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23 个三角和三角函数基础专题
23 个三角和三角函数基础专题
关于三角和三角函数：
1、概念要清楚：能在直角三角形中画出正弦、余弦、正切、余切的边比值.
2、诱导公式会用：特别是“奇变偶不变，符号看象限”.
3、二角和差的公式会用：正弦、余弦、正切.
4、积化和差、和差化积的公式会用：起码要会用二角和差公式来推导.
5、正弦定理要熟悉：完整的定理形式，结合圆.
6、余弦定理要熟悉：完整的定理形式，包括勾股定理和锐角、直角和钝角形式.
例 1、设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别为 a,b,c .若 b c 2a ，则 3sin A 5sin B ，则
角 C （ ）
2 3 5
(A) (B) (C) (D)
3 3 4 6
例 2、在 ABC 中， a 3 ， b 2 6 ， B 2 A .
(I)求 cos A 的值， (II)求 c 的值.
例 3、在 ABC 中，角 A, B,C 对应的边分别是 a,b,c . 已知cos 2A 3cos(B C) 1 .
（Ⅰ）求角 A 的大小；
（Ⅱ）若 ABC 的面积 S 5 3 ， b 5 ，求sin BsinC 的值.
例 4、将函数 y 3 cos x sin x(x R)的图像向左平移 m(m 0)个长度单位后，所得到的图
像关于 y 轴对称，则 m 的最小值是（ ）
5
(A) (B) (C) (D)
12 6 3 6
例 5、在 ABC 中，角 A, B,C 对应的边分别是 a,b,c .已知cosC (cos A 3 sin A)cos B 0 .
⑴ 求角 B 的大小；
⑵ 若 a c 1 ，求 b 的取值范围.
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23 个三角和三角函数基础专题
b
例 6、在 ABC 中，角 A, B,C 对应的边分别是 a,b,c .若 a sin BcosC c sin Bcos A ，且
2
a b ，则 B ( )
2 5
(A) (B) (C) (D)
6 3 3 6
例 7、在 ABC 中，角 A, B,C 对应的边分别是 a,b,c .若 bcosC ccos B asin A ，则 ABC 的
形状为( )
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定
例 8、设当 x 时，函数 f (x) sin x 2cos x 取得最大值，则 cos （ ）
1
例 9、设 为第二象限角，若 tan( ) ，则sin cos （ ）
4 2
例 10、求证： o o o o3 tan18 tan18 tan12 3 tan12 1 .
例 11、求证： o o o o 22(1 tan1 )(1 tan 2 ) (1 tan43 )(1 tan44 ) 2
1
例 12、求证： cos6 cos 42 cos66 cos78
16
o sin 3 例 13、已知： （0,90 ），求方程： o2sin54
sin
例 14、设 2tan , tan 是方程 x 3x 2 0 的两个根,则 tan( ) 的值为（ ）.
例 15、在 2 2 2ABC 中,若 sin A sin B sin C ,则 ABC 的形状是（ ）.
例 16、在 2 2 2ABC 中,内角 A, B,C 所对边长分别为 a,b,c ,若 a b 2c ,则 cosC 的最小值为
（ ）
3 2 1 1
A． B． C． D．
2 2 2 2
y
例 17、函数 f (x) sin( x ) 的导函数 y f '(x) 的部分图
P
像如图 17 所示,其中, P 为图像与 y 轴的交点, A,C 为图像
x
O A C
与 x 轴的两个交点, B 为图像的最低点.
B 图 17
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23 个三角和三角函数基础专题
3 3
(1)若 ,点 P 的坐标为 (0, ) ,则 （ ） ;
6 2
(2)若在曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点 ,则该点在 ABC 内的概率为
（ ）
例 18、在 ABC 中,内角 A, B,C 所对边长分别为 a,b,c .若 (a b c)(a b c) ab ,则角 C
（ ）.
3 5 1
例 19、证明： sin sin sin .
14 14 14 8
2 3 1
例 20、证明： cos cos cos .
7 7 7 2
例 21、已知：sin A sin B sinC 0 ，cos A cos B cosC 0 ，求： 2 2 2cos A cos B cos C
例 22、求： 4 o 4 o 4 ocos 20 cos 40 cos 80 的值.
1
例 23、已知向量 m (sin x,1) ， n ( 3Acos x, Acos 2x) ，（ A 0 ），函数 f (x) m n 的最
3
大值为 6 .
(Ⅰ)求 A ;

