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高考解答题六大专题
专题一：解三角形及应用（解析版）
经典例题（一）-高考真题（2022年）
（一）、记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求B；
（2）求的最小值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【小问1详解】
因为，即，
而，所以；
【小问2详解】
由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
经典例题（二）-高考真题（2021年）
（一）、记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a.，b.，c,已知=ac,点D在边AC 上，BDsin∠ABC = asinC.
(1)证明：BD = b：
(2)若AD = 2DC .求cos∠ABC.
19.
由正弦定理
得,即=
又由BD=asinc，得BD=asinc,
即 BD=b
由AD=2DC,将=2,即==
||2 ||2+ ||2+
=c2+a2+ca
-11ac+3=0
a=c或a=c
① cos=
=
②cos(x)
综上
cos=
配套专题训练（解析版）
1．在①，②，③这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知中的内角，，的对边分别为，，，面积为，若，，_____，求和．
【答案】见解析
【详解】若选①：
，
利用正弦定理可得，
在中，，可得，
，可得，
在中，，可得，
在中，，且，可得，
正弦定理，且，可得，则，
，
．
若选②：
，
，即，则，
在中，，可得，
在中，，且，可得，
正弦定理，且，可得，则，
，
．
若选③：
，
由余弦定理得：，
在中，，可得，
在中，，且，可得，
正弦定理，且，可得，则，
，
．
2．已知的内角、、的对边分别为，，，且，．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）因为，可得，
由正弦定理可得，即，可得，
可得，可得，
因为为三角形内角，可得，可得．
（2）由，可得，
又，，由余弦定理可得，解得，，
所以．
3．已知四边形中，与交于点，．
（1）若，，求；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）在中，，，，
可得，
即有，
可得；
（2）在中，，，，
设，，，
由余弦定理可得，
解得，，，
所以的面积为．
4．设的内角，，所对的边长分别为，，且，．
（1）求和边长；
（2）当取最小值时，求的面积．
【答案】（1），；（2）
【详解】（1）由正弦定理及与得：，是的外接圆半径），
两式相除，得，
设，，
是的内角，，，
，，
，，
将代入，得，
；
（2）由（1）及余弦定理知，
，
当且仅当时，取得最小值，
，
最小时的面积为．
5．在中，角，，所对边分别为，，，，，点是中点，，求和．
【答案】，
【详解】中，，
所以，
所以，
又因为，
所以，
由，
因为，为锐角，
所以，
中，由余弦定理得，
由正弦定理，即，
所以，
因为，
所以．
6．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，_____？
【答案】见解析
【详解】在中，，所以．
因为，所以，
即，
所以，
在中，，所以．
因为，所以．
选择①：
方法
因为，所以．
又因为，所以，解得，或，
此时存在，
当时，的面积为．
当时，的面积为．
方法
因为，由正弦定理，得．
因为，所以，或，此时存在，
当时，，所以，
所以的面积为．
当时，，所以，
所以的面积为．
选择②：
因为，所以，得，
所以，此时存在，
因为，所以，，
所以的面积为．
选择③：
由，得，
这与矛盾，所以不存在．
7．在中，，点在边上，满足．
（1）若，求；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设，则，
中，由正弦定理得，，
即，
所以，
由题意得为钝角，
所以，，，
（2）设，则，，
中，，
所以，
，
解得，
所以，，
所以．
8．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．
（1）求的值；
（2）若角满足，求的值．
【答案】（1）；（2）或
【详解】（1）角的终边经过点，
（2），
，
当时，；
当时，
综上所述：或
9．在①；②；③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，____，？
【答案】见解析
【详解】选择①②，
因为，
所以，
由余弦定理，得，
因为，所有，
因为，
所以，
即，
所以，即，
因为，
所以，
中，由正弦定理得，，
即，
所以，
选择①③，
所以，
由余弦定理，得，
因为，所有，
因为，
又，
所以，
因为为三角形内角，，
所以，
所以，则，
中，，
选②③，
因为，
所以，
所以，
所以或，
因为，为三角形内角，
所以或
因为，且，
所以，
因为为三角形内角，，
所以，
所以，则，
中，，
所以．
10．在中，角，，的对边分别为，，，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由及，得，
所以，所以．
由得
得，
故的取值范围为．
（2）若，由正弦定理有，①
