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朗博同构（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮复习
朗博同构
【知识点讲解】
1.跨阶同构的几个关键环节:
（1）指对各一边，参数是关键，凑形是难点.
x
（2）凑形，例如： x eln x、 xex eln x x 、 x2ex e2ln x x e、 e ln x x 、 ln x x ln a ln ax 、 ln x 1 ln ，
x e
（3）利用切线放缩或者函数模型的最值求解
2.常见同构式:
（1） x ln x与 xex 型： x ln x ln xeln x， xex eln xex ；
（2） x ln x与 x ex 型： x ln x ln x e ln x ， x ex e ln x ex .
3.解题导语
当遇到复杂的指对混合式，且一般情况下限定了 x的取值范围时就可以考虑使用朗博同构。
另外，对于式子中除 x 之外的未知数一般是以偶数个出现。同时当 ex前方出现系数时一般都
要考虑将系数放在次方的位置上，一般是 x=eInx等。同时 e的次数一般都要加或减对于次数上
的式子。特别提醒：做此类题不只是有关 ex与 Inx，还可能是 2x，log2x 之类的。同时也要对
六大母函数牢记于心。
【例题讲解】
ex
【例 1】已知函数 f x f x x 1
x4
k ln x ，当 x 1时，不等式 恒成立，则 k的取值范围
是（ ）
A. , e B. , 4 C. , e2 D. , 0
课前预习试做： 听课笔记：
第 1 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination one-round sprint
朗博同构（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮复习
a
【跟踪训练 1】已知函数 f x x lnx(a 0,e 2.71828L 为自然对数的底数）.e
（1）当 a 1时，判断函数 f x 的单调性和零点个数，并证明你的结论；
（2）当 x 1,e 时，关于 x的不等式 f x 2x lna恒成立，求实数 a的取值范围.
课前预习试做： 听课笔记：
【跟踪训练 2】设实数m 0，若对任意的 x 1, ln x，不等式 2e2mx 0m 恒成立，则实数
m的
取值范围是（ ）
1 1A ． , B． ,

C． e, D． 2e,
e 2e
课前预习试做： 听课笔记：
第 2 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination one-round sprint
朗博同构（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮复习
【对点训练】
1 ax 1．已知函数 f x xe ln x ax．若 f x 的最小值为 0，则实数 a 的最小值是________．
1
2．已知函数 f x emx ln x，当 x 0时， f x 0，则 m 的取值范围为________.m
3．已知 x2ex 3 lnx 3，则 e3 x lnx __________．
4 x．若关于 x 的不等式 ln ax ax x e 恒成立，则实数 a 的最大值为___________.
5．若对任意 x 1, x，不等式 ln a x 1 ex ln x 恒成立，则实数 a的取值范围是___________.
ae
6．对于任意实数 x 0，不等式 2ae2x lnx lna 0恒成立，则 a的取值范围是__________.
1
7．若对任意 x 0 ax，恒有 a e 1 2 x lnxx ，则实数 a 的最小值为________．
8．已知 a 0，不等式 xa 1ex alnx 0对任意的实数 x 1恒成立，则实数 a 的最小值为：_______．
9．设 k 0，若存在正实数 x，使得不等式 log2x k 2 kx 0 成立，则 k 的最大值为__________．
10．已知函数 f (x) (a 1) ln x xaex ，当 a 0时， x (1, )，都有 f (x) 0，则实数 a 的最小值
为___________.
11 x-1．已知关于 x的不等式 e a a ln ax 2a (a 0)恒成立，则实数 a的取值范围为________.
12．已知a 0，若在 (1, )上存在 x 使得不等式 ex x xa a ln x 成立，则 a 的最小值为______．
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朗博同构（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮复习
13 f x aex 1．已知函数 ln x ln a，若不等式 f x 1恒成立，则实数 a的取值范围为______．
14 k 1, x 2,4 xk x klnx e x ae x e a．对 ，使不等式 成立，则实数 a的取值范围是
___________.
15 m x mx m．若关于 x的不等式 x e x e mx x ln x 恒成立，则实数m的最小值为________
16．已知不等式 ex alnx xa x对任意 x 1, 恒成立，则正实数 a的取值范围是___________.