(Ⅱ)将函数 y f (x) 的图象向左平移 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原
12
1 5
来的 倍,纵坐标不变,得到函数 y g(x) 的图象.求 g(x) 在[0, ]上的值域.
2 24
23 个三角和三角函数基础专题解析
例 1 、 设 ABC 的 内 角 A, B,C 所 对 边 的 长 分 别 为 a,b,c . 若 A
b c 2a ，则 3sin A 5sin B ，则角 C （ ）
2 3 5
(A) (B) (C) (D) D
3 3 4 6
a sin A 5
解析：由正弦定理得： ，即： 3a 5b ①
b sin B 3 B C
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23 个三角和三角函数基础专题
由 b c 2a 得： c 2a b ②
由余弦定理得：
2 2 2 2 2 2 2a b c a b (2a b) 3a 4ab 3a 4b 5b 4b 1
cosC
2ab 2ab 2ab 2b 2b 2
2
故： C . 本题答案 B.
3
例 2、在 ABC 中， a 3 ， b 2 6 ， B 2 A .
(I)求 cos A 的值， (II)求 c 的值.
a sin A sin A sin A 1
解析：(I)由正弦定理得：
b sin B sin 2A 2sin Acos A 2cos A
1 a 3 6
代入 a 3 ， b 2 6 得： ，故： cos A
2cos A b 2 6 3
(II)由余弦定理得： 2a 2b 2c 2bccos A
6
即： 9 24 2c 24 6c ，即： c 8c 15 0
3
即： (c 3)(c 5) 0 ，故： c 3 或 c 5 .
2 2 2 2 2 2a c b 3 3 (2 6 ) 1
⑴当 c 3 时，由余弦定理得： cos B
2ac 2 3 3 3
2 2 2 2 2 2b c a (2 6 ) 3 3 6
而： cos A
2bc 2 (2 6 ) 3 3
2 6则： 2
1
cos 2A 2cos A 1 2 ( ) 1
3 3
此时不满足： B 2A .
2 2 2 2 2 2
a c b 3 5 (2 6 ) 1
⑵当 c 5 时，由余弦定理得： cos B
2ac 2 3 5 3
2
b 2 2 2 2 2c a (2 6 ) 5 3 6
而： cos A
2bc 2 (2 6 ) 5 3
则： 2
6 2 1
cos 2A 2cos A 1 2 ( ) 1
3 3
此时满足： B 2A .
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23 个三角和三角函数基础专题
故 c 5 .
6
本题答案：(I) cos A ；(II) c 5 .
3
例 3、在 ABC 中，角 A, B,C 对应的边分别是 a,b,c . 已知cos 2A 3cos(B C) 1 .
（Ⅰ）求角 A 的大小；
（Ⅱ）若 ABC 的面积 S 5 3 ， b 5 ，求sin BsinC 的值.
解析：(I)因为 A B C ，所以 cos(B C) cos A
代入 cos 2A 3cos(B C) 1得： cos2A 3cos A 1
即： 2 2(2cos A 1) 3cos A 1 ，即： 2cos A 3cos A 2 0
即： (2cos A 1)(cos A 2) 0 ①
1
因为： cos A 1 ，故由①得： cos A ，则： A
2 3
1
(Ⅱ)由 ABC 的面积公式 S bc sin A得：
2
2S 2 5 3 2 5 3
c 4
bsin A
5 sin 35
3 2

