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2022-2023学年苏科版九年级数学上册《2.4圆周角》解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．
求证：CF＝BF．
2．如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．
（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由；
（2）如果BC＝6，AB＝5，求BE的长．
3．如图，⊙O的弦AB＝10，P是弦AB所对优弧上的一个动点，tan∠APB＝2，
（1）若△APB为直角三角形，求PB的长；
（2）若△APB为等腰三角形，求△APB的面积．
4．已知BC为⊙O直径，D是直径BC上一动点（不与点B，O，C重合），过点D作直线AH⊥BC交⊙O于A，H两点，F是⊙O上一点（不与点B，C重合），且，直线BF交直线AH于点E．
（1）如图（a），当点D在线段BO上时，试判断AE与BE的大小关系，并证明你的结论；
（2）当点D在线段OC上，且OD＞DC时，其它条件不变．
①请你在图（b）中画出符合要求的图形，并参照图（a）标记字母；
②判断（1）中的结论是否还成立，请说明理由．
5．如图，在△ABC中，∠A＝45°，以BC为直径的⊙O与AB，AC交于E，F．
（1）当AB＝AC时，求证：EO⊥FO；
（2）如果AB≠AC，那么EO⊥FO是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
6．如图，△ABC是圆内接正三角形，P为劣弧BC上一点，已知AB＝，PA＝6．
（1）求证：PB+PC＝PA；
（2）求PB、PC的长（PB＜PC）．
7．如图，⊙O、⊙B相交于点M、N，点B在⊙O上，NE为⊙B的直径，点C在⊙B上，CM交⊙O于点A，连接AB并延长交NC于点D，求证：AD⊥NC．
8．如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P是上一动点，连接PB分别交AD、AC于点E，F．
（1）当＝时，求证：AE＝BE；
（2）当点P在什么位置时，AF＝EF？证明你的结论．
9．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，AB＝2，M、N分别是边AB、AC的中点，直线MN交⊙O于E、F两点，BD∥AC交直线MN于点D．求出图中线段DM上已有的一条线段的长．
10．已知：如图，在半径为2的半圆O中，半径OA垂直于直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE＝CF，但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合．
（1）求四边形AEOF的面积．
（2）设AE＝x，S△OEF＝y，写出y与x之间的函数关系式，求x的取值范围．
11．如图，在△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线AE，BE相交于点E．延长AE交△ABC的外接圆于点D，连接BD，CD，CE且∠BDA＝60°．
（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；
（2）若∠BDC＝120°，猜想BDCE是怎样的四边形？说明理由．
12．如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（，0），解答下列各题：
（1）求线段AB的长；
（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标；
（3）在⊙C上是否存在一点P，使得△POB是等腰三角形？若存在，请求出∠BOP的度数；若不存在，请说明理由．
13．如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点．
①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF．
以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：
①② ③，①③ ②，②③ ①．