由（1）知，则．②
由①②得，所以，
解得或，
又，
所以．
11．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，
．
（1）求外接圆的直径；
（2）求的面积．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由，得，
由正弦定理得
，
即，
又，
所以，
又，
所以，
所以外接圆的直径；
（2）由正弦定理得，，
因为，所以，
由余弦定理得，即，
结合，可得，
所以，
所以的面积．
12．已知平面四边形中，，，，，．
（1）求的长；
（2）求的面积．
【答案】（1）2；（2）
【详解】（1）因为在中，，，，则，
由正弦定理，可得．
（2）因为，所以，
在中，由余弦定理，
可得，即，解得，
可得．
13．在中，角，，的对边分别为，，，且，现有三个条件：
①，，为连续自然数；②；③．
（1）从上述三个条件中选出两个，使得不存在，并说明理由（写出一组作答即可）；
（2）从上述三个条件中选出两个，使得存在，并求的值．
【答案】见解析
【详解】（1）选①②时，不存在，理由如下：
因为，，为连续自数且，
所以，，
因为，则，此时，，不满足，故不存在；
选②③，不存在，理由如下：
因为，，，
由正弦定理得，
所以显然不符合题意，不存在；
（2）选①③，，，为连续自然，，，
所以，，
由余弦定理得，
同理，因为，
所以，
故，
解得．
14．如图，在平面四边形中，已知，．
（1）当、、、共圆时，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）中，由余弦定理得，，
中，由余弦定理得，
因为、、、共圆，
所以，即，
所以，，
解得，
故；
（2）中，由余弦定理得，，
所以，
，
所以，，，
所以
．
15．在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．
在中，内角，，的对边分别为，，，且满足____．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
【答案】见解析
【详解】（1）选①，
正弦定理得，
因为 为三角形内角，，
所以，即，
因为，
所以；
②，
，
所以，即，
故，
因为，
所以；
③，
由正弦定理得，
因为为三角形内角，，
所以，
所以，
所以；
（2），，
由余弦定理得，
所以，
所以的面积．高考解答题六大专题
专题一：解三角形及应用
经典例题（一）-高考真题（2022年）
（一）、 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求B；
（2）求的最小值．
经典例题（二）-高考真题（2021年）
（二）、记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a.，b.，c,已知=ac,点D在边AC 上，BDsin∠ABC = asinC.
(1)证明：BD = b：
(2)若AD = 2DC .求cos∠ABC.
配套专题训练
1．在①，②，③这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知中的内角，，的对边分别为，，，面积为，若，，_____，求和．
2．已知的内角、、的对边分别为，，，且，．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积．
3．已知四边形中，与交于点，．
（1）若，，求；
（2）若，，求的面积．
4．设的内角，，所对的边长分别为，，且，．
（1）求和边长；
（2）当取最小值时，求的面积．
5．在中，角，，所对边分别为，，，，，点是中点，，求和．
6．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，_____？
7．在中，，点在边上，满足．
（1）若，求；
（2）若，，求的面积．
8．已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求的最小值及取得最小值时的值．
9．在①；②；③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，____，？
10．在中，角，，的对边分别为，，，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
11．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，
．
（1）求外接圆的直径；
（2）求的面积．
12．已知平面四边形中，，，，，．
（1）求的长；
（2）求的面积．
13．在中，角，，的对边分别为，，，且，现有三个条件：
①，，为连续自然数；②；③．
（1）从上述三个条件中选出两个，使得不存在，并说明理由（写出一组作答即可）；
（2）从上述三个条件中选出两个，使得存在，并求的值．
14．如图，在平面四边形中，已知，．
（1）当、、、共圆时，求的值；
（2）若，求的值．
15．在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．
在中，内角，，的对边分别为，，，且满足____．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．

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