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专题21 有关等高线求值、求范围问题
【方法点拨】
函数在两点或两点以上点处的函数值相等,我们称之为等高线,此类题常以求取值范围的形式出现,其基本方法是”减元”,即充分利用函数值相等这一条件实施”消元”.
对于函数，若存在正数，满足，则，且.
等高线问题重在”减元”,要充分利用“函数值相等”，树立目标意识，预设“消谁留谁”， 利用“函数值相等”的逆向使用，探究出自变量间的等量关系.
【典型题示例】
例1 (2022·新高考I·22改编)已知函数和，存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标分别为，则 ．
【答案】2
【分析】由“等高”得，即，这样就建立间的等量关系，为达到“减元”之目的，需在纷杂的关系中，梳理出、两组关系，发现“指对同现”想“同构”，从而得到，，代入求解即得解.
【解析】令得
所以函数在上为减函数，在上为增函数，且.
令得
所以函数在上为减函数，在上为增函数，且.
故函数和有相同的最小值1
如下图所示，当直线过函数和的交点时，满足题意，
此时，故
由，
得
即
一方面，而
所以
又因为，，且在上为减函数
所以，所以
另一方面，由，同理可得
所以
再由和得
据果移项得，所以
综上，.
例2 设函数，若互不相等的实数a，b，c满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
画出函数的图象，不妨令，则．结合图象可得，从而可得结果．
【详解】
画出函数的图象如图所示．
不妨令，则，则．
结合图象可得，故．
∴．
故选：D．
例3 已知函数，方程有四个不相等的实数根，，，，则的最小值为　 　．
【答案】50
【分析】设<<<，则，，，且
令
则
故当时，
所以的最小值为50.
例4 已知函数，若存在实数满足，则的取值范围为________.
【答案】
【分析】由得（），即，代入，设，问题转化为求取值范围问题，利用导数知识易得.
【解析】作出函数的图像如下图所示：
若存在实数满足，
根据图像可得，
所以，即，则，
令，
当时，，在区间上单调递增，
，，
所以，即.
例5 已知函数.若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据给定函数画出其图象，结合图象可得，再借助对勾函数的单调性即可计算判断作答.
【解析】作出函数的图象，如图，的递减区间是和，递增区间是和
因，，，是方程的四个互不相等的解，则，不妨令，
则有，是方程的两个根，必有，
，是方程的两个不等根，则，，
整理得，即，由得：或，因此有，，
则有，，而函数在上单调递减，从而得，
于是得，
所以的取值范围是.
故选：D
【巩固训练】
1. (多选题)已知函数，若，且，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
2. 已知函数，若存在，使得（a）（b）（c），则的最小值为　　
A． B．1 C． D．无最小值
3.已知函数存在三个互不相等的正实数a,b,c且a4.已知函数，若，且 ，则 .
5.已知函数若且，则的取值范围是_________.
6.已知函数若存在，当时，，则的取值范围是 .
7.已知函数若存在，当时，， 则的取值范围是 ．
8. 已知函数f(x)＝若互不相等的实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a＋2b＋2c的取值范围为________．
9.已知函数 若存在实数，满足，则的最大值是 ．
10.已知函数若互不相等，且则的取值范围是 ．
11. 已知函数，其中e为自然对数的底数，若存在实数x1，x2满足0≤x1＜x2≤3，且f（x1）＝f（x2），则x2－2x1的取值范围为　 　．
【答案与提示】
1. 【分析】作出函数的图象分析出，，；再对答案进行分析．
【解答】解：由函数，作出其函数图象：
由图可知，，；
当时，，有；
所以；
由有，即；
所以；
则；
故选：．
2. 2.【答案】．
【解析】由图及（a）（b）（c），
可知，且，．
则．．
设．．
，
可得函数在上单调递减，在，上单调递增．
．故选：．
3.【答案】（0,8）
【提示】易知，且
所以∈（0,8）
4.【答案】2
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】（18,34）
9.【答案】2e2－12
10.【答案】
【提示】不妨设，则，，故，只需确定的范围即可，利用图象立得解.
11.【答案】[0，1﹣ln2]
【分析】利用已知f（x1）＝f（x2）进行减元，构造函数，转化为区间上的最值问题.
【解答】由f（x1）＝f（x2）得: ，所以x2﹣2x1＝x2﹣2 e，易知1设（1则由，得
当x∈(1，2-ln2)，则g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（2-ln2，2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以当x＝2-ln2时，g（x）取极大值也是最大值，即g（x）max＝g（2-ln2）＝1﹣ln2，又
g（1）＝1－2e-1<0， g（2）＝0．
故g（x）的值域为[0，1﹣ln2]．
即x2－2x1的取值范围为[0，1﹣ln2]．

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