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平面向量运算与线性运算
一、知识框架
1．平面向量的相关概念
名称 定义 表示方法 注意事项
向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量或； 模或 平面向量是自由向量
零向量 长度等于0的向量，方向是任意的 记作 零向量的方向是任意的
单位向量 长度等于1个单位的向量 常用表示 非零向量的单位向量是
平行向量 方向相同或相反的非零向量 与共线可记为 与任一向量平行或共线
共线向量 平行向量又叫共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为
2.向量的线性运算
①向量加法：设，则+==
（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；
，但这时必须“首尾相连”．
②向量的减法：
1.相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量
2.向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）
2．共线向量定理
向量 (≠0)与共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得.
【注】限定≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．
二、典型例题
考向1 平面向量的概念
1．下列结论正确的是（ ）
A．平行向量的方向都相同
B．零向量与任意向量都不平行
C．长度相等且共线的向量是相等向量
D．平面内任一非零向量都可以用两个不共线的向量表示
2．下列说法中错误的是（ ）
A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线
C．单位向量的长度为1 D．相等向量一定是共线向量
3．下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．向量与向量的长度相等
C．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 D．若，则
考向2 平面向量的线性运算
1．如图，在平行四边形ABCD中，（ ）
A． B． C． D．
2．在△中，点为中点，记，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．在中，点P满足，则（ ）
A． B．
C． D．
考向3 共线向量定理的应用
1．已知，是平面内的一组基底，，，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．已知向量不共线，且向量与的方向相反，则实数t的值为（ ）
A．1 B．— C．1或－ D．－1或－
3．点在线段上，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
三、练习巩固
一、单选题
1．在矩形中，，则向量的长度等于（ ）
A．4 B． C．3 D．2
2．如图，在矩形中，为中点，那么向量=（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则（ ）
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
4．设是单位向量，，，，则四边形是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
5．已知，，，且不共线，则（　 　）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
6．如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点（端点除外），且，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
1．如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中．
（1）单位向量共有______个；
（2）模为的向量有______；
（3）与相等的向量有______；
2．如图，在正六边形ABCDEF中，点O是对角线AD BE CF的交点，在以A B C D E F O为端点的向量中与向量相等的向量的个数是___________.
3．中，D是BC边上靠近B的四等分点，，则___________.
4．平行四边形中，，则__________.
5．已知不共线向量，，，若A，B，C三点共线，则实数 __________.
6．已知，，若，则______．
7．已知两个不共线向量，且，若三点共线，则的值为________．
三、解答题
1．化简下列各式：
(1)；
(2).
2．化简：
(1)；
(2)；
(3)．
3．已知四边形是边长为的正方形，求：
(1)；(2)
4．已知菱形的边长为2，
(1)化简向量；(2)求向量的模.平面向量运算与线性运算
一、知识框架
1．平面向量的相关概念
名称 定义 表示方法 注意事项
向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量或； 模或 平面向量是自由向量
零向量 长度等于0的向量，方向是任意的 记作 零向量的方向是任意的
单位向量 长度等于1个单位的向量 常用表示 非零向量的单位向量是
平行向量 方向相同或相反的非零向量 与共线可记为 与任一向量平行或共线
共线向量 平行向量又叫共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为
2.向量的线性运算
①向量加法：设，则+==
（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；
，但这时必须“首尾相连”．
②向量的减法：
1.相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量
2.向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）
2．共线向量定理
向量 (≠0)与共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得.
【注】限定≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．
二、典型例题
考向1 平面向量的概念
1．下列结论正确的是（ ）
A．平行向量的方向都相同
B．零向量与任意向量都不平行
C．长度相等且共线的向量是相等向量
D．平面内任一非零向量都可以用两个不共线的向量表示
【答案】D
【详解】选项A. 根据平行向量的定义，其方向可能相反，故不正确.
选项B. 由零向量与任意向量都平行，故不正确.
选项C. 长度相等且共线的向量,若方向相反，则不是相等向量，故不正确.
选项D. 由平面向量向量的基本定理有：平面内任一非零向量都可以用两个不共线的向量表示，正确.
故选：D
2．下列说法中错误的是（ ）
A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线
C．单位向量的长度为1 D．相等向量一定是共线向量
【答案】B
【详解】对A：零向量的方向是任意的，故与任一向量都是平行的，故A正确；
对B：方向相反的两个非零向量一定共线，故B错误；
对C：单位向量的长度为1，故C正确；
对D：相等向量方向相同，故一定是共线向量，故D正确；
故选：B.
