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专题11 双变量方程类存在性、任意性问题
【方法点拨】
解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质．
若f(x)，g(x)的值域分别为A，B，则有：
① x1∈D， x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，则；
② x1∈D， x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，则.
【典型题示例】
例1 已知函数，实数，满足，若，，使得成立，则的最大值为（ ）
A 4 B. C. D.
【答案】A
【解析】，则当 时，；当 时，，∴ .，作函数 的图象如图所示，当时，方程两根分别为 和，则 的最大值为.故选A.
例2 已知函数g(x)＝a－x2与h(x)＝2ln x的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是________.
【答案】　[1，e2－2]
【解析】　函数g(x)＝a－x2
与h(x)＝2ln x的图象上存在关于x轴对称的点，等价于a－x2＝－2ln x在上有解，即－a＝2ln x－x2在上有解.
设f(x)＝2ln x－x2，x∈，
则f′(x)＝.
∴f′(x)＝0在上有唯一的零点x＝1.
故f(x)在上单调递增，在(1，e]上单调递减.
∴f(x)max＝f(1)＝－1，
又f＝－2－，f(e)＝2－e2，知f(e)＜f.
∴函数f(x)的值域为[2－e2，－1].
故方程－a＝2ln x－x2在上有解等价于2－e2≤－a≤－1，即1≤a≤e2－2，
∴实数a的取值范围是[1，e2－2].
例3 已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】令，，.利用导数可求前者的值域和后者的单调性，最后根据方程的解的唯一性得到实数的取值范围.
【解析】令，，.
当时，，故在为增函数，
故在上的值域为.
又当时，，当时，，
所以在上为减函数，在上为增函数.
令，因为对任意的，总存在唯一的，使得成立，
故对直线与函数的图象有且只要一个公共点，
而，且在上为减函数，在上为增函数，
故，所以，即.
故答案为：.
例4 已知函数 ，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】当时，单调递减，；
当时，成立，
单调递增，，
所以的值域为．
设的值域为，因为存在，使得成立，
所以．，．
①，任意，成立，在单调递增，
所以，，．
因为，所以，；
②，任意，成立，在单调递减，
所以，，，
则，不合题意；
③，令，，
在递减，递增，
所以，，．
又，，
则，不合题意．
综上所述，．
点评：
存在性和恒成立混合问题注意理解题意，等量关系转化为值域的关系.
例5 已知f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m，且如果对于任意的x1∈[－2，2]，都存在x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是______________．
【答案】 [－5，－2]　
【分析】易得，，若对于，使得，只需的值域包含于的值域即可，即m－1≤－3且m＋8≥3，解得．
【解析】x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1为增函数，值域为(0，3]，
因为f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，所以f(x)在[－2，2]上的值域为[－3，3]，
函数g(x)＝x2－2x＋m在x∈[－2，2]上的值域为[m－1，m＋8]．
因为对任意的x1∈[－2，2]，都存在x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，
所以f(x)在[－2，2]上的值域是g(x)＝x2－2x＋m在x∈[－2，2]上的值域的子集，
所以，解得
即实数m的取值范围是[－5，－2]．
点评：
考查函数的单调性、奇偶性、最值、值域，以及恒成立，存在性问题，关键是理解题意，转化为值域之间的关系.
例6 已知函数f(x)＝g(x)＝－x2－2x－2．若存在a∈R，使得f(a)＋g(b)＝0，则实数b的取值范围是________．
【答案】(－2,0)
【解析】当x≤－时，f(x)＝1＋＜1，
此时f(x)＝1＋＝1＋－在上单调递减，易求得f(x)∈[－7,1)；
当x＞－时，f(x)＝log，
此时f(x)在上单调递减，易求得f(x)∈(－∞，2)，
∴f(x)的值域为(－∞，2)．
故存在a∈R，使得f(a)＋g(b)＝0 －g(b)＝f(a)∈(－∞，2) b2＋2b＋2＜2 b∈(－2,0)．
例7 已知函数，若对任意，总存在，使，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对任意，则，即函数的值域为，
若对任意，总存在，使，
设函数的值域为A，则满足，即可，
当时，函数为减函数，则此时，
当时，，
①当时，（红色曲线），即时，满足条件，
②当时，此时，要使成立，
则此时，
此时满足（蓝色曲线），即，得，
综上或，
故选：C．
例8 若存在正数，使得，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】对进行“完全分参”，两边同时除以、移项得，令，问题转化为存在正数，使得成立，再设，只需的值域.
【解析】对两边同时除以、移项得，
令，问题转化为存在正数，使得成立，
设，只需的值域.
猜根，往与的方向猜，可得
再设，则
故在区间单减
所以在区间只有一个零点为
且当时，
故有当，，单增；当，，单减
故当时，取得极大值也就是最大值为，无最小值
故即为所求.
【巩固训练】
1.已知函数f(x)＝3x2＋2x－a2－2a，g(x)＝x－，若对任意x1∈[－1,1]，总存在x2∈[0,2]，使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围是 ．
2.已知函数f(x)＝2x，x∈，函数g(x)＝kx－2k＋2(k>0)，x∈，若存在x1∈及x2∈，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数k的取值范围．
3.已知函数f(x)＝x2＋x，g(x)＝ln(x＋1)－a ，若存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝g(x2) ，求实数a的取值范围.
4.已知函数f(x)＝(x≥2)，g(x)＝ax(a＞1，x≥2)．
(1)若 x0∈[2，＋∞)，使f(x0)＝m成立，则实数m的取值范围为__________；
(2)若 x1∈[2，＋∞)， x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围为__________．
5.已知函数，，若存在实数，使得 成立，则实数的取值范围是 。
6.已知函数f(x)=，g(x)= x2 2x 2，若存在a∈R，使得f(a)+g(b)=0，则实数b的取值范围是_______________.
7.若，总使得成立，则实数的取值范围是 .
【答案或提示】
1.【答案】[－2,0]
【解析】f(x)＝3x2＋2x－a(a＋2)，则f′(x)＝6x＋2，由f′(x)＝0得x＝－.
当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0，
所以[f(x)]min＝f＝－a2－2a－.
又由题意可知，f(x)的值域是的子集，
所以
解得实数a的取值范围是[－2,0]．
2.【答案】
【解析】由题意，易得函数f(x)的值域为[0,1]，g(x)的值域为，并且两个值域有公共部分．
先求没有公共部分的情况，即2－2k>1或2－k<0，解得k<或k>，所以，要使两个值域有公共部分，k的取值范围是.
3.【答案】[－4,ln3]
【解析】f(x)值域A=[0，4]，g(x)值域B=[－a，ln3－a]，
由存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝g(x2) 知：A∩B≠
正难则反，先求出A∩B＝时，a的取值范围
由A∩B＝得：4<－a或ln3－a<0，解之得：a＜－4或a＞ln3，
故A∩B≠时，－4≤a≤ln3，
所以a的取值范围是[－4,ln3].
4.【答案】(1)[3，＋∞)　(2)(1，]
【解析】(1)因为f(x)＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立．所以若 x0∈[2，＋∞)，使f(x0)＝m成立，则实数m的取值范围为[3，＋∞)．　
(2)因为当x≥2时，f(x)≥3，g(x)≥a2，若 x1∈[2，＋∞)， x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则解得a∈(1，]．
5.【答案】（－1,3）
6.【答案】（－2,0）
7. 【答案】（－∞,1）

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