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平面向量的基本定理及坐标运算
一、知识框架
1.平面向量的数量积
①平面向量数量积的概念
（1）数量积的概念
已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作,即，其中θ是与的夹角.
【注】零向量与任一向量的数量积为0.
（2）投影的概念
设非零向量与的夹角是θ，则()叫做向量在方向上(在方向上)的投影.
如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度.
（3）数量积的几何意义
由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积.
②平面向量数量积的运算律
已知向量和实数,则
（1）交换律：；
（2）数乘结合律：；
（3）分配律：.
二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质
设非零向量，是与的夹角.
（1）数量积：.
（2）模：.
（3）夹角： .
（4）垂直与平行：；a∥b a·b=±|a||b|.
【注】当与同向时,；当与反向时,.
3.向量在平面几何中常见的应用
已知.
（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：
（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：
（其中为非零向量）
（3）求夹角问题，若向量与的夹角为，利用夹角公式：
（其中为非零向量）
（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：
，或（其中两点的坐标分别为）
二、典型例题
考向1 平面向量数量积的运算
1．已知向量，，若与的夹角为，则为（ ）
A． B． C． D．1
2．已知平面向量的夹角为，且，则（ ）
A．4 B．4 C．8 D．8
3．已知单位向量满足，且，，则_________.
考向2 用数量积解决向量的垂直和角度问题
1．已知，，，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，均为单位向量，且，则（ ）
A．-7 B．7 C．-13 D．13
考向3 平面向量的模及其应用
1．已知向量满足，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
2．已知单位向量，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．与的夹角为60°
3．已知，为两个非零向量，且，则，的关系为（ ）
A． B．
C． D．
三、练习巩固
一、单选题
1．已知等边三角形ABC的边长为2，则（ ）
A．2 B． C． D．
2．已知向量，，且，，与的夹角为，则（ ）
A．36 B． C．54 D．
3．正的边长为1，则（ ）
A． B． C． D．
4．若，则（ ）
A．4 B． C．8 D．
5．已知，且，则向量夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．设向量则（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
7．已知向量，，则向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，设与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1．已知，是两个平面向量，，若，则______．
2．已知向量与的夹角为60°，，则______.
3．已知向量与满足，且，则与的夹角等于__________．
4．已知向量，的夹角为45°，，且，若，则______．
5．已知向量，，，则与的夹角为________．
6．已知向量，，若，则______．
7．已知向量，满足，，则___________.
8．已知单位向量满足，则与的夹角为______________．
9．已知单位向量，向量，且，则______．
三、解答题
1．已知，，．求：
(1)；(2)．
2．已知向量，．
(1)求；(2)求．
3．已知，向量．
(1)若向量，求向量的坐标；
(2)若向量与向量的夹角为120°，求．平面向量的基本定理及坐标运算
一、知识框架
1.平面向量的数量积
①平面向量数量积的概念
（1）数量积的概念
已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作,即，其中θ是与的夹角.
【注】零向量与任一向量的数量积为0.
（2）投影的概念
设非零向量与的夹角是θ，则()叫做向量在方向上(在方向上)的投影.
如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度.
（3）数量积的几何意义
由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积.
②平面向量数量积的运算律
已知向量和实数,则
（1）交换律：；
（2）数乘结合律：；
（3）分配律：.
二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质
设非零向量，是与的夹角.
（1）数量积：.
（2）模：.
（3）夹角： .
（4）垂直与平行：；a∥b a·b=±|a||b|.
【注】当与同向时,；当与反向时,.
3.向量在平面几何中常见的应用
已知.
（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：
（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：
（其中为非零向量）
（3）求夹角问题，若向量与的夹角为，利用夹角公式：
（其中为非零向量）
（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：
，或（其中两点的坐标分别为）
二、典型例题
考向1 平面向量数量积的运算
1．已知向量，，若与的夹角为，则为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】因为向量，，若与的夹角为，
所以，
故选：B.
2．已知平面向量的夹角为，且，则（ ）
A．4 B．4 C．8 D．8
【答案】C
【详解】因为平面向量的夹角为，且，
所以，
故选：C
3．已知单位向量满足，且，，则_________.
【答案】2
【详解】
故答案为：2.
考向2 用数量积解决向量的垂直和角度问题
1．已知，，，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设与的夹角为，
因为，，，
所以，
因为，
所以，即与的夹角是.
故选：B.
2．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，则，所以C正确.
故选：C.
3．已知向量，均为单位向量，且，则（ ）
A．-7 B．7 C．-13 D．13
【答案】A
【详解】解：因为向量，均为单位向量，且，
所以，
则.
故选：A.
考向3 平面向量的模及其应用
1．已知向量满足，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【详解】解：因为，
所以，
解得.
故选：A.
2．已知单位向量，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．与的夹角为60°
【答案】B
【详解】∵，
∴，
∴，
∴.
故选：B
3．已知，为两个非零向量，且，则，的关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以平方得，即，化简得，所以，故D错误，B正确.
对于A和C，根据题意无法直接判断，故A和C错误.
故选:B
三、练习巩固
一、单选题
1．已知等边三角形ABC的边长为2，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【详解】因为向量的夹角为，
所以，
故选：B.
2．已知向量，，且，，与的夹角为，则（ ）
A．36 B． C．54 D．
【答案】D
【详解】．
故选：D．
3．正的边长为1，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得.
故选：D
4．若，则（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
【详解】．
故选：C．
5．已知，且，则向量夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设向量的夹角为，因为，所以．
故选：B.
6．设向量则（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
【答案】C
【详解】由已知得
，，即，则选项不正确；
,不存在一个实数使成立，则选项不正确；
，即，则选项正确；
设与的夹角为，则，
∵，∴，则选项不正确；
故选：C.
7．已知向量，，则向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设向量的夹角为，则，
，.
故选：B.
8．已知，，设与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知，
，
所以，
，
又，
所以，
故选：B
二、填空题
1．已知，是两个平面向量，，若，则______．
【答案】
【详解】解：因为，所以，
所以．
故答案为：.
2．已知向量与的夹角为60°，，则______.
【答案】##
【详解】.
故答案为：.
3．已知向量与满足，且，则与的夹角等于__________．
【答案】##
【详解】依题意， ，∴ 与 的夹角为 ；
故答案为： .
4．已知向量，的夹角为45°，，且，若，则______．
【答案】-2
【详解】因为得，
又因为，
所以，所以．
故答案为：-2.
5．已知向量，，，则与的夹角为________．
【答案】##
【详解】设与的夹角为，
则．
又由，则．
故答案为：.
6．已知向量，，若，则______．
【答案】##
【详解】 ，所以
故答案为：
7．已知向量，满足，，则___________.
【答案】
【详解】，所以，
因为，所以，所以，
，所以
故答案为：
8．已知单位向量满足，则与的夹角为______________．
【答案】##
【详解】因为，
所以，
所以，．
故答案为：.
9．已知单位向量，向量，且，则______．
【答案】1
【详解】由单位向量，得，
由，得，
由得，即，则．
故答案为：1
三、解答题
1．已知，，．求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)3(2)
【详解】，
（1）时，当同向时，当反向时；
（2）时，；
（3）与的夹角为120°时，；
2．已知向量，．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)(2)
(1)解：因为，，
所以，，
所以；
(2)解：因为，，
所以．
，，
所以．
3．已知，向量．
(1)若向量，求向量的坐标；
(2)若向量与向量的夹角为120°，求．
【答案】(1)或(2)
(1)由，设，∴，
∵，∴，解得或
所以或．
(2)∵，，，
∴，
∴，∴．

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