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平面向量的基本定理及坐标运算
一、知识框架
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
2.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.
3.平面向量的坐标运算
①向量坐标的求法
（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2－x1，y2－y1）.
②向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1），
|a|=，|a＋b|=.
③平面向量共线的坐标表示
设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b x1y2－x2y1=0.
④向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
二、真题演练
1.（2020广东普通高中学业水平考试）设向量，若，则_____
【答案】
【详解】因为,所以,解得.故答案为-6
2. （2021广东普通高中学业水平考试）已知向量，若与共线，则m = ______.
【答案】
【详解】因为向量，且与共线，
所以，
解得：，
故答案为：.
3. （2022广东普通高中学业水平考试）已知向量a=（-1,2），b=（2，t），a⊥b，则t=
【答案】1
【详解】向量a=（-1,2），b=（2，t），a⊥b，
所以，
解得：，
故答案为：1
三、典型例题
考向1 平面向量基本定理的应用
1．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】D
【详解】∵，是平面内的一组基底，∴，不共线，而，
则根据向量共线定理可得，与共线，根据基底的定义可知，选项D不符合题意.
其他三组中的向量均为不共线向量，故可作为基底向量.
故选:D.
2．如图，在正方形网格中，向量，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意得，
故选：C.
3．如图，分别是边上的中线，与交于点F，设，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，是的重心，
=，
，故.
故选：D
考向2 平面向量的坐标及运算
1．已知点，则向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，
故选：B
2．已知向量，，则________.
【答案】5
【解析】将用坐标表示，再根据模长公式即可得结果.
【详解】∵，，
∴，则，
故答案为:5.
3．已知,则________.
【答案】
【详解】由，则.
故答案为：
考向3 共线向量共线的坐标表示
1．若向量，且，则实数m的值为（ ）
A．－2 B．－ C．1 D．－2或1
【答案】D
【详解】因为向量，且，
所以，解得m=－2或1.故A，B，C错误.
故选：D.
2．已知向量与方向相反，则实数的值为（ ）
A．或1 B． C． D．或1
【答案】B
【详解】，，即或，
当时，，，，与的方向相同，不成立；
当时，，，，与的方向相反，成立.
.
故选：B
3．已知向量，若，则_______.
【答案】
【详解】因为向量，可得，
又因为，可得，
解得，可得.
故答案为：.
四、练习巩固
一、单选题
1．设D为三角形ABC所在平面内一点，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题知.
故选：A．
2．在平面四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD上的点，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得，，
又，，
，
所以．
故选：B．
3．已知，是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能做基底的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【详解】A选项：令，因为，不共线，所以，无实数解，所以与不共线，故可以作为平面向量基底；
B选项：令，因为，不共线，所以，无实数解，所以与不共线，故可以作为平面向量基底；
C选项：令，因为，不共线，所以，无实数解，所以与不共线，故可以作为平面向量基底；
D选项：易知，即与共线，不能作为平面向量基底.
故选：D
4．如图所示，每个小正方形的边长都是1，则下列说法正确的是（ ）
A．，是该平面所有向量的一组基底，
B．，是该平面所有向量的一组基底，
C．，不是该平面所有向量的一组基底，
D．，不是该平面所有向量的一组基底，
【答案】A
【详解】解：由图可知，平面向量，不共线，是该平面所有向量的一组基底，
且，
故选：A.
5．设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【详解】A：不存在，使，故可作为基底；
B：不存在，使，故可作为基底；
C：存在，使，不可作为基底；
D：不存在，使，故可作为基底；
故选：C
6．已知， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为，
所以（3，-4），
故选：C
7．平行四边形三个顶点坐标分别为，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，由平行四边形可得，即，解得，故.
故选：D.
8．已知点，，则与向量的方向相反的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，，
与向量的方向相反的单位向量为.
故选：A.
9．已知，，若，则点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0）
【答案】C
【详解】设点的坐标为，则，，
因为，即，
所以，解得，所以.
