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专题05 与函数的对称性相关的零点问题
【方法点拨】
若单调奇函数f(x)满足f(a)＋f(b)＝0，则a＋b＝0.一般的，若单调函数f(x)关于点(m，n)对称，且满足f(a)＋f(b)＝2n，则a＋b＝2m.
对于具有对称性的函数零点问题，要注意检验充分性，以防增解.
对称性的三个常用结论：
(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.
(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点对称.
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点对称.
【典型题示例】
例1 若函数存在个零点，则所有这些零点的和等于_____________.
【答案】
【解析】设，
则为奇函数，其图象关于坐标原点对称
所以的图象关于点（1,0）对称，故其与x轴的交点也关于点（1,0）对称
所以的所有零点的和等于.
例2 设函数，数列是公差不为0的等差数列，，则（ ）
A．0 B．7 C．14 D．21
【答案】D
【分析】根据函数值之和求自变量之和，很自然会去考虑函数的性质，而等式常常考查对称性，从而尝试去寻求函数的对称中心.
函数可以视为由与构成，它们的对称中心不一样，可以考虑对函数的图象进行平移, 比如，引入函数，则该函数是奇函数，对称中心是坐标原点，由图象变换知识不难得出的图象关于点中心对称.
【解析】∵是公差不为0的等差数列，且
∴
∴
∴
例3 函数，是自然对数的底数，存在唯一的零点，则实数的取值范围为　　
A．， B． C．， D．
【答案】A
【分析】分离函数，零点问题转化为两函数图象有唯一交点问题，再使用函数的对称性解决.
【解析】函数，是自然对数的底数，存在唯一的零点等价于：函数 与函数只有唯一一个交点，
（1），（1），
函数 与函数唯一交点为，
又，且，，
在上恒小于零，即在上为单调递减函数，
又 是最小正周期为2，最大值为的正弦函数，
可得函数 与函数的大致图象如下图：
要使函数 与函数只有唯一一个交点，则（1）（1），
（1），（1），，解得，
又，实数的范围为，．故选：．
例4 已知函数有唯一零点，则a=（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】如果利用导数研究的零点，就会小题大做，容易陷入困难.由函数与方程思想，函数的零点满足.
设，显然是由函数向右平移一个单位而得到，易知是偶函数且在上是增函数.故关于直线对称，且在上是增函数，在上是减函数，.
设，显然关于直线对称，顶点为.
若，则函数关于直线对称，且在上是减函数，在上是增函数，最大值为，.
若的图象与的图象有一个公共点A，根据对称性必有另一个公共点B.所以，不合题意；
若，函数关于直线对称，且在上是增函数，在上是减函数，最小值为.若的图象与的图象只有一个公共点，必有，得.
【解析一】，令
则易知是偶函数，所以图象关于直线对称，欲使有唯一零点， 必有，即，所以.
【解析二】　x2－2x＝－a(ex－1＋e－x＋1)，
设g(x)＝ex－1＋e－x＋1，g′(x)＝ex－1－e－x＋1＝ex－1－＝，
当g′(x)＝0时，x＝1，
当x<1时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；
当x>1时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，当x＝1时，函数g(x)取得最小值g(1)＝2，
设h(x)＝x2－2x，当x＝1时，函数取得最小值－1，
作出－ag(x)与h(x)的大致图象如图所示.
若－a>0，结合选项A，a＝－时，函数h(x)和－ag(x)的图象没有交点，排除选项A；
当－a<0时，－ag(1)＝h(1)时，此时函数h(x)和－ag(x)的图象有一个交点，即－a×2＝－1 a＝，故选C.
例5 已知关于x的方程有唯一解，则实数a的值为________.
【答案】1
【分析】利用隐藏的对称性，易得f(0)＝0，求得a＝1或a＝－3，再利用数形结合，将增解舍弃.
