2022·山西大同·高一期末）第24届冬奥会计划于2022年2月4日在北京召开，随着冬奥会的临近，中国冰雪运动也快速发展，民众参与冰雪运动的热情不断高涨．盛会的举行不仅带动冰雪活动，更推动冰雪产业快速发展．某冰雪产业器材厂商，生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本为万元，其中与x之间的关系为：，通过市场分析，当每千件产品售价为40万元时，该厂年内生产的商品能全部销售完．
(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【解析】 (1)当，时，；
当，时，，
所以.
(2)
当，时，，对称轴为，
所以当时，取得最大值；
当，时，
，当且仅当，即时取等号
所以取得最大值，
综上所述，当时，取得最大值
即年产量为72千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为360万元.
冬奥专题03 三角函数与解三角形
一、单选题
1．（2021·重庆九龙坡·高二期末）第24届冬奥会将于2022年在中国北京举办，单板滑雪的U型场地近似为圆柱体的一部分（如图），现一名运动员从顶端A点滑行到另一顶端B点，则滑行的最短距离约为（ ）
（注：，）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设圆柱的底面半径为，则在中，
，解得，设，则，
所以，所以，所以弧的长为，
U型场地侧面展开图如图2所示，
则从顶端A点滑行到另一顶端B点，则滑行的最短距离约为
故选：A
二、解答题
2．（2022·重庆市天星桥中学一模）北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保，舒适，温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，且.
(1)求氢能源环保电动步道的长；
(2)若，求花卉种植区域总面积（电动步道的面积忽略不计）.
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)因为，，所以，
因为，，所以由余弦定理得，
因为，所以；
(2)解：因为，
所以在ABC中，由余弦定理得，解得或（舍去），
因为，所以，
所以，
因为，所以，
故，
所以花卉种植区域总面积为.
3．（2021·河南·高三阶段练习（理））北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保、舒适、温馨这一出发点，进行精心设计．如图，道路长为百米，现在的同一侧设计四边形，，在以为直径的半圆上设，（为圆心）．
(1)若在四边形内种植花卉，且，当为何值时，花卉种植面积最大？
(2)若为了景观错落有致，沿着，和设置景观花带，且，则当为何值时，景观花带总长最长？并求的最大值．
【答案】(1)
(2)当时，景观花带总长最长，的最大值为百米
【解析】（1）因为长为百米，所以圆的半径为百米，即，
当时，
．
又，所以当，即时，，
即当时，花卉种植面积最大．
(2)
因为，所以，且，
由余弦定理得，，
所以，所以，
所以当，即时，取得最大值．即当时，景观花带总长最长，的最大值为百米．
冬奥专题04 数列
一、单选题
1．（2021·天津西青·高二期末）年月日时分，国际奥委会第次全会在吉隆坡举行，投票选出年冬奥会举办城市为北京.某人为了观看年北京冬季奥运会，从年起，每年的月日到银行存入元的定期储蓄，若年利率为且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到年的月日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，2016年1月1日，存入的元，一年后存款及利息为，二年后存款及利息为，，依次类推，
由此可得，从2016年1月1日到2022年1月1日所有的存款及利息为：
.故选：D.
二、填空题
2．（2021·全国全国·高二课时练习）为了参加冬奥会的比赛，李强给自己制订了10天的训练计划：第1天跑5 000 m，以后每天比前一天多跑400 m．李强10天一共跑________m.
【答案】68000
【解析】由题意可知，李强每天跑的距离数构成一个等差数列，把李强第天跑的距离记为，且公差为，则李强天跑的距离为该等差数列的前项和．由.
三、双空题
3．（2021·吉林吉林·高三阶段练习（文））2015年7月31日，国际奥委会正式确定2022年冬奥会的举办权为北京——张家口.小明为了去现场观看2022年的冬奥会，他打算自2016年起，每年的1月1日都到某银行存入元的一年期定期存款，若该银行的年利率为，且年利率保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.那么2017年1月1日，小明去银行继续存款元后，他的账户中一共有___________元存款；到2022年1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则小明一共约可取回___________元.
（参考数据：，，）
【答案】
【解析】由题意，小明每年的1月1日都到某银行存入元的一年期定期存款，且银行的年利率为，且年利率保持不变，2017年1月1日，小明去银行继续存款元后，
他的账户中一共有元，
到2022年1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，
则共取回
元.
故答案为：； .
冬奥专题05 等式与不等式
一、填空题
1．（2021·北京·北师大实验中学高三阶段练习）北京2022年冬奥会将于2022年2月4日开幕.某社区为了宣传冬奥会，决定在办公楼外墙建一个面积为8的矩形展示区，并计划在该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏（如图所示）.要求上下各空0.25，左右各空0.25，相邻宣传栏之间也空0.25.设三个宣传栏的面积之和为S（单位：），则S的最大值为___________.
【答案】
【解析】设矩形展示区的长为，则宽为，
因为该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏，要求上下各空0.25，左右各空0.25，相邻宣传栏之间也空0.25，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以S的最大值为故答案为：
二、解答题
2．（2021·云南·玉溪市江川区第二中学高一期中）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
【答案】每件定价最多为元．
【解析】设每件定价为元，依题意得，整理得
，解得：．
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元．
3．（2022·江西新余·高二期末（文））北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
【答案】（1）40；（2）a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.
【解析】（1）设每件定价为t元,依题意得,整理得,解得：25≤t≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.
（2）依题意知：当x>25时,不等式有解，等价于
x>25时,有解.
由于,当且仅当,即x=30时等号成立,所以a≥10.2.
当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.
冬奥专题06 立体几何
一、填空题
1．（2022·江苏·泰州中学高一月考）冬奥会将至，回顾起2008年北京奥运会游泳中心（水立方）的设计灵感来于威尔·弗兰泡沫，威尔弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1，则该多面体表面积是__________.
【答案】
【解析】棱长为1的正方形的面积为，正六边形的面积为，
又正方形有4个顶点，正六边形有6个顶点，该多面体共有24个顶点，
所以最多有6个正方形，最少有4个正六边形，1个正六边形与3个正方形相连，
所以该多面体有6个正方形，正六边形有个，
所以该多面体的表面积为.故答案为：.
2．（2022·全国·高一课时练习）冬奥会很多项目都在冰面上进行，现湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6cm，深为1cm的空穴，则该球的体积是 ___cm3．
【答案】
【解析】设球的半径为，则，解得.
所以球的体积为.
故答案为：
二、解答题
3．（2022·全国·高三专题练习）2022年北京冬奥会标志性场馆——国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.
（Ⅰ）利用祖暅原理推导半径为的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体，几何体的底面半径和高都为，其底面和半球体的底面同在平面内.设与平面平行且距离为的平面截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明；
（Ⅱ）现将椭圆所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球，（如图），类比（Ⅰ）中的方法，探究椭球的体积公式，并写出椭球，的体积之比.
【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ），体积之比为.
【解析】（Ⅰ）由图可知，图①几何体的为半径为的半球，图②几何体为底面半径和高都为的圆柱中挖掉了一个圆锥，与图①截面面积相等的图形是圆环（如阴影部分）
证明如下：
在图①中，设截面圆的圆心为，易得截面圆的面积为，
在图②中，截面截圆锥得到的小圆的半径为，所以，圆环的面积为，所以，截得的截面的面积相等
（Ⅱ）类比（Ⅰ）可知，椭圆的长半轴为，短半轴为，构造一个底面半径为，高为的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上（如图），在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥底面半径为，高为；
在半椭球截面圆的面积，
在圆柱内圆环的面积为
∴距离平面为的平面截取两个几何体的平面面积相等，
根据祖暅原理得出椭球的体积为：
，
同理：椭球的体积为
所以，两个椭球，的体积之比为.