由余弦定理得： 2 2 2a b c 2bccos A 25 16 2 5 4 cos 21
3
b c
由正弦定理得： sin B sin A ， sinC sin A
a a
bc 2 5 4 2 20 3 5故： sin BsinC sin A sin
2
a 21 3 21 4 7
5
本题答案：(I) A (Ⅱ) sin BsinC .
3 7
例 4、将函数 y 3 cos x sin x(x R)的图像向左平移 m(m 0)个长度单位后，所得到的图
像关于 y 轴对称，则 m 的最小值是（ ）.
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5
(A) (B) (C) (D)
12 6 3 6
3 1
解析：函数 y 3 cos x sin x 2( cos x sin x) 2sin(x )
2 2 3

根据“左加右减”，图象左移 m 单位后的函数为： y 2sin(x m )
3
此时图象关于 y 轴对称.

根据“奇变偶不变”，关于 y 轴对称的函数是 f (x) cos x ， f (x) sin(x ) 等.
2

即： y 2sin(x m ) 2sin(x )
3 2

即： m ，即： m .
3 2 2 3 6

当然， f (x) sin(x )也是关于 y 轴对称的函数，但求出的 m 是不在四个选项中.
2

本题答案： m .
6
例 5、在 ABC 中，角 A, B,C 对应的边分别是 a,b,c .已知cosC (cos A 3 sin A)cos B 0 .
⑴ 求角 B 的大小；
⑵ 若 a c 1 ，求 b 的取值范围.
解析：⑴ 由已知 cosC (cos A 3 sin A)cos B 0 得：
cosC (cos A 3 sin A)cos B cos Acos B 3 sin Acos B ①
因为： A B C
所以： cosC cos[ (A B)] cos(A B) cos Acos B sin Asin B ②
比较①②两式得： 3 sin Acos B sin Asin B

即： tan B 3 ，故： B
3
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⑵ 已知 a c 1 ，求 b 的取值范围.
a c 1 1
由于 a,c 0 ，所以由均值不等式得： ac ，即： ac ③
2 2 4
由余弦定理得： 2 2 2 2

b a c 2accos B (a c) 2ac 2ac cos
3
即： 2 2b (a c) 3ac 1 3ac ④
因为 2a,c 0 ，所以由④得： b 1 3ac 1 ，故： b 1 ⑤
1 3 3 1
由③式： ac ，即： 3ac ，即： 1 3ac 1 ⑥
4 4 4 4
1 1
将⑥代入④得： 2b 1 3ac ，故： b ⑦
4 2
1 1
综上⑤⑦得， b [ ,1) . 本题答案：⑴ B ；⑵ b [ ,1) .
2 3 2
b
例 6、在 ABC 中，角 A, B,C 对应的边分别是 a,b,c .若 a sin BcosC c sin Bcos A ，且
2
a b ，则 B ( )
2 5
(A) (B) (C) (D)
6 3 3 6
解析：由正弦定理得： a 2Rsin A， b 2Rsin B ， c 2RsinC

且由 a b 得： A B ，即： B
2
b 1
代入 a sin BcosC c sin Bcos A 得： sin Asin BcosC sinC sin Bcos A sin B
2 2
1 1 1
即： sin AcosC sinC cos A ，即： sin(A C) ，即：sin B
2 2 2
1
由 B 及 sin B 得： B . 本题答案 A.
2 2 6
例 7、在 ABC 中，角 A, B,C 对应的边分别是 a,b,c .若 bcosC ccos B asin A ，则 ABC 的
形状为( )
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(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定
解析：由正弦定理得： a 2Rsin A， b 2Rsin B ， c 2RsinC
代入 bcosC ccos B asin A 得： sin BcosC sinC cos B sin Asin A
即： 2 2sin(B C) sin A ，即： sin A sin A

