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专题18 几类函数的对称中心及应用
【方法点拨】
1.三次函数的对称中心为(，)，其中，即，.
记忆方法：类比于二次函数的对称轴方程，分母中.
2. 一次分式函数（或称双曲函数）的对称中心为.
记忆方法：横下零，纵系数（即横坐标是使分母为0的值，而纵坐标是分母、分子中的一次项系数分别作为分母、分子的值）.
3. 指数复合型函数的对称中心为.
记忆方法：横下对，纵半分（即横坐标是使分母取对数的值，但真数为保证有意义，取的是绝对值而已，而纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半）.
【典型题示例】
已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】的对称中心是，其定义域为R且单减
令，则为R上的单调递减的奇函数
由得
即
因为为奇函数，故
所以
又在R上单减，所以，解之得
所以实数的取值范围是.
例2 设是函数的导数，是的导数，若方程＝0有实数解，则称点(，)为函数的“拐点”．已知：任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设，数列的通项公式为，则＝ ．
【解析】令得，
对称中心为，
所以对于任意恒成立
因为，所以
所以
所以．
例3 已知函数与在（，且）上有个交点，，……，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由图可知交点成对出现，每对交点关于点（0,1）对称，横坐标和为0，纵坐标和为2，所以 ，选B.
【巩固训练】
1.对于定义在上的函数，点是图像的一个对称中心的充要条件是：对任意都有，判断函数的对称中心______.
2. 函数y=的对称中心是 ．
3. 设函数，数列是公差不为0的等差数列，，则（ ）
A、0 B、7 C、14 D、21
4. 已知函数（其中）图象关于点P(－1，3)成中心对称，则不等式的解集是 ．
5. 在平面直角坐标系中，已知直线与曲线依次交于 三点，若点使，则的值为_____.
6. 已知函数的图象关于坐标原点对称，则实数的值为_____.
7. 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是 .
8.已知，则的值为 ．
9.已知函数 =，若对，恒成立，则的取值范围是 ．
10. 已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11. 已知函数，若，其中，则的最小值为
A． B． C． D．
12. 函数在上的所有零点之和等于______.
【答案与提示】
1.【答案】
【分析】根据点是图像的一个对称中心的充要条件，列出式子，即可得出结果.
解：因为，由于
.即，.所以是的一个对称中心.
故答案为：.
2.【答案】（4，-1）
【解析】
3.【答案】D
【提示】根据函数值之和求自变量之和，很自然会去考虑函数的性质，而等式常常考查对称性，从而尝试去寻求函数的对称中心.
函数可以视为由与构成，它们的对称中心不一样，可以考虑对函数的图象进行平移, 比如，引入函数，则该函数是奇函数，对称中心是坐标原点，由图象变换知识不难得出的图象关于点中心对称.
4.【答案】
【解析】函数的对称中心为(－1，a)，与P(－1，3)比较得a＝3.此时，不等式，即
，由序轴标根法即得解集为.
5.【答案】1
【提示】过定点（2,2）， 对于三次函数，令 得，又，所以也关于点（2,2）对称，所以，.
6.【答案】－1
7.【答案】
【解析】的对称中心是，其定义域为R且单增（下略）.
8.【答案】
【思路一】从所求式中自变量的特征，被动发现函数的对称性.设若，尝试去求
的值，易得.
【思路二】主动发现函数的对称性，，设，则其对称中心为，则的对称中心也为，故.
9.【答案】
10.【答案】D
【分析】构造函数，判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式转化为，即，再利用函数单调性解不等式即可.
【解析】，
令，则，可得是奇函数，
又，
又利用基本不等式知当且仅当，即时等号成立；
当且仅当，即时等号成立；
故，可得是单调增函数，
由得，
即，即对恒成立.
当时显然成立；当时，需，得，
综上可得，故选：D.
11.【答案】A
【分析】通过函数解析式可推得，再利用倒序相加法求得
，得到的值，然后对分类讨论利用基本不等式求最值即可得出答案.
【解析】因为，
所以
，
令
则 ，所以
所以，所以，其中，则.
当时
当且仅当 即 时等号成立；
当时 ，
，
当且仅当 即 时等号成立；因为，所以的最小值为.故选：A.
12.【答案】8
【分析】通过化简函数表达式，画出函数图像，分析图像根据各个对称点的关系求得零点的和．
【解析】零点即 ，所以
即，画出函数图像如图所示
函数零点即为函数图像的交点，由图可知共有8个交点
图像关于 对称，所以各个交点的横坐标的和为8

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