冬奥专题07 平面解析几何
一、单选题
1．（2022·山东菏泽·高二期末）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行．北京将成为奥运史上第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．根据安排，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是两个“相似椭圆”（离心率相同的两个椭圆我们称为“相似椭圆”）．如图，由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，若两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设内层椭圆的方程为，
因为内外层的椭圆的离心率相同，可设外层椭圆的方程为，
设切线的方程为，
联立方程组，整理得，
由，整理得，
设切线的方程为，同理可得，
因为两切线斜率之积等于，可得，
可得，所以离心率为.故选：C.
2．（2022·湖南·长郡中学高二期末）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象 新梦想.会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿.中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦 赛场 冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正 坦诚的运动员精神在比赛场上相见.其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为O1，O2，O3，O4，O5，若双曲线C以O1，O3为焦点 以直线O2O4为一条渐近线，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
如图建立直角坐标系，过向x轴引垂线，垂足为A，易知，
故选：A
3．（2021·重庆市育才中学高二期中）万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（ ）cm
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同，
由大椭圆长轴长为40cm，短轴长为20cm，
可得焦距长为cm，故离心率为，所以小椭圆离心率为，
小椭圆的短轴长为10cm，即cm，
由，可得：cm，所以长轴为cm.故选：B.
冬奥专题08 统计与统计案例
一、单选题
1．（2022·江西抚州·高二期末（理））为迎接2022年冬奥会，某校在体育冰球课上加强冰球射门训练，现从甲、乙两队中各选出5名球员，并分别将他们依次编号为1，2，3，4，5进行射门训练，他们的进球次数如折线图所示，则在这次训练中以下说法正确的是（ ）
A．甲队球员进球的中位数比乙队大 B．乙队球员进球的中位数比甲队大
C．乙队球员进球水平比甲队稳定 D．甲队球员进球数的极差比乙队小
【答案】C
【解析】由题图，甲队数据从小到大排序为，乙队数据从小到大排序为，所以甲乙两队的平均数都为5，甲、乙进球中位数相同都为5，A、B错误；
甲队方差为，乙队方差为，即，故乙队球员进球水平比甲队稳定，C正确.
甲队极差为6，乙队极差为4，故甲队极差比乙队大，D错误.故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）随着2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领相关户外用品行业市场增长．下面是2013年至2020年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面结论中正确的是（ ）
A．2013年至2020年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年减少
B．2013年至2020年，中国雪场滑雪人次逐年增加
C．2013年至2020年，中国雪场滑雪人次的年增加量相近
D．2013年到2020年，中国雪场滑雪人次在2020年首次出现负增长
【答案】D
【解析】对于A，由折线图可知，2013年至2020年，中国雪场滑雪人次的同比增长率先增长再减小，故A错误；
对于B，由条形统计图知，2013年至2019年，中国雪场滑雪人次逐年增加，但2020年减少了，故B错误；
对于C，由条形图知，2013年至2020年，中国雪场滑雪人次的年增加量不相近，故C错误；对于D，由条形图和折线图，明显看出2013年到2020年，中国雪场滑雪人次在2020年首次出现负增长，故D正确．故选：D
3．（2021·重庆·高一期末）为迎接北京2022年冬奥会，推广冰上运动，某班体育老师调查了全班同学对冰上运动项目的了解程度，调查结果分为三个等级：“不了解”“基本了解”和“非常了解”，其中等级为“基本了解”的人数比等级为“不了解”的人数多8人.接下来，该体育老师采用分层抽样的方法从全班同学中抽取部分同学参加冰壶运动的体验活动，参加体验活动的同学中对冰上运动项目“不了解”的有1人，“基本了解”的有3人，“非常了解”的有6人，那么该班全体同学中对冰上运动项目“非常了解”的人数为（ ）
A．10人 B．12人 C．18人 D．24人
【答案】D
【解析】等价为“基本了解”的分数比等级为“不了解”的人数多8人，采用分层抽样的方法抽取“不了解”的有1人，“基本了解”的有3人，所以“基本了解”的人数比“不了解”的人数多抽取了2人，抽样比例为，
因为样本中“非常了解”的有6人，
所以该班全体同学中对冰上运动项目“非常了解”的人数为人.故选：D.
4．（2021·江西新余·二模（文））随着2022年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，如图是2012-2018年中国滑雪场滑雪人数（单位：万人）与同比增长情况统计图，则下面结论中正确的是（ ）
①2012-2018年，中国滑雪场滑雪人数逐年增加；
②2013-2015年，中国滑雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；
③中国滑雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高；
④2016-2018年，中国滑雪场滑雪人数的增长率约为23.4%．
A．①②③ B．①②④ C．①② D．③④
【答案】C
【解析】对①，由条状图可知，中国雪场滑雪人数逐年增加正确，故①正确；
对②， 2013-2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加正确， 故②正确；
对③，中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，
但2018年同比增长率为，相比 2017年同比增长率为有所下降，故③错误；
对④， 2016-2018年，中国雪场滑雪人数的增长率为，故④错误．
故①②正确．故选：C
5．（2021·全国·高一单元测试）2020年冬奥会申办成功，让中国冰雪项目迎来了新的发展机会，“十四冬”作为北京冬奥会前重要的练兵场，对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜（ga）、爬犁速降及俯卧式爬犁6个冬季体育运动项目进行了指标测试（指标值满分为5分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是（ ）
A．甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标
B．乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标
C．甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标
D．乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标
【答案】C
【解析】由指标雷达图可知：
对于A，甲的轮滑指标为4，雪地足球指标为4，所以A错误；
对于B，乙的雪地足球指标为4，甲的冰尜指标3，所以B错误；
对于C，甲的爬犁速降指标为5，乙的爬犁速降指标为4，所以C正确；
对于D，乙的俯卧式爬犁指标为5，甲的雪合战指标为5，所以D错误；
综上可知，正确的为C，故选：C.
6．（2021·贵州·贵阳六中高二期中）随着2020年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长．下面是2012年至2018年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中不正确的是（ ）
A．2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加
B．2013年至2015年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加
C．2018年与2013年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等
D．2018年与2016年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为30.5%
【答案】C
【解析】由2012年至2018年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图可知：
对于A，由条状图可知，2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加，故A正确；
对于B，2013年至2015年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加，故B正确；
对于C，2018年与2013年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，但是同比增长人数也不相等，2018年比2013年增长人数多，故C错误；
对于D，2018年与2016年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为
故D正确．故选：C．
7．（2021·辽宁葫芦岛·高二期末）某高中调查学生对2022年北京冬奥会的关注是否与性别有关，抽样调查150人，得到如下数据：
不关注 关注 总计
男生 54 18 72
女生 36 42 78
总计 90 60 150
根据表中数据，通过计算统计量并参考以下临界数据：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
若由此认为“学生对2022年北京冬奥会的关注与性别有关”，则下列结论正确的（ ）
A．有的把握认为“学生对2022年北京冬奥会的关注与性别无关”
B．有的把握认为“学生对2022年北京冬奥会的关注与性别有关”
C．学生对2022年北京冬奥会的关注与性别有的关系
D．学生对2022年北京冬奥会的关注与性别有的关系
【答案】B
【解析】根据列联表，计算可得，
所以有的把握认为“学生对2022年北京冬奥会的关注与性别有关”.故选：B
二、多选题
8．（2020·全国·高一课时练习）随着2022年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放.如图是2012-2018年中国雪场滑雪人数（单位：万人）与同比增长情况统计图则下面结论中正确的是（ ）.
A．2012-2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加；
B．2013-2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；
C．中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高；
D．2016-2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4%.