则： sin A 0 (舍)或 sin A 1 ，即： sin A ，即： ABC 为直角三角形.
2
本题答案 B.
例 8、设当 x 时，函数 f (x) sin x 2cos x 取得最大值，则 cos （ ）
解析：由辅助角公式得：
5 2 5
f (x) sin x 2cos x 5( sin x cos x) 5 sin(x )
5 5
5 2 5
其中： cos ， sin
5 5
当 x 时，函数 f (x) sin x 2cos x 取得最大值，即： f ( ) 5 sin( ) 5
即： sin( ） 1 ，即： sin cos cos sin 1
5 2 5
即： sin cos 1，即： sin 2cos 5
5 5
即： sin 5 2cos ，即： 2sin 2 2( 5 2cos ) 5 4 5 cos 4cos
故： 2 2sin 1 cos 25 4 5 cos 4cos
即： 4 4 5 cos 25cos 0 ，即： 22 2 2 5 cos 2( 5 cos ) 0
2 2 5
即： 2(2 5 cos ) 0 ，即： cos
5 5
2 5
本题答案： cos .
5
1
例 9、设 为第二象限角，若 tan( ) ，则sin cos （ ）
4 2
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2 2
sin x tan x
解析：由 2sin x 得：
2 2 2sin x cos x tan x 1
2 1
tan ( )
2
sin ( ) 4 4
1 5
，即： sin( )
4 2 1 5 4 5
tan ( ) 1 1
4 4
1
由于 为第二象限角，且 tan( ) 0 ，故： ( ) 为第三象限角.
4 2 4
5
即： sin( ) 0 ，故： sin( )
4 4 5
10
而： sin cos 2 sin( )
4 5
10
本题答案： sin cos .
5
例 10、求证： o o o o3 tan18 tan18 tan12 3 tan12 1 .
o o
证明：由 o tan18 tan12 3tan 30 o otan(18 12 )
o o
1 tan18 tan12 3
即： o o
3
o otan18 tan12 (1 tan18 tan12 )
3
代入可得：
o o o o o o o o
3 tan18 tan18 tan12 3 tan12 = 3(tan18 tan12 ) tan18 tan12
3
o o o o= 3 (1 tan18 tan12 ) tan18 tan12
3
o o o o=1 tan18 tan12 tan18 tan12 1
证毕.
例 11、求证： o o o o 22(1 tan1 )(1 tan 2 ) (1 tan43 )(1 tan44 ) 2 .
o
o tan 45 tan 证明： (1 tan )[1 tan(45 )] (1 tan )[1 ]
o1 tan 45 tan
1 tan 2
(1 tan )(1 ) (1 tan )( ) 2
1 tan 1 tan
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即： o(1 tan1 )(1 otan44 ) 2 ；
o o
(1 tan 2 )(1 tan43 ) 2 ；
(1 o otan 3 )(1 tan42 ) 2 ；
……
o o(1 tan 22 )(1 tan 23 ) 2
等式两边相乘得： o o o o 22(1 tan1 )(1 tan 2 ) (1 tan43 )(1 tan44 ) 2 .
证毕.
1
例 12、求证： cos6 cos 42 cos66 cos78
16
证明：由三倍角公式：cos 3 o o4cos cos(60 )cos(60 )
cos 3
或： o4cos(60 o)cos(60 )
cos
cos 3
或： 24 cos 3
cos
这就是 3 倍角的余弦公式，它是以 o60 为“中心”的 4 倍“关系”
直接利用 3 倍角余弦公式来证明本题.
由于本题也是以 o 为“中心”，有 o 和 o o ，再补充一个 o o o60 6 60 6 60 6 54 即可.
o o
o o o o o o o cos 42 cos78
cos6 cos 42 cos66 cos78 cos6 cos54 cos66
o
cos54
o o o o
o o o
cos 42 cos78 o cos 42 cos78
4cos6 cos54 cos66 cos(3 6 )
o o
4 cos54 4 cos54
o o o
cos18 cos 42 cos78 o o4 cos18 cos(60 o o o18 )cos(60 18 )