17．已知 e 是自然对数的底数．若 x 1, ，使memx 6x5 ln x≤0，则实数 m 的取值范围为
__________．
mx
18 f x e m 1 x ln x m R．函数 ．若对任意 x 0，都有 f x 0，则实数 m 的取值范围为
_________．
第 4 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination one-round sprint朗博同构
【知识点讲解】
1.跨阶同构的几个关键环节:
（1）指对各一边，参数是关键，凑形是难点.
（2）凑形，例如：、、、、、，
（3）利用切线放缩或者函数模型的最值求解
2.常见同构式:
（1）与型：，；
（2）与型：，.
3.解题导语
当遇到复杂的指对混合式，且一般情况下限定了x的取值范围时就可以考虑使用朗博同构。另外，对于式子中除x之外的未知数一般是以偶数个出现。同时当ex前方出现系数时一般都要考虑将系数放在次方的位置上，一般是x=eInx等。同时e的次数一般都要加或减对于次数上的式子。特别提醒：做此类题不只是有关ex与Inx，还可能是2x，log2x之类的。同时也要对六大母函数牢记于心。
【例题讲解】
【例1】已知函数，当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
课前预习试做：
听课笔记：
【跟踪训练1】已知函数为自然对数的底数）.
（1）当时，判断函数的单调性和零点个数，并证明你的结论；
（2）当时，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.
课前预习试做：
听课笔记：
【跟踪训练2】设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
课前预习试做：
听课笔记：
【对点训练】
1．已知函数．若的最小值为，则实数a的最小值是________．
2．已知函数，当时，，则m的取值范围为________.
3．已知，则__________．
4．若关于x的不等式恒成立，则实数a的最大值为___________.
5．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________.
6．对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是__________.
7．若对任意，恒有，则实数a的最小值为________．
8．已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为：_______．
9．设，若存在正实数x，使得不等式成立，则k的最大值为__________．
10．已知函数，当时，，都有，则实数a的最小值为___________.
11．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________.
12．已知，若在上存在x使得不等式成立，则a的最小值为______．
13．已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为______．
14．对，使不等式成立，则实数的取值范围是___________.
15．若关于的不等式恒成立，则实数的最小值为________
16．已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是___________.
17．已知e是自然对数的底数．若，使，则实数m的取值范围为__________．
18．函数．若对任意，都有，则实数m的取值范围为_________．朗博同构
【知识点讲解】
1.跨阶同构的几个关键环节:
（1）指对各一边，参数是关键，凑形是难点.
（2）凑形，例如：、、、、、，
（3）利用切线放缩或者函数模型的最值求解
2.常见同构式:
（1）与型：，；
（2）与型：，.
【例题讲解】
【例1】已知函数，当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因为，所以，则当时，不等式恒成立等价于．设，则．当时，，单调递增；当时，，单调递减．则，即，即，当且仅当时，等号成立．设，则．由，得；由，得．则在上单调递减，在上单调递增．因为，，所以有解，则，当且仅当时，等号成立，从而，故．
【跟踪训练1】已知函数为自然对数的底数）.
（1）当时，判断函数的单调性和零点个数，并证明你的结论；
（2）当时，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）函数的零点个数为1个，证明见解析 （2）
【详解】（1）函数的定义域为.
当时，函数在上单调递减，证明如下：
任取，且，
∵，∴，
∴，即.
所以函数在上单词递减.
又
∴在区间上存在零点，且为唯一的零点.
∴函数的零点个数为1个
（2）可化为.可化为.
可化为.
令，可知在R单调递增，
所以有，即
令，可知在上单调递增.
即在上单调递增，
，，所以实数a的取值范图是.
【跟踪训练2】设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为，不等式成立，即成立，即，
进而转化为恒成立，
构造函数，可得，
当，，单调递增，
则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，
进而转化为恒成立，
设，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当，函数取得最大值，最大值为，
所以，即实数m的取值范围是.
【对点训练】
1．已知函数．若的最小值为，则实数a的最小值是________．
2．已知函数，当时，，则m的取值范围为________.