（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；
（2）请证明你认为正确的命题．
14．如图，AD为圆内接三角形ABC的外角∠EAC的平分线，它与圆交于点D，F为BC上的点．
（1）求证：BD＝DC；
（2）请你再补充一个条件使直线DF一定经过圆心，并说明理由．
15．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC．
（1）求证：AC平分∠OAB．
（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．若AB＝2，∠AOE＝30°，求PE的长．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求证：AC＝AE；
（2）求AD的长．
17．如图，在锐角△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，以AD为直径的⊙O分别交AB，AC于E，F，连接DE，DF．
（1）求证：∠EAF+∠EDF＝180°；
（2）已知P是射线DC上一个动点，当点P运动到PD＝BD时，连接AP，交⊙O于G，连接DG．设∠EDG＝∠α，∠APB＝∠β，那么∠α与∠β有何数量关系？试证明你的结论．[在探究∠α与∠β的数量关系时，必要时可直接运用（1）的结论进行推理与解答]
18．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD＝AP，连接CD．
（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；
（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？
19．如图，PAB，PCD是⊙O的两条割线，AB是⊙O的直径，AC∥OD．
（1）求证：CD＝　 　；（先填后证）
（2）若，试求的值．
21．已知：如图1，在⊙O中，弦AB＝2，CD＝1，AD⊥BD．直线AD，BC相交于点E．
（1）求∠E的度数；
（2）如果点C，D在⊙O上运动，且保持弦CD的长度不变，那么，直线AD，BC相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）．
①如图2，弦AB与弦CD交于点F；
②如图3，弦AB与弦CD不相交；
③如图4，点B与点C重合．
22．如图，⊙O与⊙P相交于B、C两点，BC是⊙P的直径，且把⊙O分成度数的比为1：2的两条弧，A是上的动点（不与B、C重合），连接AB、AC分别交⊙P于D、E两点．
（1）当△ABC是锐角三角形（图①）时，判断△PDE的形状，并证明你的结论；
（2）当△ABC是直角三角形、钝角三角形时，请你分别在图②、图③中画出相应的图形（不要求尺规作图），并按图①标记字母；
（3）在你所画的图形中，（1）的结论是否成立？请就钝角的情况加以证明．
参考答案
1．证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝∠A，
又∵C是弧BD的中点，
∴∠1＝∠A，
∴∠1＝∠2，
∴CF＝BF．
2．解：（1）DE＝BD
证明：连接AD，则AD⊥BC，
在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD（等腰三角形三线合一），
∴＝，
∴DE＝BD；
（2）∵AB＝5，BD＝BC＝3，
∴AD＝4，
∵AB＝AC＝5，
∴S△ABC＝ AC BE＝ CB AD，
∴BE＝4.8．
3．解：（1）△APB是直角三角形有两种情况：
作直径AP2、BP1，连接P1A、P2B，
∴P2B＝AB÷tan∠APB＝5，
P1B＝AP2＝5，
所以PB的长为5或5；
（2）△APB为等腰三角形时有三种情况：
①PA＝PB，
∵∠AOH＝∠APB，AB＝10
∴OH＝，∴OP＝，PH＝
∴S△APB＝；
②BA＝BP，
∴∠GAB＝∠APB
在⊙O上取一点P4使BP4＝BA，连接AP4交P1B于G
设AG＝k
∴BG＝2k
由勾股定理得k＝2
∴S△APB＝40；
③AB＝AP与BA＝BP情况相同
∴S△APB＝40．
4．解：（1）AE＝BE
证法①：
∵BC为⊙O直径，AH⊥BC于点D
∴
又∵
∴
∴∠1＝∠2
∴AE＝BE．
证法②：