故选：C.
10．已知，且，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【详解】因为，，，
所以，解得，
所以，，
所以， ，
故选：D
11．已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：因为，，，
所以，又，
所以，解得.
故选：B
12．若，，与共线，则向量的坐标可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】若，则，，故A正确；
若，则，，故B错误；
若 ，则，，故C错误；
若，则，，故D错误.
故选：A.
13．已知向量，，若，则k的值为（ ）
A． B．2 C． D．18
【答案】A
【详解】由题设有，可得.
故选：A
14．已知向量，，若与共线，则实数的值为（ ）
A． B．1 C． D．0
【答案】C
【详解】由已知，，
又与共线，所以，解得．
故选：C．
二、填空题
1．如图所示，在中，是中点，设，则________（请用表示）.
【答案】
【详解】因为是中点
所以
又因为
所以
即
故答案为：
2．已知向量，，若，则__________．
【答案】
【详解】，，，故答案为.
3．设向量，，则__________．
【答案】
【详解】，故，故填.
4．已知向量，，且，则m＝______．
【答案】
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
解得．
故答案为：.
三、解答题
1．已知向量.
(1)求；
(2)若，求实数的值；
(3)若，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】解：（1）因为，所以，解得．
所以，即．
（2）因为，所以，即，所以，反向．
当，共线时，，解得m＝－1或m＝2．
当m＝－1时，，同向，不符合题意；
当m＝2时，，反向，且，符合题意．平面向量的基本定理及坐标运算
一、知识框架
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
2.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.
3.平面向量的坐标运算
①向量坐标的求法
（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2－x1，y2－y1）.
②向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1），
|a|=，|a＋b|=.
③平面向量共线的坐标表示
设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b x1y2－x2y1=0.
④向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
二、真题演练
1.（2020广东普通高中学业水平考试）设向量，若，则_____
2. （2021广东普通高中学业水平考试）已知向量，若与共线，则m = ______.
3. （2022广东普通高中学业水平考试）已知向量a=（-1,2），b=（2，t），a⊥b，则t=
三、典型例题
考向1 平面向量基本定理的应用
1．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
2．如图，在正方形网格中，向量，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，分别是边上的中线，与交于点F，设，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
考向2 平面向量的坐标及运算
1．已知点，则向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，则________.
3．已知,则________.
考向3 共线向量共线的坐标表示
1．若向量，且，则实数m的值为（ ）
A．－2 B．－ C．1 D．－2或1
2．已知向量与方向相反，则实数的值为（ ）
A．或1 B． C． D．或1
3．已知向量，若，则_______.
四、练习巩固
一、单选题
1．设D为三角形ABC所在平面内一点，则（　　）
A． B．
C． D．
2．在平面四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD上的点，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能做基底的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
4．如图所示，每个小正方形的边长都是1，则下列说法正确的是（ ）
A．，是该平面所有向量的一组基底，
B．，是该平面所有向量的一组基底，
C．，不是该平面所有向量的一组基底，
D．，不是该平面所有向量的一组基底，
5．设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
6．已知， 则（ ）
A． B． C． D．
7．平行四边形三个顶点坐标分别为，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点，，则与向量的方向相反的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，若，则点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0）
10．已知，且，则（ ）
A． B．2 C． D．
11．已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
12．若，，与共线，则向量的坐标可能为（ ）
A． B．
C． D．
13．已知向量，，若，则k的值为（ ）
A． B．2 C． D．18
14．已知向量，，若与共线，则实数的值为（ ）
A． B．1 C． D．0
二、填空题
1．如图所示，在中，是中点，设，则________（请用表示）.
2．已知向量，，若，则__________．
3．设向量，，则__________．
4．已知向量，，且，则m＝______．
三、解答题
1．已知向量.
(1)求；(2)若，求实数的值；
(3)若，求实数的值.

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