o
4 cos54 o16 cos54
o o
cos(3 18 ) cos54 1

o o . 证毕.
16 cos54 16 cos54 16
sin 3
例 13、已知： （ o0,90 ），求方程： o2sin54
sin
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解析：由： sin 3 o o4sin sin(60 )sin(60 )
A
sin 3
或： o o4 sin(60 )sin(60 )
sin
sin 3 D
或： 3 2 24 sin 1 4cos ①
sin
这就是 3 倍角的正弦公式来解本题. B C
如图所示 o oABC ， A 36 ， B C 72 ， BD 是角 B 的平分线，
1
故 oABD DBC B 36
2
设： BC a ， CD b ，则： BD AD a , AC a b
那么： BCD∽ ABC (三个角对应相等)
BC CD
故: ，即： 2BC AC CD ，故： 2a (a b)b
AC BC
a 1 5
令： ，则上式变为： 2 1，则： .
b 2
这个是黄金分割比例.
于是，由余弦定理得： 2 2 2BC AC AB 2AC AB cos A
即： 2 2 2 oa 2(a b) 2(a b) cos 36
2 2 2 22(a b) a a
即: o osin54 cos 36 1 1
2
2(a b) 2(a 2 2b) 2( 1)
将 2 1代入上式得：
o o 1 2 1 2 5 1 5
sin54 cos 36 1
2( 1) 2 2 3 5 4 2

故： o osin54 cos 36 ②
2
sin 3
于是待解方程变为： o2sin54 ③
sin
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sin 3 2 sin 3 由① 和③ o1 4 cos 2sin54 得： 1 24cos
sin sin
1
即： 2cos
4
由于： （ o0,90 ）
1 5
1
1 3 5 6 2 5
故： cos 2
4 4 8 4
2(1 5 ) 1 5

4 4 2

即： cos ④
2
对比②和④，则： o36 . 本题答案： o36 .
例 14、设 tan , tan 是方程 2x 3x 2 0 的两个根,则 tan( ) 的值为（ ）.
A． 3 B． 1 C． 1 D． 3
解析：根据韦达定理： tan tan 3 ， tan tan 2
则由 2 倍角的正切公式得：
tan tan 3
tan( ) 3
1 tan tan 1 2
故：本题答案 A.
例 15、在 2 2 2ABC 中,若 sin A sin B sin C ,则 ABC 的形状是（ ）.
A．锐角三角形. B．直角三角形. C．钝角三角形. D．不能确定.
解析：由正弦定理得： a 2Rsin A， b 2Rsin B ， c 2RsinC
故： 2 2 2 2 2 2sin A sin B sin C ，即： a b c
由于勾股定理： 2 2 2 2 2a b c 为直角三角形，所以 a b 2c 为钝角三角形.
2 2 2a b c
或者由余弦定理： cosC 0 ，则 C 是钝角.
2ab
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本题答案 C.
例 16、在 ABC 中,内角 2 2 2A, B,C 所对边长分别为 a,b,c ,若 a b 2c ,则 cosC 的最小值为
（ ）
3 2 1 1
A． B． C． D．
2 2 2 2
2 22 2 a b
2 2 2
a b
2 2a b c a b
解析：由余弦定理得： cosC 2
2ab 2ab 4ab
2
a 2b 2ab 1
由均值不等式得：
4ab 4ab 2
1
故： cosC
2
1
当 a b c 时， C ， cosC .
3 2
1
即 cosC 的最小值为 . 本题答案 C.
2
例 17、函数 f (x) sin( x ) 的导函数 y f '(x) 的部分图像如图 17 所示,其中, P 为图像与 y
轴的交点, A,C 为图像与 x 轴的两个交点, B 为图像的最低
y
点.
P
3 3
(1)若 ,点 P 的坐标为 (0, ) ,则 （ ） ;
6 2
x
O A C
(2)若在曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点,则
B 图 17
该点在 ABC 内的概率为（ ）
解析：函数 f (x) sin( x ) 的导函数 f '(x) cos( x )
3 3 3 3 3 3
⑴ 对于 P(0, ) 点，有 f '(0) cos ，则：
2 2 2cos
第 13 页
23 个三角和三角函数基础专题
3 3 3 3
将 代入上式得： 3
6
2cos 3
6
⑵ 求曲线 ABC 的面积与 x 轴的面积 S1
不妨将曲线向左平移，使 A 点平移到 O 点
T 2
则 xA 0 ， xC ，曲线为： g(x) sin x
2 2
于是曲线与 x 轴所围面积 S1 为：