连AF，AC
∵BC是⊙O直径，AH⊥BC于点D
∴∠BAC＝∠ADB＝90°
∴∠2+∠ABD＝90°，∠ABD+∠C＝90°
∴∠2＝∠C
∵∠F＝∠C
∴∠2＝∠F
又∵
∴∠1＝∠F
∴∠1＝∠2
∴AE＝BE．
（2）①所画图形如右图所示，AE＝BE成立
证法①：
∵BC是⊙O直径，AH⊥BC于点D
∴
又＝
∴
∴∠BAE＝∠ABE
∴AE＝BE．
证法②：
连接AC，AF
∵BC是⊙O直径，BC⊥AD于点D
∴∠BAC＝∠ADC＝90°
∵
∴∠BAD＝∠C
又∵
∴∠ABF＝∠AFB
又∵∠C＝∠AFB
∴∠ABF＝∠BAE
∴BE＝AE．
证法③：
连接AO并延长AO交BF于点G
∵，AG过圆心
∴AG⊥BF
又∵AH⊥BC于点D
∴∠ADO＝∠OGB＝90°
又∵BC为⊙O直径，∠2＝∠3
∴∠GBO＝∠DAO
又∵OA＝OB
∴∠4＝∠5
∴∠ABG＝∠BAD
∴BE＝AE．
5．（1）证明：∵∠A＝45°AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝67.5°．
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠B＝67.5°．
∴∠EOB＝45°．
同理∠FOC＝45°．
∴∠EOF＝90°．
∴EO⊥FO．
（2）解：EO⊥FO仍然成立．
证明：∵∠A＝45°，
∴∠B+∠C＝135°．
∵OE＝OB，OC＝OF，
∴∠OEB＝∠B，∠OFC＝∠C．
∴∠OEB+∠OFC+∠B+∠C＝270°．
∴∠BOE+∠FOC＝90°．
∴∠EOF＝90°．
∴EO⊥FO．
6．（1）证明：连接PB，在PA上截取PE＝PB，连接BE；
∵△ABC是等边三角形，∠ACB＝∠APB，
∴∠ACB＝∠APB＝60°，AB＝BC；
∴△BEP是等边三角形，BE＝PE＝PB；
∴∠ACB﹣∠EBC＝∠APB﹣∠EBC＝60°﹣∠EBC；
∴∠ABE＝∠CBP；
∵在△ABE与CBP中，
，
∴△ABE≌△CBP；
∴AE＝CP；
∴AP＝AE+PE＝PB+PC．
（2）解：方法一：由余弦定理知，PB2+AP2﹣AB2＝2PA PB cos∠APB；
PB2+36﹣28＝6AB，PB2﹣6PB+8＝0；
解得PB＝4或PB＝2；
∵PB＜PC，
∴PB取2，
∴PC＝4，PB＝2．
方法二：作BM⊥AP于M．设PB＝x，在RT△PBM中，∵∠PMB＝90°，∠PBM＝30°，
∴PM＝x，
∵BM2＝AB2﹣AM2＝PB2﹣PM2，
∴（2）2﹣（6﹣x）2＝x2﹣（x）2，
整理得到x2﹣6x+8＝0，
∴x＝2或4．
∵PB＜PC，
∴PB取2，
∴PC＝4，PB＝2．
7．证明：连接EC，
∵NE为圆B的直径，
∴NC⊥CE，即∠NCE＝90°，
∵四边形ABNM为圆O的内接四边形，
∴∠ABE＝∠M，
∵∠ABE＝∠NBD，
∴∠M＝∠NBD，
∵∠M＝∠E，
∴∠NBD＝∠E，
∴EC∥BD，
∴∠BDN＝∠NCE＝90°，
则AD⊥NC．
8．（1）证明：连接AB，
∵BC为⊙O的直径，
∴AB⊥AC．
又∵AD⊥BC，
∴∠BAD+∠DAC＝∠C+∠DAC＝90°
∴∠BAD＝∠C．
∵＝，
∴∠ABE＝∠C．
∴∠ABE＝∠BAD．
∴AE＝BE．
（2）当弧PC＝弧AB时，AF＝EF．
证明：∵弧PC＝弧AB，
∴∠PBC＝∠C．
∴90°﹣∠PBC＝90°﹣∠C．
即∠BED＝∠DAC，
∵∠BED＝∠AEF，
∴∠DAC＝∠AEF．
∴AF＝EF．
9．解：∵M，N分别是边AB，AC的中点
∴MN∥BC，MN＝BC＝1
又∵BD∥AC
∴∠DBA＝∠A＝60°
∵BM＝AM，∠BMD＝∠AMN
∴△BMD≌△AMN
∴DM＝MN＝1
连接OA交MN于点G，则OA⊥BC
∴OA⊥EF
∴EG＝FG，MG＝FN
由相交弦定理得：ME MF＝MA MB
∴EM（EM+1）＝1
解得EM＝（EM＝不合题意，舍去）
∴DE＝DM﹣EM＝
∴DE（3﹣DE）＝1
解得DE＝（DE＝不合题意，舍去）．
10．解：（1）∵BC为半圆O的直径，OA为半径，且OA⊥BC，
∴∠B＝∠OAF＝45°，OA＝OB，
又∵AE＝CF，AB＝AC，
∴BE＝AF，
∴△BOE≌△AOF
∴S四边形AEOF＝S△AOB＝OB OA＝2．
（2）∵BC为半圆O的直径，
∴∠BAC＝90°，且AB＝AC＝2，