【答案】AB
【解析】根据条形图知，2012-2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加，所以A正确；
根据条形图知，2013-2015年，中国雪场滑雪人数逐年增加，
根据折线图知，2013-2015年，中国雪场滑雪人数同比增长率逐年增加，所以B正确；
根据条形图知，中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数为万人，2018年比2017年增加的滑雪人数为万人，根据折线图知，2015年比2014年同比增长率上升，但2018年比2017年同比增长率有下降，故C错误；
2016-2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为，故D错误；
故选：AB
三、双空题
9．（2022·山东潍坊·高三期末）单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取每站三次滑行成绩的最高分作为该站比赛成绩．现有运动员甲、乙二人在2021赛季单板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如下表：
分站 运动员甲的三次滑行成绩 运动员乙的三次滑行成绩
第1次 第2次 第3次 第1次 第2次 第3次
第1站 80.20 86.20 84.03 80.11 88.40 0
第2站 92.80 82.13 86.31 79.32 81.22 88.60
第3站 79.10 0 87.50 89.10 75.36 87.10
第4站 84.02 89.50 86.71 75.13 88.20 81.01
第5站 80.02 79.36 86.00 85.40 87.04 87.70
假如从甲、乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛，根据以上数据信息，你推荐______运动员参加，理由是______．
附：方差，其中为的平均数．
【答案】 乙； 甲乙两人水平相当，但乙的发挥比甲更稳定.
【解析】甲5站的平均成绩为：
，
乙5站的平均成绩为：
，
甲5站成绩的方差为：
乙5站成绩的方差为：
，＞，
推荐乙运动员参加，理由是：甲乙两人水平相当，但乙的发挥比甲更稳定．
故答案为：乙；甲乙两人水平相当，但乙的发挥比甲更稳定．
四、解答题
10．（江西省六校2021-2022学年高二上学期期末联考数学（文）试题）2022北京冬奥会即将开始，北京某大学鼓励学生积极参与志愿者的选拔．某学院有6名学生通过了志愿者选拔，其中4名男生，2名女生．
(1)若从中挑选2名志愿者，求入选者正好是一名男生和一名女生的概率；
(2)若从6名志愿者中任选3人负责滑雪项目服务岗位，那么现将6人分为A B两组进行滑雪项目相关知识及志愿者服务知识竞赛，共赛10局．A B两组分数（单位：分）如下：
A：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142
B：126，115，143，126，143，115，139，139，115，139
从统计学角度看，应选择哪个组更合适？理由是什么？
【解析】 (1)设4名男生分别用A，B，C，D表示：2名女生分别用1，2表示.
基本事件为：，，，，
，，，，
，，，，共15种，
所以所求概率为；
(2)A组数据的平均数，
B组数据的平均数，
A组数据的方差，
B组数据的方差，
所以选择A队．理由：A B两队平均数相同，且，A组成绩波动小．
11．（2022·山西太原·高三期末（理））2022年2月4日，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传北京冬奥会，某大学从全校学生中随机抽取了110名学生，对是否喜欢冬季体育运动情况进行了问卷调查，统计数据如下：
喜欢 不喜欢
男生 50 10
女生 30 20
(1)根据上表说明，能否有的把握认为，是否喜欢冬季体育运动与性别有关？
(2)现从这110名喜欢冬季体育运动的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取8人参加2022年北京冬奥会志愿者服务前期集训，且这8人经过集训全部成为合格的冬奧会志愿者.若从这8人中随机选取3人到场馆参加志愿者服务，设选取的3人中女生人数为，写出的分布列，并求.
附：，其中.
【解析】 (1)因为，
所以有的把握认为，是否喜欢冬季体育运动与性别有关.
(2)根据分层抽样方法得，选取的8人中，男生有5人，女生有3人.
由题意知，的可能取值有.
的分布列是：
0 1 2 3
所以.
12．（2022·安徽合肥·高三期末（文））第24届冬奥会将于2022年2月4日在北京国家体育场开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温．为了解冬奥会知识在某校高中生中的普及程度，该校按性别分层抽样，随机从高中生中抽取了50人参加测试，成绩统计图：
(1)估计该校高中生男生和女生哪个群体掌握冬奥会知识的平均水平更高？
(2)该校计划从得分为100分的高中生中随机抽取两名学生参加市级比赛，抽取的两名学生性别不同的概率．
【解析】 (1)设男生和女生的平均得分分别为、，则
，
．
∵，∴该校高中生男生群体掌握冬奥会知识的平均水平高于女生．
(2)由统计图可知，得分为100分的人数为6人，
设男生中满分学生分别为，，，，女生满分学生分别为A，，共6人，现从6人中随机抽取两人，共有如下15种可能：
，，，，，
，，，，
，，，
，，
，
其中性别不同的有如下8种可能：
，；，；，；，．
∴抽取的两名学生性别不同的概率为．
13．（2022·四川广安·高二期末（文））冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行．为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，广安市某中学校从全校随机抽取50名学生参加冬奥会知识竞赛，并根据这50名学生的竞赛成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），
其中样本数据分组区间．
(1)求频率分布直方图中a的值：
(2)求这50名学生竞赛成绩的众数和中位数．（结果保留一位小数）
【解析】 (1)
由,得
(2)50名学生竞赛成绩的众数为
设中位数为,则
解得所以这50名学生竞赛成绩的中位数为76.4
14．（2021·山东·高三阶段练习）购买盲盒，是当下年轻人的潮流之一.每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫 影视作品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性.某礼品店2021年1月到8月出售的盲盒数量及利润情况的相关数据如下表所示：
月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月
月销售量/千个 3 4 5 6 7 9 10 12
月利润/万元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1
(1)求出月利润（万元）关于月销售量（千个）的回归方程（精确到0.01）；
(2)2022年冬奥会临近，该店售卖装有奥运吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”玩偶的两款盲盒，小明同学购买了4个装有“冰墩墩”玩偶的盲盒，4个装有“雪容融”玩偶的盲盒，从中随机选出3个作为元旦礼物赠送给同学.用表示3个中装有“冰墩墩”玩偶的盲盒个数，求的分布列和数学期望.
参考数据：，，附：线性回归方程中，，.
【解析】 (1)，根据参考数据可得，
所以
故月利润) (万元)关于月销售量x (千个)的回归方程为；
(2)由题中数据可知， X的所有可能取值为0,1,2,3，
，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
15．（2022·全国·高三专题练习（文））北京冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张家口同为主办城市，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后进行了一次考核.为了解本次培训活动的效果，从中随机抽取80名志愿者的考核成绩，根据这80名志愿者的考核成绩，得到的统计图表如下所示.
女志愿者考核成绩频率分布表
分组 频数 频率
2 0.050
13 0.325
12 0.3
0.075
若参加这次考核的志愿者考核成绩在内.则考核等级为优秀.
（1）分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数；
（2）补全下面的列联表，并判断是否有的把握认为考核等级是否是优秀与性别有关.
优秀 非优秀 合计
男志愿者
女志愿者
合计
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【解析】（1）由频率分布直方图可得，培训考核等级为优秀的男志愿者人数为，
由频率分布表可得，，，，
培训考核等级为优秀的女志愿者人数为.
（2）列联表如下：
优秀 非优秀 合计
男志愿者 5 35 40
女志愿者 13 27 40
合计 18 62 80
∵，
∴有的把握认为考核等级是否是优秀与性别有关.
16．（2021·福建省宁化第一中学高一阶段练习）第届冬奥会将于2022年在北京市和张家口市联合举行，冬奥会志愿者的服务工作是成功举办的重要保障.在冬奥会的志愿者选拔工作中，某高校承办了冬奥会志愿者选拔的面试工作，面试成绩满分分，现随机抽取了名候选者的面试成绩分五组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右后三个组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
（1）求的值
（2）并估计这名候选者面试成绩平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到）；
【解析】（1）由题意可知：，
解得，，
（2）平均值等于
中位数等于
17．（2021·新疆·哈密市第十五中学高二期末（文））第24届冬奥会将于2022年在北京市和张家口市联合举行，冬奥会志愿者的服务工作是成功举办的重要保障.在冬奥会的志愿者选拔工作中，某高校承办了冬奥会志愿者选拔的面试工作，面试成绩满分100分，现随机抽取了名候选者的面试成绩分五组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右前三个组的频率成等差数列，第一组和第五组的频率相同.