S 1 g(x)dx sin xdx 0 0

sin( x)d( x) cos( x) 0 0

cos( ) cos0 2


而对于 ABC ，其底 AC xC xA ，其高为 gm (x) ，其中 gm (x) 是 g(x) 的极


值. 这里 gm (x) sin
2
则 ABC 的面积为：
1 1
S ABC AC gm (x)
2 2 2

S
本问是几何概型，其概率为： P ABC 2
S1 2 4

本题答案：⑴ 3 ；⑵ P .
4
例 18、在 ABC 中,内角 A, B,C 所对边长分别为 a,b,c .若 (a b c)(a b c) ab ,则角 C
（ ）.
解析：由 2 2(a b c)(a b c) ab 得： (a b) c ab
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23 个三角和三角函数基础专题
即： 2 2 2 ，即： 2 2 2a b c 2ab ab a b c ab
2 2 2
a b c
即： 1
ab
2 2 2
a b c 1
由余弦定理得： cosC
2ab 2
2
即： C .
3
2
故本题答案：角 C .
3
3 5 1
例 19、证明： sin sin sin .
14 14 14 8
2
sin

证明：由二倍角公式可得： sin 14 ①
14
2cos
14
由积化和差公式得：
2 5 1 2 5 2 5
sin sin [cos( ) cos( )]
14 14 2 14 14 14 14
1 7 3
[cos( ) cos( )]
2 14 14
1 3 1 3
(cos cos ) cos ②
2 2 14 2 14
于是，将①②式代入待证式：
2
sin
3 5
sin sin sin 14
5 3
sin sin
14 14 14 14 14
2cos
14
3 3
sin sin
14 2 5 1 3 sin sin 14 ( cos )
14 14 2 14
2cos 2cos
14 14
3 3 6 6
cos sin sin cos( )
14 14 14 2 14 1 . 证毕.
8
4 cos 8cos 8cos
14 14 14
第 15 页
23 个三角和三角函数基础专题
2 3 1
例 20、证明： cos cos cos .
7 7 7 2
证明：本题画图证明更清晰. C
A

3
⑴首先计算一下， 7
2 7
O B D E
然后看图：

设： O ， OA AB BC CD 1 ，即：全是等腰三角形.
7
2
由三角形的外角等于它的两个不相邻的内角和得： BAC 2 O
7
2 3
CBD O ACB O BAC
7 7 7
3 3
于是： BDC CBD ， OCD
7 7
故： OCD 是等腰三角形，即： OC OD
2
⑵ OA 1 ， AC 2ABcos BAC 2cos
7
3
OB 2OAcos O 2cos ， BD 2CDcos BDC 2cos
7 7
2 3
代入 OC OD 得： 1 2cos 2cos 2cos
7 7 7
2 3 1
即： cos cos cos . 证毕.
7 7 7 2
例 21、已知： ， ，求： 2 2 2sin A sin B sinC 0 cos A cos B cosC 0 cos A cos B cos C

解析：⑴ 设向量 a (cos A,sin A)， b (cos B,sin B)， c (cosC,sinC)

则： a b c (cos A cos B cosC,sin A sin B sinC) (0,0)

即： a,b,c 构成一个完整的三角形.