3．已知，则__________．
4．若关于x的不等式恒成立，则实数a的最大值为___________.
5．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________.
6．对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是__________.
7．若对任意，恒有，则实数a的最小值为________．
8．已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为：_______．
9．设，若存在正实数x，使得不等式成立，则k的最大值为__________．
10．已知函数，当时，，都有，则实数a的最小值为___________.
11．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________.
12．已知，若在上存在x使得不等式成立，则a的最小值为______．
13．已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为______．
14．对，使不等式成立，则实数的取值范围是___________.
15．若关于的不等式恒成立，则实数的最小值为________
16．已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是___________.
17．已知e是自然对数的底数．若，使，则实数m的取值范围为__________．
18．函数．若对任意，都有，则实数m的取值范围为_________．
【参考答案】
1．
【分析】
利用不等式，问题转化为在有解问题，然后令，利用导数求出的最小值即可得结果.
【详解】
（利用了）
等号成立的条件是，即有解．
令，则，
易得．
2．
【分析】
先对分类讨论，时，不等式不能恒成立，时．不等式恒成立，主要是时，不等式恒成立， 不等式同构化：，引入新函数令（），由导数确定单调性，不等式化简为（），分离参数转化为求函数的最值，得参数范围．
【详解】
显然，
若，时，，越接近于0时，为负且绝对值越大，因此可以小于零，大于0不能恒成立，因此由恒成立有.
此时显然在上恒成立；
当时，，
令（），，在上单调递增.
因为，（），所以，即，
再设，令，则，
令，则，
易得在上单调递增，在上单调递减，
所以，故，
所以m的取值范围为.
故答案为：
3．3
【分析】
根据已知条件进行同构，研究同构函数单调性得到再转化求解即可.
【详解】
因为，
所以，
令，则，
因为当时，，
所以在上单调递增，
所以，
所以，即，
所以．
4．
【分析】
关于x的不等式恒成立，即关于x的不等式恒成立，则，即，分三种情况讨论，分离参数，构造新的函数，利用导数求出函数的最值，从而可得出答案.
【详解】
解：关于x的不等式恒成立，
即关于x的不等式恒成立，
因为函数为增函数，
所以函数为增函数，
所以，所以，
当时，无意义，故，
当时，则，
则，
令，则，
所以函数在上递减，
当时，，
所以，与矛盾，
所以舍去，
当时，则，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
所以，
综上所述，，
所以实数a的最大值为.
故答案为：.
5．
【分析】
原式整理可得在恒成立，设，利用导数求得的单调性，结合x的范围，求恒成立，即求，设，利用导数求得的最大值，即可得答案.
【详解】
不等式，在恒成立，
即在恒成立，
设，则，
因为，令，解得，
所以当，，单调递减，
当时，，单调递增，
因为当时，恒成立，
所以恒成立，所以，
设，则，
当时，，单调递减，
所以
所以，即的取值范围为.
故答案为：
6．
【分析】
不等式恒成立等价于即，由于为增函数，由得，即恒成立，令，此题转化为求.
【详解】
不等式恒成立等价于即，
即，
由于为增函数，
所以由，得，即恒成立，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减
易得，
所以，所以的取值范围是.
故答案为：.
7．
【分析】
由题， ，即符合积型同构，令，用导数法证在单调递增，则可得，最后令，用导数法证的单调性，求得最大值，即可得出结果
【详解】
由，
令，则，
由得，由得，
所以在上递减，在上递增，所以，所以在单调递增．
则，
令，，由，得，由，得，
所以在上递增，在上递减，故，故，
故答案为：
8．
【分析】
将不等式化简后，构造函数，根据单调性转化为恒成立问题求解
【详解】
，∴，
构造函数，显然在上单调递增，
故等价于，即任意的实数恒成立，．
令，则，
故在上单调递减，在上单调递增，，得．
9．
【分析】
由题意可得，可令，则成立，通过取对数和构造函数法，求得导数，单调性和最值，即可得到的最大值．
【详解】
法一：（同构法）
令，不等式化为，
令，
由，在上单调递增，
∴有解，
由，导数为，
可得时，函数递减，时，函数递增，
则时，取得最大值，
，
∴，即．
法二：
令，化为不等式有解，
∵与互为反函数，关于对称，
要使有解，则与有公共点，即有解，，
，
由，导数为，
可得时，函数递减，时，函数递增，
则时，取得最大值，
可得即有，
∴，
∴，解得，．
10．
【分析】
根据式子结构，构造同构形式，得到，构造函数，判断出在上单调递增函数，得到恒成立，利用分离参数法得到恒成立，构造函数，利用导数求出的最小值，即可得到答案.