（1）求，的值，并估计这名候选者面试成绩的中位数（中位数精确到0.1）；
（2）已知抽取的名候选人中，男生和女生各人，男生希望参加张家口赛区志愿服务的人数有人，女生希望参加张家口赛区志愿服务的人数有人，补全下面列联表，问是否有的把握认为希望参加张家口赛区志愿者服务的候选人与性别有关？
男生 女生 总计
希望去张家口赛区
不希望去张家口赛区
总计
参考数据即公式：，.
【答案】（1），，；（2）列联表见解析，有.
【解析】（1）由题意可知：，，
解得，，所以中位数等于
（2）补全列联表：
男生 女生 总计
希望去张家口赛区
不希望去张家口赛区
总计
所以有的把握认为希望参加张家口赛区志愿者服务的候选人与性别有关.
18．（2020·湖北武汉·模拟预测（文））第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月22日在北京市和河北省张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会.为了宣传冬奥会，让更多的人了解、喜爱冰雪项目，某校高三年级举办了冬奥会知识竞赛（总分100分），并随机抽取了名中学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知前三组的频率成等差数列，第一组和第五组的频率相同.
（Ⅰ）求实数，的值，并估计这名中学生的成绩平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（Ⅱ）已知抽取的名中学生中，男女生人数相等，男生喜欢花样滑冰的人数占男生人数的，女生喜欢花样滑冰项的人数占女生人数的，且有95%的把握认为中学生喜欢花样滑冰与性别有关，求的最小值.
参考数据及公式如下：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
，.
【解析】（Ⅰ）由题意可知：，
解得.
各组频率依次为0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
（分）
（Ⅱ）设男生人数为，依题意可得列联表如下：
喜欢花样滑冰 不喜欢花样滑冰 合计
男生
女生
合计
，.
又，，且各组的频数为正整数，故，.
19．（2020·安徽·屯溪一中高二开学考试（文））第24届冬季奥林匹克运动会（简称“北京张家口冬奥会”）将于2022年2月4日～2月20日在中国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，也是中国继“北京奥运会”、“南京青奥会”后，中国第三次举办的奥运赛事．某电视传媒公司为了解本地区观众对体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看体育节目时间的频率分布直方图（将日均收看体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”）．
（1）根据已知条件完成下面的列联表：
非体育迷 体育迷 合计
男
女 10 55
合计
（2）根据此调查结果，是否有95﹪的把握认为“体育迷”与性别有关？
（3）已知在被调查的女性“非体育迷”中有5名学生，其中2位是小学生．现从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1位小学生的概率．
参考公式和数据：
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
【解析】（1）根据频率分布直方图，可知体育迷人数为，则非体育迷人数为.
完成下面的列联表：
非体育迷 体育迷 合计
男 30 15 45
女 45 10 55
合计 75 25 100
（2）
所以我们没有的把握认为“体育迷”与性别有关．
（3）记5人为abcde，其中ab表示小学生，从5人任意抽3人的所有可能事件是：
abc、abd、abe、acd、ace、ade、bcd、bce、bde、cde共10个，
其中至多1位小学生有7个基本事件：
acd、ace、ade、bcd、bce、bde、cde，所以所求概率．
冬奥专题09 计数原理
一、单选题
1．（福建省三明市普通高中2022届高三上学期期末质量检测数学试题）北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，4名大学生将参加冬奥会志愿者服务，他们被随机安排到3个场馆工作，每人只能去一个场馆，每个场馆至少一人，则不同的安排方案有（ ）
A．16种 B．36种 C．48种 D．60种
【答案】B
【解析】先将4人分成3组，然后再分配到3个场馆，一共有种不同的方案.故选：B.
2．（2022·江西九江·一模（理））第24届冬季奥林匹克运动会（北京冬奥会）计划于2022年2月4日开幕，共设7个大项．现将甲、乙、丙3名志愿者分配到7个大项中参加志愿活动，每名志愿者只能参加1个大项的志愿活动，则有且只有两人被分到同一大项的情况有（ ）．A．42种 B．63种 C．96种 D．126种
【答案】D
【解析】先将3人分成两组，共种，再在7个大项种选择2个项目安排这两组，共种，所以有且只有两人被分到同一大项的情况共有种.故选：D．
3．（2022·北京通州·高三期末）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【解析】由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组.
先将小李、小明之外的三人分为两组，有种分法，
再将小李、小明分进两组，有种分法，
再将两组分配安装两个吉祥物，有种分法，
所以共计有种，故选：C.
4．（2022·安徽宣城·高三期末（理））2022年冬季奥林匹克运动会，计划于2022年2月4日在北京开幕，北京将成为第一个举办过夏奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市，这也是中国历史上第一次举办冬季奥运会．近期，冬奥会组委会招募6名志愿者为四个馆区提供志愿服务，要求A，B两个馆区各安排一人，剩下两个馆区各安排两人，不同的安排方案共有（ ）
A．90种 B．180种 C．270种 D．360种
【答案】B
【解析】先安排两个馆，然后安排其余两个馆，所以不同的安排方案有种.故选：B
5．（2022·安徽马鞍山·一模（理））志愿服务是办好2022年北京冬奥会的重要基础和保障，冬奥会城市志愿者已于2021年12月5日在主要服务站点开始上岗，预计2022年1月25日开始全面上岗服务．现有4名志愿者要安排到3个服务站点参加服务，每名志愿者只能安排到一个站点，每个站点至少安排一名志愿者，则不同的安排方案共有（ ）
A．48种 B．36种 C．24种 D．12种
【答案】B
【解析】先将4名志愿者分成3组，其中3组1人，1组2人，由种分法，
再将3组人分给3个服务站有种安排方案.故选：B.
6．（2021·新疆石河子一中高三阶段练习（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球3个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．150种 C．120种 D．240种
【答案】B
【解析】将5人分成3组有两种情况：
一、3人一组，其他2人各一组，种，
二、有2组各两人，剩余1组一人，种，
综上所述，共种，故选：B.
7．（2021·山东·高三阶段练习）北京2022年冬奥会即将开幕，北京某大学5名同学报名到甲 乙 丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．90种 B．125种 C．150种 D．243种
【答案】C
【解析】把5名同学分为3组，各组人数可为3，1，1或2，2，1.
各组人数为3，1，l时，有种；
各组人数为2，2，l时，有种;
故不同的安排方法共有种，故选：C
8．（2021·湖南·雅礼中学高三阶段练习）“冰墩墩”是2022年北京冬奥会吉祥物，在冬奥特许商品中，已知一款“冰墩墩”盲盒外包装上标注隐藏款抽中的概率为，出厂时每箱装有6个盲盒．小明买了一箱该款盲盒，他抽中k(0≤k≤6，k∈N)个隐藏款的概率最大，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】由题意可得小明抽中个隐藏款的概率为，其中，要使得最大，只需要最大，则，即，则，又因为，则，故选：B.
9．（2022·全国·高三专题练习）第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕．为保证冬奥会顺利进行，组委会需要提前把各项工作安排好．现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服务，每天一人，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，则不同的安排方法有（ ）
A．840种 B．140种
C．420种 D．210种
【答案】C
【解析】由题可知：甲两天，乙三天，丙和丁各一天
所以不同的安排方法有种故选：C
10．（2020·广东·汕头市澄海中学高三开学考试）在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有（ ）种不同的志愿者分配方案．
A．18 B．21 C．27 D．33
【答案】B
【解析】若甲，乙都参加，则甲只能参加项目，乙只能参见项目，项目有3种方法，若甲参加，乙不参加，则甲只能参加项目，，项目，有种方法，
若乙参加，甲不参加，则乙只能参加项目，，项目，有种方法，
若甲不参加，乙不参加，有种方法，
根据分类计数原理，共有种．
故选：B.