y＝S△OEF＝S四边形AEOF﹣S△AEF＝2﹣AE AF＝2﹣x（2﹣x）
∴y＝x2﹣x+2（0＜x＜2）．
11．解：（1）△BDE为等边三角形．
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＝∠ABC，∠3＝∠BAC．
∴∠1+∠3＝（∠ABC+∠BAC）＝（180°﹣∠ACB）．
∵弧AB＝弧AB，
∴∠ACB＝∠BDA（同弧所对圆周角相等），
∵∠BDA＝60°
∴∠ACB＝60°，
∴∠1+∠3＝60°．
∴∠BED＝∠1+∠3＝60°．
∴△BDE为等边三角形．
（2）四边形BDCE为菱形．
∵△BDE为等边三角形，
∴BD＝DE＝BE．
∵∠BDC＝120°，∠BDE＝60°，
∴∠EDC＝60°．
又∵∠3＝∠4，
∴BD＝DC．
∴DE＝DC．
∴△DEC为等边三角形．
∴DC＝EC＝DE＝BD＝EB．
则四边形BDCE为菱形．
12．解：（1）∵A（0，2），B（2，0）
∴OA＝2，OB＝2；
Rt△OAB中，由勾股定理，得：AB＝＝4；
（2）∵∠AOB＝90°，
∴AB是⊙C的直径；
∴⊙C的半径r＝2；
过C作CE⊥y轴于E，则CE∥OB；
∵C是AB的中点，
∴CE是△AOB的中位线，
则OE＝OA＝1，CE＝OB＝，即C（，1）；
故⊙C的半径为2，C（，1）；
（3）作OB的垂直平分线，交⊙C于P1、P2，交OB于D
如图；连接OC；
由垂径定理知：P1P2必过点C，即P1P2是⊙C的直径；
∴P1（，3），P2（，﹣1）；
在Rt△OMP1中，P1D＝3，OD＝，
∴∠BOP1＝60°；
∵P1P2是直径，
∴∠P1OP2＝90°，∠BOP2＝30°；
由于P1P2垂直平分OB，所以△OBP1、△OBP2都是等腰三角形，因此P1、P2均符合P点的要求；
由于此时同时BO＝P1O，因此不需要考虑BO为腰的情况．
故存在符合条件的P点：P1（，3），∠BOP1＝60°；
P2（，﹣1），∠BOP2＝30°．
13．解：（1）①② ③，正确；①③ ②，错误；②③ ①，正确．
（2）先证①② ③．如图．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF．
∴DE＝DF，∠ADE＝∠ADF．
设AD与EF交于G，则△DEG≌△DFG，
∴∠DGE＝∠DGF．
∴∠DGE＝∠DGF＝90°．
∴AD⊥EF．
再证②③ ①．如图2，
设AD的中点为O，连接OE，OF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴OE，OF分别是Rt△ADE，Rt△ADF斜边上的中线．
∴OE＝AD，OF＝AD．
即点O到A、E、D、F的距离相等．
∴四点A、E、D、F在以O为圆心，AD为半径的圆上，AD是直径．
∴EF是⊙O的弦．
∵EF⊥AD，
∴∠DAE＝∠DAF．
即AD平分∠BAC．
14．（1）证明：∵∠CDB＝∠CAB，∠CAD＝∠CBD，
∴∠CBD+∠CDB＝∠CAB+∠CAD；
∴∠DAE＝∠DCB；
又∵AD是角平分线，
∴∠DAE＝∠DAC＝∠DBC＝∠DCB；
∴△DCB是等腰三角形，
∴DC＝DB；
（2）解：若F为BC中点，则DF经过圆心；
∵△DBC是等腰三角形，
∴DF是底边中线；
∵圆内接三角形圆心是三边中垂线的交点，
∴DF必过圆心．
15．（1）证明：∵AB∥OC，
∴∠C＝∠BAC．
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠OAC．
∴∠BAC＝∠OAC．
即AC平分∠OAB．
（2）解：∵OE⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝1．
又∵∠AOE＝30°，∠PEA＝90°，
∴∠OAE＝60°．
∴∠EAP＝∠OAE＝30°，
∴PE＝，
即PE的长是．
16．解：（1）∵∠ACB＝90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），
∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），
∴∠AED＝90°（直径所对的圆周角为直角），
又AD是△ABC的∠BAC的平分线（已知），
∴∠CAD＝∠EAD（角平分线定义），
