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专题32 关于指对的两个重要不等式
【方法点拨】
1．重要不等式：
(1)对数形式：x≥1＋ln x(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立．
(2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．进一步可得到一组不等式链：ex>x＋1>x>1＋ln x(x>0，且x≠1)．
2．树立一个转化的意识，即“等”与“不等”间的互化，运用“两边夹逼”的方法，将不等式转化为等式，关注等号成立的条件.
【典型题示例】
例1 （2022·江苏扬州中学·下学期开学检测）已知实数a，b，c满足e＋e≤a＋4b＋1(其中e为自然对数的底数)，则a2＋b2的最小值是 ．
【答案】
【解析】根据常见不等式（当且仅当，等号成立）
所以（当且仅当，等号成立）
（当且仅当，等号成立）
所以
又因为
所以（当且仅当，时成立）
所以.
例2 已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，从而得到，由，从而得到和，即可得到答案.
【解析】设，，
令，解得.，，为减函数，
，，为增函数.
所以，即，当且仅当时取等号.
所以.
故，即.
设，，
令，解得.，，为增函数，，，为减函数.
所以，即，当且仅当时取等号.所以.
所以，又因为，所以
.又因为，所以，即，
综上.故选：B.
例3 若实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】思路一：据果变形，直接使用重要不等式，两边夹逼将不等式转化为等式.
思路二：一边一个变量，构造两个函数，分别求出其最值，夹逼将不等式转化为等式.
【解析一】∵
∴
易知，当且仅当x=1时，“=”成立
∴，当且仅当，时，“=”成立
根据不等式性质有
所以
此时必有，（下略）.
【解析二】∵
∴
令，
利用导数知识易求得，
所以，即
故，此时，（下略）.
例4 已知都是正数，，，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】由，换元令，则，考虑“形”， 恒成立，夹逼得，同理处置，最后使用基本不等式求解.
【解析】，令，则
事实上（当且仅当时，“=”成立），故；
，令， 则
事实上（当且仅当时，“=”成立），故；
所以，（当且仅当，时，“=”成立）
故的最大值是．
【巩固训练】
1.已知正实数满足，则 ．
2.己知实数a，b，c满足（e为自然对数的底数），则的最小值是 .
3.若对于任意正实数，不等式恒成立，则实数的最大值是 ．
4. 己知实数a，b满足（e为自然对数的底数），则a+2b= .
5.实数，满足且 ，则的取值为__________.
6. 已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为______.
7.（多选题）经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象上都有且只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数．若函数图象的对称中心点为，且不等式对任意恒成立，则（ ）
A. B.
C. m的值可能是 D. m的值不可能是
【答案或提示】
1.【答案】
【解析】
当且仅当，，即，时，“=”成立，此时．
2.【答案】
【分析】将已知变形为[(，联系重要不等式，夹逼得.
【解析】∵ ∴，
所以
又∵ ∴
当且仅当时成立
∴，所以.
3.【答案】
【提示】由，得
，所以.
4. 【答案】1
【提示】由，得
,而
故，此时，，所以.
5.【答案】
【分析】不等式变形为，引入新函数后，由导数确定函数的单调性与极值，从而确定结论．
【解析】原不等式可化为，令，，则，
令，则，
时，，递减，时，，递增，
所以，对有，所以恒成立，
因此，由得，且．
，．
故答案为：．
6.【答案】
【解析】因为，当且仅当时，“=”成立
所以不等式恒成立转化为对任意的恒成立，解之得.
7.【答案】ACD
【分析】先根据对称中心求解出的值，再根据求解出的值，由此可求的解析式；根据不等式恒成立，通过分离参数得到，借助不等式得到，由此求解出的范围并判断.
【解析】由题意可得，
因为，所以，
所以，
解得，故.
因为，所以等价于.
设，则，
从而在上单调递增.
因为，所以，即，
则（当且仅当时，等号成立），
从而，故.
故选：ACD

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