11．（2021·福建南平·高二期末）国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于2022年在北京召开，这是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事．某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的奥运宣传广告，要求第一个和最后一个播放的必须是奥运宣传广告，且3个奥运宣传广告不能两两相邻播放，则不同的播放方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【解析】先考虑第一个和最后一个位置必为奥运宣传广告，有种，
另一奥运广告插入3个商业广告之间，有种；
再考虑3个商业广告的顺序，有种，故共有种.故选：B.
12．（2021·山西吕梁·高二期末（理））北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等6名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉样物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】C
【解析】小明和小李安装同一个吉祥物，剩余4人安装另一个，共有2种方案；
小明和小李和另外1人安装同一个吉祥物，剩余3人安装另一个，共有种方案；
小明和小李和另外2人安装同一个吉祥物，剩余2人安装另一个，共有种方案；
则不同的安装方案种数为种故选：C
13．（2021·全国·高三专题练习（理））第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市联合举行，本次冬奥会设有冬季两项、雪车、冰壶、冰球、雪橇、滑冰、滑雪7个大项．为确保冬奥会顺利举办，奥组委欲招募一批志愿者，甲、乙两名大学生审请报名时，计划在7个大项的服务岗位中随机选取3项，则两人恰好选中相同2项的不同报名情况有（ ）
A．420种 B．1225种 C．441种 D．735种
【答案】A
【解析】根据题意可知，可分三步考虑：
第一步，在7项中选取2项，共有种不同的方法；
第二步，甲在剩下5项中选取1项，共有种不同的方法；
第三步，乙在剩下4项中选取1项，共有种不同的方法．根据分步乘法计数原理可知，两人恰好选中相同2项的不同报名情况有（种），故选：A．
14．（2022·重庆市求精中学校一模）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组，
当三人组中包含小明和小李时，安装方案有种；
当三人组中不包含小明和小李时，安装方案有种，共计有种，故选：A.
15．（2020·湖南·长沙一中高三阶段练习）北京2022年冬奥会和冬残奥会色彩系统的主色包括霞光红 迎春黄 天霁蓝 长城灰 瑞雪白；间色包括天青 梅红 竹绿 冰蓝 吉柿；辅助色包括墨 金 银.若各赛事纪念品的色彩设计要求：主色至少一种 至多两种，间色两种 辅助色一种，则某个纪念品的色彩搭配中包含有瑞雪白 冰蓝 银色这三种颜色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当主色只选一种时，共有种
当主色选两种时，共有种
其中，若主色只选一种时，某个纪念品的色彩搭配中包含有瑞雪白 冰蓝 银色这三种颜色的共有种；
若主色选两种时，某个纪念品的色彩搭配中包含有瑞雪白 冰蓝 银色这三种颜色的共有种；
则某个纪念品的色彩搭配中包含有瑞雪白 冰蓝 银色这三种颜色的概率为故选：B
16．（2022·北京昌平·高一期末）北京2022年冬奥会新增了女子单人雪车 短道速滑混合团体接力 跳台滑雪混合团体 男子自由式滑雪大跳台 女子自由式滑雪大跳台 自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等个比赛小项，现有甲 乙两名志愿者分别从个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲 乙两人的选择互不影响，那么甲 乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知甲 乙两名志愿者分别从个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作共有种情况，
其中甲 乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作共种，
所以甲 乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是，
故选：C.
17．（2021·北京·高二学业考试）《北京2022年冬奥会——冰上运动》纪念邮票一套共有5枚，邮票图案名称分别为：短道速滑、花样滑冰、速度滑冰、冰壶、冰球.小冬买了一套该种纪念邮票，准备随机送给小冰等5位同学，每人1枚，则小冰收到邮票的图案名称是短道速滑的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，任何一位同学收到短道速滑图案的邮票概率都为，故选：C
18．（2021·河南·新乡县一中高三阶段练习（文））某高校计划派出甲、乙、丙名男生和，，名女性共名志愿者参与北京冬奥会志愿者工作，现将他们分配到北京、延庆个赛区进行培训，其中名男性志愿者和名女性志愿者去北京赛区，其他都去延庆赛区，则甲和被选去北京赛区培训的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，分配名男性志愿者和名女性志愿者去北京赛区共有
(甲，A), (甲，B), (甲，C), (乙，A), (乙，B), (乙，C)，(丙，A), (丙，B), (丙，C)，9中不同的分配方法，
其中甲和被选去北京赛区培训是其中一种分配方法，
所以甲和被选去北京赛区培训的概率为.故选：C
19．（2021·福建·三明一中高二期中）北京冬奥会将于2022年2月4日到20日在北京和张家口举行．为纪念申奥成功，中国邮政发行《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】从一套5枚邮票中任取3枚的不同取法有种，
恰有1枚吉祥物邮票的情况有种，
则恰有1枚吉祥物邮票的概率，故选：C
二、多选题
20．（2022·辽宁·大连八中高二期末）现安排甲、乙、丙、丁、戊名同学参加年冬奥会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）
A．每人都安排一项工作的不同方法数为
B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这名同学全部被安排的不同方法数为
D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
【答案】CD
【解析】对于A选项，每人各有种选择，每人都安排一项工作的不同方法数为，A错；
对于B选项，每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则必有人参加一份工作，其余人都参加一份工作，
可先将人分为组，有一组为人，然后将这四组分配给四种工作即可，共有种安排方法，B错；
对于C选项，如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，有两种情况：
①有人选同一种工作，其余人只安排一种工作；
②有种工作只有人，其余种工作都只有人.
所以，不同的安排方法种数为，C对；
对于D选项，每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，
甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，分两种情况讨论：
①开车这份工作有人参与，其余工作各分配人，共有种安排方法；
②开车这份工作只有人参与，有人参与同一份工作，其余人各参与一份工作，共有.
综上所述，共有不同安排方案的种数是，D对.故选：CD.
三、填空题
21．（2021·山东·德州市第一中学高二阶段练习）2022年2月4日，冬季奥运会将在北京市和河北省张家口市联合举行.某冬奥会场馆为安全起见，计划将5个安保小组安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，至多有两个安保小组，则这样的安排方法共有______种.
【答案】90
【解析】先将保安小组进行分组，然后安排到三个区域，
所以不同的安排方法数有种.故答案为：
22．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）2022年北京冬奥会即将开幕，某校4名学生报名担任志愿者.将这4名志愿者分配到3个比赛场馆，每个比赛场馆至少分配一名志愿者，则所有分配方案共有______种.（用数字作答）
【答案】36
【解析】将4名同学按2,1,1分成3组有种方法.
再将这3组分配到3个比赛场馆，共有种
则所有分配方案共有种故答案为：36
23．（2021·北京市朝阳区人大附中朝阳分校高三阶段练习）将5名北京冬奥会志愿者全部分配到花样滑冰 短道速滑 高山滑雪3个项目进行培训，每名志愿者只分配到一个项目，每个项目至少分配一名志愿者，并且甲 乙两名志愿者必须分配在一起，则共有种不同的分配方式___________.
【答案】36
【解析】由题设，5名北京冬奥会志愿者分配到3个项目进行培训的有两类分组：
1、各组人数以分组，共有种；
2、各组人数以分组，共有种；
∴共有种分配方式.故答案为：.
24．（2021·湖南·雅礼中学高三阶段练习）清华大学有6名同学准备在北京2022年冬奥会期间担任志愿者，去A，B两个场馆进行工作.现需制定工作方案，将6人分成2组，每组3人，每组各指定一名组长，再将两组分别指派到A，B两个场馆，则不同的工作方案数为___________.
【答案】
【解析】根据平均分组问题将6人分成两组，每组3人，有种不同的分法；
再选各组的组长，有种情况，
最后将两组分配到A，B两个场馆，则有种可能，
所以，根据乘法原理得共有种不同的方案.
故答案为：
25．（2021·上海松江·一模）第24届冬奥会将于2022年2月4日20日在北京-张家口举行，某大学从7名志愿者中选出4人分别从事对外联络 场馆运行 文化展示 赛会综合这四项服务中的某一项工作，则不同的选派方案共有___________种.