∴CD＝DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE（全等三角形的对应边相等）；
（2）∵△ABC为直角三角形，且AC＝5，CB＝12，
∴根据勾股定理得：AB＝＝13，
由（1）得到∠AED＝90°，则有∠BED＝90°，
设CD＝DE＝x，则DB＝BC﹣CD＝12﹣x，EB＝AB﹣AE＝AB﹣AC＝13﹣5＝8，
在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2＝BE2+ED2，
即（12﹣x）2＝x2+82，
解得：x＝，
∴CD＝，又AC＝5，△ACD为直角三角形，
∴根据勾股定理得：AD＝＝．
17．（1）证明：在圆内接四边形AEDF中，
AD为直径，
∴∠AED＝∠AFD＝90°
又∠AED+∠AFD+∠EAF+∠EDF＝360°
∴∠EAF+∠EDF＝360°﹣（∠AED+∠AFD）＝180°
（2）解：∠α＝2∠β，理由如下：
如图，
在△ABD与△APD中，
AD⊥BP，且BD＝DP，AD＝AD
∴△ABD≌△APD（SAS）
∴∠B＝∠APD＝∠β
在△ABP中∠EAG+∠B+∠APD＝180°，
则∠EAG+2∠β＝180°
由（1）知∠EAG+∠EDG＝180°，
则∠EAG+∠α＝180°
即∠α＝2∠β．
18．解：（1）如图①，△PDC为等边三角形．
（2分）
理由如下：
∵△ABC为等边三角形
∴AC＝BC
∵在⊙O中，∠PAC＝∠PBC
又∵AP＝BD
∴△APC≌△BDC
∴PC＝DC
∵AP过圆心O，AB＝AC，∠BAC＝60°
∴∠BAP＝∠PAC＝∠BAC＝30°
∴∠PBC＝∠PAC＝30°，∠BCP＝∠BAP＝30°
∴∠CPD＝∠PBC+∠BCP＝30°+30°＝60°
∴△PDC为等边三角形；
（2）如图②，△PDC仍为等边三角形．
理由如下：
∵△ABC为等边三角形
∴AC＝BC
∵在⊙O中，∠PAC＝∠PBC
又∵AP＝BD
∴△APC≌△BDC
∴PC＝DC
∵∠BAP＝∠BCP，∠PBC＝∠PAC
∴∠CPD＝∠PBC+∠BCP＝∠PAC+∠BAP＝60°
∴△PDC为等边三角形．
19．解：（1）求证：CD＝BD，
证明：∵AC∥OD，
∴∠1＝∠2．
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠3．
∴∠1＝∠3．
∴＝．
∴CD＝BD．
（2）∵AC∥OD，
∴＝．
∵＝，CD＝BD，
∴＝．
∵AB＝2AO，
∴＝．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴AD2+BD2＝AB2
∵＝，设AB＝5k，BD＝3k，
∴AD＝4k．
∴＝．
20．解：（1）如图1，连接OC、OD．
∵AD⊥BD，
∴AB是直径．
∴OC＝OD＝CD＝1．
∴∠COD＝60°，
∴∠DBE＝30°，
∴∠E＝60°．
（2）①如图2，连接OD、OC，AC．
∵DO＝CO＝CD＝1，
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴∠EBD＝30°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠E＝90°﹣30°＝60°，
②如图3，连接OD、OC．同理可得出∠CBD＝30°，∠BED＝90°﹣30°＝60°．
③如图4，当点B与点C重合时，
在图1、2、3中，∵AB是直径，直线BE⊥AC，
∴点B和点C重合时，直线BE⊥AB，即直线BE与⊙O只有一个公共点．
∴EB恰为⊙O的切线．∠E＝60°．
21．解：（1）△PDE是等边三角形，连DC．
∵弦BC把⊙O分成度数的比为1：2的两条弧，
∴的度数为120°，
∴∠BAC＝60°
又∵BC为⊙P的直径，∴∠BDC＝90°，
又∵∠A＝60°，
∴∠DCA＝30°，
∴∠DPE＝60°
又∵PD＝PE，
∴△PDE是等边三角形；
（2）如图②、图③即为所画图形；
（3）图②和图③中△PDE仍为等边三角形．
证明：如图③，连接BE、DC
∵BC为⊙P的直径，
∴∠BDC＝90°
又∵∠A＝60°，
∴∠ACD＝30°
又∵四边形DBEC是⊙P的内接四边形，
∴∠DBE＝∠DCA＝30°，∠DPE＝60°
又∵PD＝PE，
∴△PDE是等边三角形．

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