3．下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．向量与向量的长度相等
C．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 D．若，则
【答案】B
【详解】对于A；当，则不一定平行，故A错，
对于B；向量与向量是相反向量，故长度相等，故B正确，
对于C；两个单位向量平行，可能方向相同也可能相反，故向量不一定相等，故C错，
对于D；向量有方向和大小，不能比较大小，故D错，
故选：B
考向2 平面向量的线性运算
1．如图，在平行四边形ABCD中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得，.
故选：B.
2．在△中，点为中点，记，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为点为中点，，，
所以.
故选：C.
3．在中，点P满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
故选：A
考向3 共线向量定理的应用
1．已知，是平面内的一组基底，，，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【详解】因为，，，
所以，
，
又因为A，B，C三点共线，
所以，即，
所以，解得，
故选：A
2．已知向量不共线，且向量与的方向相反，则实数t的值为（ ）
A．1 B．— C．1或－ D．－1或－
【答案】B
【详解】因为与共线，所以，解得或－．
当时与同向，不符合题意，当时与反向，符合题意．
故选：B．
3．点在线段上，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】不妨设，则，
因为点在线段上，则，
故选：D
三、练习巩固
一、单选题
1．在矩形中，，则向量的长度等于（ ）
A．4 B． C．3 D．2
【答案】A
【详解】在矩形中，由可得,又因为,故，故，
故选:A
2．如图，在矩形中，为中点，那么向量=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为在矩形中，为中点，
所以，
所以，
故选：A
3．已知，，，则（ ）
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
【答案】A
【详解】由题意得，又有公共点B，所以A，B，D三点共线.
故选：A
4．设是单位向量，，，，则四边形是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】B
【详解】解：因为，，
所以，即，，
所以四边形是平行四边形，
因为，即，
所以四边形是菱形.
故选：B
5．已知，，，且不共线，则（　 　）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
【答案】B
【详解】解：，，，且不共线，
，
已知，
，
即与共线，
则,,三点共线，
故选：B．
6．如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点（端点除外），且，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】因为点D是线段BC上的动点（端点除外），且，
所以，
故选：B
7．如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：设，
则，
因为三点共线，
所以，解得，
则
所以.
故选：A.
二、填空题
1．如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中．
（1）单位向量共有______个；
（2）模为的向量有______；
（3）与相等的向量有______；
【答案】 、、、、、、、; 、、
【详解】（1）、由题意可知，，所以单位向量有、、、、、、、共个；
（2）、由图可知，在长方体中，，，所以左右两个侧面的对角线长度均为，即，所以模为的向量有：、、、、、、、;
（3）、由图可知，与相等的向量除它本身外有、、共个.
故答案为： ；、、、、、、、；、、
2．如图，在正六边形ABCDEF中，点O是对角线AD BE CF的交点，在以A B C D E F O为端点的向量中与向量相等的向量的个数是___________.
【答案】3
【详解】由题图知：与向量相等的向量有，
∴共有3个.
故答案为：3
3．中，D是BC边上靠近B的四等分点，，则___________.
【答案】1
【详解】解：因为D是BC边上靠近B的四等分点，所以，
所以，
所以，所以；
故答案为：
4．平行四边形中，，则__________.
【答案】1
【详解】
由题意知：，则，即，则.
故答案为：1.
5．已知不共线向量，，，若A，B，C三点共线，则实数 __________.
【答案】##
【详解】因为A，B，C三点共线，所以存在实数k，使得，
所以，
即，
因为不共线，所以，解得
故答案为：
6．已知，，若，则______．
【答案】
【详解】解：因为，且，
所以存在实数使得，即，
所以，解得；
故答案为：
7．已知两个不共线向量，且，若三点共线，则的值为________．
【答案】
【详解】由两个不共线向量，且，
可得，
又因为且三点共线，可得，
即，可得，解得.
故答案为：.
三、解答题
1．化简下列各式：
(1)；
(2).
【答案】(1)(2)
【详解】按照向量的运算法则进行运算
(1)法一：原式
法二：原式;
(2)法一：原式.
法二：原式.
2．化简：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；(2)；(3).
【详解】(1).
(2).
(3).
3．已知四边形是边长为的正方形，求：
(1)；
(2)
【答案】(1)(2)2
【详解】（1）四边形是边长为的正方形，
（2）
4．已知菱形的边长为2，
(1)化简向量；
(2)求向量的模.
【答案】(1)(2)2
【详解】(1)
(2)由向量的平行四边形法则与三角形法则，

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