【答案】840
【解析】根据题意，由7人选4人从事不同工作，是排列问题，
故不同的选派方案共有，故答案为：840
26．（2022·全国·高三专题练习）为迎接2022年北京冬奥会，将名志愿者分配到花样滑冰、速度滑冰个项目进行培训，每名志愿者分配到个项目，每个项目至少分配到名志愿者，则不同的分配方案共有________种．（用数字作答）
【答案】14.
【解析】先将4名志愿者分成2组，分别是每组2个人或者一组3人，一组1人，
若每组2个人，分别分配给2个项目，则有种分法；
若一组3人，一组1人，分别分配给2个项目，则有种分法；
因此不同的分配方案共种，故答案为：14.
27．（2021·天津·南开中学高一期末）为迎接2022年北京冬奥会，某工广生产了一批滑雪板，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这批滑雪板中随机抽取一件滑雪板检测，已知抽到不是三等品的概率为0.97，抽到一等品或三等品的概率为0.88，则抽到一等品的概率为___________.
【答案】0.85
【解析】设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为，，，
则，解得，
所以抽到一等品的概率为0.85．故答案为：0.85．
28．（2021·贵州六盘水·一模（文））小明在一个专用的邮票箱中，收藏了北京2022年冬奥会吉祥物和冬残奥会吉祥物纪念邮票一套2枚，冬奥会会徽和冬残奥会会徽纪念邮票一套2枚．现从这4枚邮票中随机抽取2枚，恰好有一张是“冰墩墩”（图案为大熊猫）的概率为________．
【答案】
【解析】设冬奥会吉祥物和冬残奥会吉祥物纪念邮票一套2枚分别记为（为“冰墩墩”），，冬奥会会徽和冬残奥会会徽纪念邮票一套2枚分别记为，，从这4枚邮票中随机抽取2枚的基本事件分别是，，，，，，共6种，其中恰好有一张是“冰墩墩”的基本事件是，，，共3种，故所求概率为．故答案为：
四、解答题
29．（2021·北京丰台·高二期中）某学校为普及2022年北京冬奥会知识，现从4名男同学和2名女同学中选出3名同学担任宣讲员．
（Ⅰ）共有多少种不同选法？（结果用数字作答）
（Ⅱ）如果至少有1名女同学参加，且这3名同学分别在周五、周六和周日进行宣讲，那么共有多少种不同选法？（结果用数字作答）
【解析】（Ⅰ）所有不同选法种数，就是从6名同学中抽出3名的组合数，
所以选法种数为
（Ⅱ）根据题意，分2步进行分析：
①从6名同学抽出的3名同学，要求其中至少有1名女同学，包括1名女同学2名男同学和2名女同学1名男同学两种情况，
所以选法种数为
②将这3名同学分别在周五、周六、周日进行宣讲，有种情况，
则有种选法.
30．（2022·安徽合肥·高三期末（文））第24届冬奥会将于2022年2月4日在北京国家体育场开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温．为了解冬奥会知识在某校高中生中的普及程度，该校按性别分层抽样，随机从高中生中抽取了50人参加测试，成绩统计图：
(1)估计该校高中生男生和女生哪个群体掌握冬奥会知识的平均水平更高？
(2)该校计划从得分为100分的高中生中随机抽取两名学生参加市级比赛，抽取的两名学生性别不同的概率．
【解析】 (1)设男生和女生的平均得分分别为、，则
，
．
∵，∴该校高中生男生群体掌握冬奥会知识的平均水平高于女生．
(2)由统计图可知，得分为100分的人数为6人，
设男生中满分学生分别为，，，，女生满分学生分别为A，，共6人，现从6人中随机抽取两人，共有如下15种可能：
，，，，，
，，，，
，，，
，，
，
其中性别不同的有如下8种可能：
，；，；，；，．
∴抽取的两名学生性别不同的概率为．
试卷第1页，共3页
冬奥专题10 随机变量及其分布
一、单选题
1．（2021·湖南·雅礼中学高三阶段练习）“冰墩墩”是2022年北京冬奥会吉祥物，在冬奥特许商品中，已知一款“冰墩墩”盲盒外包装上标注隐藏款抽中的概率为，出厂时每箱装有6个盲盒．小明买了一箱该款盲盒，他抽中k(0≤k≤6，k∈N)个隐藏款的概率最大，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】由题意可得小明抽中个隐藏款的概率为，其中，要使得最大，只需要最大，则，即，则，又因为，则，故选：B.
2．（2021·江苏·镇江崇实女子中学高二期中）为准备2022年北京—张家口冬奥会，某冰上项目组织计划招收一批9—14岁的青少年参加集训，以选拔运动员，共有10000名运动员报名参加测试，其测试成绩X（满分100分）服从正态分布，成绩为90分及以上者可以进入集训队，已知80分及以上的人数为228人，请你通过以上信息，推断进入集训队的人数为（ ）
附：，，
A．13 B．18 C．26 D．30
【答案】A
【解析】正态分布，可知
80分及以上的人数为228人，则，
由正态分布曲线的对称性可得：
，故，
∴，
则分及以上的人数为人.故选：A.
3．（2021·全国·高三专题练习（理））为准备年北京-张家口冬奥会，某冰上项目组织计划招收一批岁的青少年参加集训，以选拔运动员，共有名运动员报名参加测试，其测试成绩(满分分)服从正态分布，成绩为分及以上者可以进入集训队.已知分及以上的人数为人，请你通过以上信息，推断进入集训队的人数为（ ）
附：，，.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】正态分布，分及以上的人数为人，则，
由正态分布曲线的对称性可得：
，
故，∴，
则分及以上的人数为人.故选C.
二、多选题
4．（2022·全国·高二课时练习）为了增强学生的冬奧会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了了解学生对冰壶这个项目的了解情况，在北京市中小学中随机抽取了10 所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：
若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数，则（ ）
A．的取值范围为 B．
C． D．
【答案】BC
【解析】的取值范围为，了解冰壶的人数在30以上的学校有4所.，，，，所以.
故选：BC.
三、解答题
5．（福建省漳州市2022届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题）北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业 礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，已知每位参加笔试的人员测试能否合格是相互独立的.若甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题.求：
(1)甲 乙两人至多一人测试合格的概率；
(2)甲答对的试题数X的分布列和数学期望.
【解析】 (1)根据题意，甲测试合格的概率为；
乙测试合格的概率为；
故甲 乙两人都测试合格的概率为，
则甲 乙两人至多一人测试合格的概率为.
(2)由题可知，甲答对的试题数X可以取，
又，，
，，
故的分布列如下：
则.
6．（2021·辽宁·高二阶段练习）2022年北京冬奥会的志愿者中，来自甲、乙、丙三所高校的人数分别为：甲高校学生志愿者7名，教职工志愿者2名；乙高校学生志愿者6名，教职工志愿者3名；丙高校学生志愿者5名，教职工志愿者4名.
(1)从这三所高校的志愿者中各抽取一名，求这三名志愿者中既有学生又有教职工的概率；
(2)先从三所高校中任选一所，再从这所高校的志愿者中任取一名，求这名志愿者是教职工志愿者的概率.
【解析】 (1)设事件A为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者全是学生，则；
设事件B为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者全是教职工，则；
设事件C为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者中既有学生又有教职工，则.
(2)设事件D为这名志愿者是教职工志愿者，事件为选甲高校，事件为选乙高校，事件为选丙高校.
，，，.