又： a b c ，即：还是一个等边三角形.
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23 个三角和三角函数基础专题
2 2
故设 A ，则 B ， C
3 3
4
即： B C 2 ， B C ①
3
⑵ 由二倍角公式得：
2 2 2 1 cos 2A 1 cos 2B 1 cos 2C
cos A cos B cos C
2 2 2
3 cos 2A cos 2B cos 2C
②
2
由和差化积公式得：
cos 2B cos 2C 2cos(B C)cos(B C)
4 1
2cos 2 cos 2cos 2 ( ) cos 2 ③
3 2
将 A 及③式代入②式得：
2 2 2 3 cos 2 cos 2 3
cos A cos B cos C
2 2
本题答案： 2 2 2
3
cos A cos B cos C .
2
例 22、求： 4 ocos 20 4 o 4 ocos 40 cos 80 的值.
1 cos 2
解析：利用二倍角公式 2cos 得：
2
2
4 1 cos 2 1 2cos (1 2cos 2 cos 2 )
2 4
1 1 cos 4 3 1 1
(1 2cos 2 ) cos 2 cos 4
4 2 8 2 8
o 4 0 3 1 1代入 20 得： o ocos 20 cos 40 cos80
8 2 8
o 3 1 1 3 1 1代入 40 得： 4 0 o o o ocos 40 cos80 cos160 cos80 cos 20
8 2 8 8 2 8
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23 个三角和三角函数基础专题
o 3 1 1 3 1 1代入 80 得： 4 0 o ocos 80 cos160 cos 320 o ocos 20 cos 40
8 2 8 8 2 8
上面 3 式相加得：
4 o 4 o 4 o
cos 20 cos 40 cos 80
9 1 o 1 o 1 1 o o
1 o 1 o
cos 40 cos80 cos80 cos 20 cos 20 cos 40
8 2 8 2 8 2 8
9 5 o 5 o 5 ocos 20 cos 40 cos80
8 8 8 8
9 5
o o o(cos 20 cos 40 cos80 ) ①
8 8

利用和差化积公式： cos cos 2cos cos 得：
2 2
o
o 40
o o o80 40 80
cos 40 ocos80 2cos cos
2 2
o o
120 40
o 0 02cos cos 2cos60 cos 20 cos 20
2 2
9
代入①式得： 4 ocos 20 4 o 4 ocos 40 cos 80 .
8
9
本题答案： 4 o 4 o 4 ocos 20 cos 40 cos 80 .
8
1
例 23、已知向量 m (sin x,1) ， n ( 3Acos x, Acos 2x) ，（ A 0 ），函数 f (x) m n 的最
3
大值为 6 .
(Ⅰ)求 A ;

(Ⅱ)将函数 y f (x) 的图象向左平移 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原
12
1 5
来的 倍,纵坐标不变,得到函数 y g(x) 的图象.求 g(x) 在[0, ]上的值域.
2 24
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23 个三角和三角函数基础专题
A
解析:(Ⅰ) f (x) m n 2Acos x sin x cos 2x
2
3 1
A( sin 2x cos 2x) Asin(2x )
2 2 6
则： A 6 ;

(Ⅱ)函数 y f (x) 的图象像左平移 个单位得到函数 y 6 sin[2(x ) ]的图象,
12 12 6
1
再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,得到函数：
2

g(x) 6 sin(4 x ) .
3
5 7 1
当 x [0, ]时, 4 x [ , ]， sin(4x ) [ ,1]， g(x) [ 3,6] .
24 3 3 6 3 2
5
故函数 g(x) 在[0, ]上的值域为[ 3,6] .
24

另解:由 g(x) 6 sin(4 x )可得 g '(x) 24 cos(4 x )
3 3
令 g '(x) 0 ，得到函数 g(x) 的极值.
5
则： 4x k (k Z )，而 x [0, ] ，则： x ,
3 2 24 24

于是在区间边界 g(0) 6 sin 3 3 ， g( ) 6 sin 6
3 24 2
5 7
在极值点 g( ) 6 sin 3
24 6
5
故 3 g(x) 6 ，即 g(x) 在[0, ]上的值域为[ 3,6] .
24
本题答案：[ 3,6] .
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