【详解】
，都有，所以恒成立，即恒成立，亦即，即为对恒成立.
记.
因为，所以在上单调递增函数.
所以恒成立，即恒成立.
因为，所以，所以恒成立.
记.
因为，所以当时，，所以在上单调递增函数；
当时，，所以在上单调递减函数.
所以，即，解得：.
又，所以.
故答案为：
11．
【分析】
将已知不等式变形整理，构造新函数h（t）=tet，求导分析单调性，将原不等式通过单调性转化为含a的恒成立问题，求解即可.
【详解】
易知，将原不等式变形：，
，可得，
即，其中.
设，则，原不等式等价于.
当时，原不等式显然成立；
当时，因为在上递增，
恒成立，
设，则，所以在递减，递增，
所以的最小值为，故.
故答案为：
12．
【分析】
将原式化为，构造函数，求导得函数在上单调递增，即得，两边取对数分离参数，构造函数，利用导数求解函数的最小值即可.
【详解】
解：不等式成立，即成立，
因为，所以，
令，则，
因为，所以在上单调递增，
所以，即，
因为在上存在x使得不等式成立，
所以，
令，则，
故当时，取得最小值.
所以，即a的最小值为.
故答案为：.
13．
【分析】
将所求不等式变形为，构造函数，可知函数在上为增函数，可得出，利用导数求出函数在其定义域上的最大值，即可求得实数的取值范围.
【详解】
由题意可知，由，可得，
即，
令，其中，则，所以，函数在上为增函数，
由可得，
所以，，可得，
构造函数，其中，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
14．
【分析】
将已知的不等式整理成，将不等式的左边视为的函数，因为，，所以单调递增，则依题意，即使得成立，即成立，再构造函数
，利用即可求解
【详解】
不等式对成立，
即
设，
因为，，所以单调递增
所以只需，即使得成立，
即成立，
因为
单增，
所以，即，
记，则在上单增，且，
所以即
故答案为：
15．
【分析】
将不等式两边同时除以，进而转化为，令，进而将原不等式转化为恒成立，再根据单调性转化为恒成立，进而构造函数，求导分析最大值即可.
【详解】
∵，∴不等式两边同时除以，得：
∴ ∴
∴ ①
令，可知单调递增.
①式等价于恒成立
∴恒成立.
构造，则，故当时，
当时，所以在时取得最小值.
即，∴
∴恒成立
令
∴
∴当时，，∴单调递增；当时，
∴单调递减；
∴的最大值为 ∴，故实数的最小值为.
故答案为：
16．
【分析】
将题目所给不等式进行变形，然后利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围.
【详解】
不等式可变形为.
因为且，所以.
令，则.
所以函数在上单调递增.
不等式等价于，所以.
因为，所以.
设，则.
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增.
所以，所以.
故正实数的取值范围是.
17．
【分析】
先讨论时，不等式成立；时，不等式变形为，构造函数，由单调性得到，参变分离后构造函数，
求出最大值即可求解.
【详解】
当时，，显然成立，符合题意；
当时，由，，可得，即，，
令，，在上单增，又，故，
即，即，，即使成立，令，则，
当时，单增，当时，单减，故，故；
综上：.
故答案为：.
18．
【分析】
将条件转化为，然后设，则问题转化为，进而根据函数为增函数得到，最后通过分离参数求得答案.
【详解】
由题意，，设，则问题可转化为.
因为是上的增函数（增+增），所以恒成立.
设，则，时，单调递增，时，单调递减，所以，于是.
故答案为：.

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