所以这名志愿者是教职工志愿者的概率为：
7．（2022·重庆市天星桥中学一模）第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行，冬季两项是冬奥会的正式项目之一，冬季两项是把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起进行的运动，要求运动员既要有由动转静的能力，又要有由静转动的能力.20km男子个人赛是冬季两项中最古老的奥运项目，分成5个阶段：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点．比赛时，运动员单个出发，随身携带枪支和20发子弹，每轮射击发射5发子弹，每脱靶一次加罚1分钟．成绩的计算是越野滑雪的全程时间加被罚的时间，比赛结束所耗总时间少者获胜．已知甲、乙两名参赛选手在射击时每发子弹命中目标的概率均为0.8．
(1)试求甲选手在一轮射击中，被罚时间X的分布列及期望；
(2)若甲、乙两名选手在滑道上滑行所耗时间相同，在前三轮射击中甲选手比乙选手多罚了3分钟，试求在四轮射击结束后，甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少的概率（保留小数点后4位）．
（参考数据：，．）
【解析】 (1)因为一轮射击中，共发射5发子弹，脱靶一次罚时1分钟，
所以一轮射击中，被罚时间X的值可能为0，1，2，3，4，5．
，，
，，
，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P 0.32768 0.4096 0.2048 0.0512 0.0064 0.00032
依题意，被罚时间X满足二项分布，所以；
(2)依题意，甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少，在第四轮射击中，共有两种可能，第一种情况，甲5发子弹都击中，乙击中0发或1发；第二种情况，甲击中4发子弹，乙击中0发，所以甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少的概率为．
8．（2022·湖北·高三期末）由文化和旅游部会同国家体育总局共同编制的《滑雪旅游度假地等级划分》（以下简称《标准》）日前发布实施．《标准》的发布得到旅游业界的广泛关注，将有力推动我国冰雪旅游高质量发展，助力北京2022年冬奥会举办．为推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．促销期间滑雪场的收费标准是：
滑雪时间x小时
收费标准 免费 80元/人 120元/人
不足1小时的部分按1小时计算．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，，两人滑雪时间都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付的滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量X，求N的分布列和期望（结果用分数表示）．
【解析】 （1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0、80、120元，
两人都付0元的概率为；
两人都付80元的概率为；
两人都付120元的概率为．
则两人所付费用相同的概率为；
（2）设甲、乙所付费用之和为X，X可能取值为0、80、120、160、200，240
则
所以，随机变量X的分布列为：
X 0 80 120 160 200 240
P
元．
9．（2022·山西怀仁·高三期末（理））2022年第24届冬季奥林匹克运动会，简称“北京张家口冬奥会”，将在2022年02月04日~2022年02月20日在北京市和张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京将承办所有冰上项目，延庆和张家口将承办所有的雪上项目.下表是截取了2月5日和2月6日两天的赛程表：
2022年北京冬奥会赛程表（第七版，发布自2020年11月）
2022年2月 北京赛区 延庆赛区 张家口赛区
开闭幕式 冰壶 冰球 速度滑冰 短道速滑 花样滑冰 高山滑雪 有舵雪橇 钢架雪车 无舵雪橇 跳台滑雪 北欧两项 越野滑雪 单板滑雪 冬季两项 自由式滑雪 当日决赛数
5日 * * 1 1 * 1 1 * 1 1 6
6日 * * 1 * 1 1 1 1 1 1 7
说明：“*”代表当日有不是决赛的比赛；数字代表当日有相应数量的决赛.
(1)（i）若在这两天每天随机观看一个比赛项目，求恰好看到冰球和跳台滑雪的概率；
（ii）若在这两天每天随机观看一场决赛，求两场决赛不在同一赛区的概率；
(2)若在2月6日（星期日）的所有决赛中观看三场，记为赛区的个数，求的分布列及期望.
【解析】 (1)记“在这两天每天随机观看一个项目，恰好看到冰球和跳台滑雪”为事件．
由表可知，在这两天每天随机观看一个项目，共有种不同方法，
其中恰好看到冰球和跳台滑雪，共有2种不同方法．
所以，恰好看到冰球和跳台滑雪的概率（A）．
记“在这两天每天随机观看一场决赛，两场决赛恰好在同一赛区”为事件．
由表可知，在这两天每天随机观看一场决赛共有种不同方法，
其中两场决赛恰好在北京赛区共有2种不同方法，在张家口赛区共有．
所以（B）．
所以两场决赛不在同一赛区得概率为
(2)随机变量的所有可能取值为1，2，3．
根据题意，，
，
．
随机变量的分布列是：
1 2 3
数学期望．
10．（2021·广东·广州市真光中学高三阶段练习）为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动为了了解学生在越野滑轮和早地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：
(1)现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；
(2)现有一名早地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；
(3)某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降 转弯 八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”在指导后，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.4.求在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”的概率.
【解析】 (1)解：记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件，现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为种，
参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，
所以；
(2)解：的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所，
，，．
的分布列为：
0 1 2
；
(3)甲同学总考核成绩为“优”的概率为.
11．（2021·广东·高三阶段练习）北京冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张家口同为主办城市，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后进行了一次考核.为了解本次培训活动的效果，从中随机抽取80名志愿者的考核成绩，根据这80名志愿者的考核成绩得到的统计图表如下所示.
女志愿者考核成绩频率分布表
考核成绩 频数 频率
2 0.050
13 0.325
18 m
a 0.100
b 0.075
若参加这次考核的志愿者考核成绩在内，则考核等级为优秀.
(1)分别求出m，a，b的值，以及这次培训考核等级为优秀的男志愿者人数；
(2)若从样本中考核等级为优秀的志愿者中随机抽取3人进行学习心得分享，记抽到男志愿者的人数为，求的分布列及数学期望.
【解析】 (1)由女志愿者考核成绩的频率分布表可知被抽取的女志愿者的人数为．因为，所以
所以，
因为被抽取的志愿者人数是80，所以被抽取的男志愿者人数是．
由男志愿者考核成绩频率分布直方图可知男志愿者这次培训考核等级为优秀的频率为，
则这次培训考核等级为优秀的男志愿者人数为；
(2)由（1）知，考核评定为优秀的女志愿者为7人，男志愿者为5人，
由题意可知X的可能取值为0，1，2，3．
，，
，
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故
12．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）2021年5月12日，2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展览中心．为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了一场赢取吉祥物挂件的“双人对战”游戏，游戏规则如下：参与对战的双方每次从装有3个白球和2个黑球（这5个球的大小、质量均相同，仅颜色不同）的盒子中轮流不放回地摸出1球，摸到最后1个黑球或能判断出哪一方获得最后1个黑球时游戏结束，得到最后1个黑球的一方获胜．设游戏结束时对战双方摸球的总次数为X．
(1)求随机变量X的概率分布；
(2)求先摸球的一方获胜的概率，并判断这场游戏是否公平．
【解析】（1）由题可得，X的所有可能取值为2，3，4，
且，
，
，
X的分布列为
X 2 3 4
P
（2）先摸球的一方获胜，包括以下几种情况：双方共摸3次球，出现白黑黑、黑白黑、白白白这三种情况，即，
双方共摸4次球，出现的恰好是三白一黑且前三次必定出现一次黑球的情形，
概率为，
所以先摸球的一方获胜的概率为．
因为，所以这场游戏是不公平的．
13．（2021·河南·辉县市第一高级中学高二阶段练习（理））在第24届冬奥会的志愿者选拔工作中，某高校承办了冬奥会志愿者选拔的面试工作，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩分五组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右前三个组的频率成等差数列，第一组和第五组的频率相同.
（1）求，的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到0.1）；
（2）冰球项目的场地服务需要5名志愿者，有4名男生和3名女生通过该项志愿服务的选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将5张写有“中签”和5张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，记男生中签的人数为，求的分布列及数学期望.
【解析】（1）由题意可知：，
解得，，
所以平均值等于
中位数等于
（2）可能取值为
，，，
所以的分布列为：
所以数学期望.
14．（2022·全国·高三专题练习）水立方、国家体育馆、五棵松体育馆、首都体育馆、国家速滑馆是2022冬奥会的比赛场馆. 现有8名大学生报名参加冬奥会志愿者比赛场馆服务培训，其中1人在水立方培训，3人在国家体育馆培训，4人在五棵松体育馆培训.