【解析】通过对函数f(x)＝x2＋2alog2(x2＋2)＋a2－3的研究，可发现它是一个偶函数，那么它的图象就关于y轴对称，若有唯一解，则该解必为0．
将x＝0代入原方程中，可求得a＝1或a＝－3．这就意味着，当a＝1或a＝－3时，原方程必有一解0，但是否是唯一解，还需进一步验证．
当a＝1时，原方程为x2＋2log2(x2＋2)－2＝0，即2log2(x2＋2)＝2－x2，该方程实数根的研究可能过函数y＝2log2t和函数y＝4－t的交点情况来进行，不难发现，此时是符合题意的；而当a＝－3时，原方程为x2－6log2(x2＋2)＋6＝0，即x2＋6＝6log2(x2＋2)．通过研究函数y＝4＋t和y＝6log2t可以发现，此时原方程不止一解，不合题意，需舍去．
点评：
f(0)＝0仅是函数存在零点的必要条件，要注意检验充分性，一般是代入检验进行取舍.
【巩固训练】
1.已知函数f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)=lnx－ax，若函数f(x)恰有5个零点，则实数a的取值范围是 .
2.若函数的零点有且只有一个，则实数 .
3.若函数f(x)＝x2－mcosx＋m2＋3m－8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为 ．
4.已知函数， ，则函数零点的个数所有可能值构成的集合为 ．
5.函数的图象与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）
A.2 B. 4 C.6 D.8
6.已知函数满足，若函数与图象的交点为 则 （ ）
A. 0 B. m C. 2m D. 4m
7.已知实数x、y满足，则 的值是 .
8.圆与曲线相交于点四点，为坐标原点，则_______.
9.已知函数，函数有唯一零点，则实数的值为______.
10.函数的所有零点之和为( ).
A 0 B. 2 C. 4 D. 6
11. 已知函数有唯一零点，则a=（ ）
A 4 B. 2 C. －2 D. －4
12.(2022·江苏常州·模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi＋yi)等于(　　)
A.0 B.m C.2m D.4m
【答案与提示】
1.【答案】（0，e）
【提示】分离函数，问题即为x>0时，h(x)=lnx与g(x)=ax的图象恰有2个交点，利用导数求出当a= e时，相切为临界值.
2.【答案】
【提示】同例4，利用f(x)=0，求得，而当时，不满足题意，应舍去.
3. 【答案】m=2
【提示】发现f(x)是偶函数，故得到f(0)=0，立得m=2或m=－4，难点在于对m=－4的取舍问题.思路有二，一是“分离函数”，利用“形”助数；二是利用导数知识，只需当x＞0时，函数恒增或恒减即可.
4.【答案】{0,1,2,4}
【提示】见例3.
5.【答案】B
【提示】根据对称性易得答案.
6.【答案】B
【分析】该题设计抽象函数关于点成中心对称，函数由奇函数向上平移一个单位得到，也关于点成中心对称，因而两函数图象的交点为也关于点成中心对称，，考虑倒序相加法，可得，，故.
7.【答案】2020
【提示】两边取自然对数得
设，则易得其为上的单增奇函数
所以，
故.
8.【答案】
【分析】注意发现圆与一次分式函数的图象均关于点( 3, 2)对称，利用三角形中线的向量表示，将所求转化即可.
【解析】由圆方程，可得，圆心坐标为( 3, 2)
，其对称中心为( 3, 2).
在同一直角坐标系中，画出圆和函数图像如右图所示：
数形结合可知，圆和函数都关于点M( 3, 2)对称，
故可得其交点A和C，B和 D 都关于点M( 3, 2)对称.
故，
所以.
9.【答案】或
10.【答案】A
11.【答案】C
【提示】函数关于直线x=2对称，故必有f(2)=0.
12.【答案】B
【解析】　∵f(x)＋f(－x)＝2，y＝＝1＋.
∴函数y＝f(x)与y＝的图象都关于点(0，1)对称，
∴xi＝0，yi＝×2＝m.

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