（1）若从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆培训，求所抽调的2人来自不同场馆的概率；
（2）若从中一次抽调3名大学生志愿者到首都体育馆培训，要求这3人中来自水立方的人数和来自国家体育馆的人数都不超过来自五棵松体育馆的人数. 设从五棵松抽出的人数为，求随机变量的概率分布列及数学期望.
【解析】（1）、设“从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆，所抽调2人来自不同场馆”，在8名大学生一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆培训，所有基本事件种情况. 若2人都来自国家体育馆有种情况，若2人都来自五棵松体育馆有种情况，所以抽调的2人来自不同场馆的概率.
（2）由题意的所有可能取值为.及来自五棵松体育馆的人数至少是1人，则满足题设条件的情况共有：种.
当时，只有一种情况水立方、国家体育馆、五棵松体育馆各抽1人，共种，此；
当时，水立方1人、五棵松体育馆2人或国家体育馆各1人，五棵松体育馆2人，共=24种，,
当时，3人都来自于五棵松体育馆，共种.
的分布列如下：
.
15．（2021·黑龙江·哈九中高三阶段练习（理））冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届.第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行，为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，某市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在全市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：
（1）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，求选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30人以下的概率.
（2）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化 请说明理由.
【解析】（1）记“选出的两所学校参与旱地冰壶人数在30人以下”为事件，
参与旱地冰壶人数在30人以下的学校共6所，随机选择2所学校共种，
所以.
因此选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30人以下的概率为.
（2）答案不唯一.
答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化.
理由如下：
指导前，甲同学总考核为“优”的概率为.…
指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化.
答案示例2：无法确定.理由如下：
指导前，甲同学总考核为“优”的概率为.…
虽然概率非常小，但是也可能发生，
所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化.
16．（2020·北京延庆·高二期中）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记表示学生的考核成绩，并规定为考核合格．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如图茎叶图：
（Ⅰ）请根据图中数据，写出该考核成绩的中位数、众数，若从参加培训的学生中随机选取1人，估计这名学生考核为合格的概率；
（Ⅱ）从图中考核成绩满足的学生中任取3人，设表示这3人中成绩满足的人数，求的分布列和数学期望．
【解析】（Ⅰ）由茎叶图得：该考核成绩的中位数为：，众数为77，
30名学生中，合格学生人数为26人，从参加培训的学生中随机选取1人，估计这名学生考核为合格的概率为；
（Ⅱ）从图中考核成绩满足的学生中任取3人，的学生共有7人，其中成绩满足的有3人，
设表示这3人中成绩满足的人数，则的可能取值为0，1，2，3，
，，，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
数学期望．
17．（2022·全国·高三专题练习（理））单板滑雪型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩．现有运动员甲、乙二人在2021赛季单板滑雪型池世界杯分站比赛成绩如下表：
分站 运动员甲的三次滑行成绩 运动员乙的三次滑行成绩
第1次 第2次 第3次 第1次 第2次 第3次
第1站 80.20 86.20 84.03 80.11 88.40 0
第2站 92.80 82.13 86.31 79.32 81.22 88.60
第3站 79.10 0 87.50 89.10 75.36 87.10
第4站 84.02 89.50 86.71 75.13 88.20 81.01
第5站 80.02 79.36 86.00 85.40 87.04 87.70
假设甲、乙二人每次比赛成绩相互独立．
（1）从上表5站中随机选取1站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；
（2）从上表5站中任意选取2站，用表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求的分布列和数学期望；
（3）假如从甲、乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪型池比赛，根据以上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由．
（注：方差，其中为，，…，的平均数）
【解析】 (1)解：设“该站运动员甲的成绩高于该站运动员乙的成绩”为事件；
运动员甲第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为：
86.20、92.80、87.50、89.50、86.00，
运动员乙第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为：
88.40、88.60、89.10、88.20、87.70，
其中第2站和第4站甲的成绩高于乙的成绩，
∴；
(2)的可能取的值为0，1，2，
则，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2
；
(3)答案一：推荐乙．
理由是：从2021赛季前5站的成绩可以看出：任意1站运动员甲的成绩高于该站运动员乙的成绩的概率为，
乙的成绩高于该站运动员甲的成绩的概率为．因为，所以乙的成绩好于甲的成绩的可能性大．
答案二：推荐乙．
用“”表示任意1站运动员甲的成绩高于乙的成绩，
用“”表示任意1站运动员甲的成绩低于乙的成绩，
则，，
，，
用“”表示运动员乙的成绩高于甲的成绩，
用“”表示运动员乙的成绩低于甲的成绩，则，
，，
因为，所以乙的成绩好于甲的成绩．
答案三：推荐乙．
甲5站的平均成绩为：，
乙5站的平均成绩为：，
甲5站成绩方差为：
，
乙5站成绩方差为：
，
说明甲乙二人水平相当，表明乙的发挥比甲的更稳定，
所以预测乙的成绩会更好．
答案四：推荐甲．
甲5站的平均成绩为：，
乙5站的平均成绩为：，
甲乙5站的平均成绩虽然相同，但是甲成绩的极大值为92.80，乙成绩的极大值为89.10，
甲成绩的极大值高于乙成绩的极大值，所以甲的成绩会比乙的更好．
18．（2021·河北衡水中学模拟预测）第24届冬奥会将于2022年2月在中国北京市和张家口巿联合举行．某城市为传播冬奥文化，举行冬奥知识讲解员选技大赛．选手需关注活动平台微信公众号后，进行在线答题，满分为200分．经统计，有40名选手在线答题总分都在内．将得分区间平均分成5组，得到了如图所示的频率分布折线图．
（1）请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图，并估计这40名选手的平均分；
（2）根据大赛要求，在线答题总分不低于190分的选手进入线下集训，线下集训结束后，进行两轮考核．第一轮为笔试，考试科目为外语和冰雪运动知识，每科的笔试成绩从高到低依次有，，，四个等级．两科均不低于，且至少有一科为，才能进入第二轮面试，第二轮得到“通过”的选手将获得“冬奥知识讲解员”资格．已知总分高于195分的选手在每科笔试中取得，，，的概率分别为，，，；总分不超过195分的选手在每科笔试中取得，，，的概率分别为，，，；若两科笔试成绩均为，则无需参加“面试”，直接获得“冬奥知识讲解员”资格；若两科笔试成绩只有一个，则要参加面试，总分高于195分的选手面试“通过”的概率为，总分不超过195分的选手面试“通过”的概率为．若参加线下集训的选手中有2人总分高于195分，求恰有两名选手获得“冬奥知识讲解员”资格的概率．
【解析】（1）根据频率分布直方图的中位数的计算公式，可得数据的平均分为：
．
频率分布直方图如图所示：
（2）由题意，可得总分不低于190分的选手有人，
其中有2人总分高于195分，2人总分不高于195分，
设高于195分的选手获得“冬奥知识讲解员”资格为事件，不超过195分的选手获得“冬奥知识讲解员”资格为事件，
则，
，
故．
19．（2021·全国·高三专题练习）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京举行实践“绿色奥运、科技奥运、人文奥运”理念，举办一届“有特色、高水平”的奥运会，是中国和北京的庄严承诺，也是全世界的共同期待.为宣传北京冬奥会，激发人们参与冬奥会的热情，某市开展了关于冬奥知识的有奖问答.从参与的人中随机抽取100人，得分情况如下：
（1）得分在80分以上称为“优秀成绩”，从抽取的100人中任取2人，记“优秀成绩”的人数为，求的分布列及数学期望；
（2）由直方图可以认为，问卷成绩值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
①求；
②用所抽取100人样本的成绩去估计城市总体，从城市总人口中随机抽出2000人，记表示这2000人中分数值位于区间的人数，利用①的结果求.
参考数据：，，，，.
【解析】（1）得分80以上的人数为，可能取值为0，1，2
，，，
分布列为：
0 1 2
.
（2）
取，
①
②，
20．（2021·湖北·汉川市实验高级中学高二期中）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.
（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
（2

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