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专题05利用导函数研究恒成立问题
(典型例题+题型归类练)
一、必备秘籍
分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个
一端是参数，另一端是变量表达式的不等式：
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量x的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若a>f(x))对x∈D恒成立，则只需a>f(x)mx:若a则只需a③求最值，
二、典型例题
例题1.(2022内蒙古赤峰三模（文）)已知函数f(x)=x(x+1).
(1)求f(x)的最小值：
(2)若f(x)≥-x2+(m+1)x-2恒成立，求实数m的取值范围。
第(2)问解题思路
f(x)≥-x2+(m+1)x-2在x∈(0，+o)恒成立，将f(x)=x(lnr+1)代入：r≤xdnr+x2+2
变量分离法：因为xe(0,+o),m≤1nx+x+,构造函数()=1nr+x+,问题等价于
m≤h(x)min
研究A()=r+x+名，求最小值：M付=+1-二-+2-，令（闲）=0，得x=1或
x
x=2（舍去).
当x∈(0,1)时，h(x)<0,h(x)在(0,1)上单调递减：当x∈[1，+∞)时，(x)0,h(x)在l,+oo)
上单调递增，
从而得到(x)n=h()=3,所以m,3,即实数m的取值范围为(o,3.
例题2.(2022重庆三模)已知f(x)=a2x+lnx+l,g(x)=x(e*+a(e为自然对数的底数，
e≈2.72，a∈R).
(1)对任意a∈R,证明：y=f(x)的图象在点(L,fI)处的切线始终过定点；
(2)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围.
第（2)问解题思路
fx)≤g(x)在x∈(0+o)恒成立，将f(x)=a'x+lnx+l,g(x)=x(e+a代入
变量分离法：a-a≤心-n-对x>0恒成立构造=心-nx-.(x>0),问题等价
于d2-a≤h(x)a
研究h(ye-n-.(x>0),求最小值：将()=e-nr-1(x>0)变形：
x
h(x)=xe-Inx-1-n-x-11cm-(nx+)-1
+1
不妨设t=lnx+x,(x>0)
因为=+1>0，所以t=lnx+x在(0，+o)上单增，
当x=1时，1=1>0：当x=时，t=1-1<0,
故1=lnx+x在(0，+o∞)存在唯一零点x,
y=er**-(Inx+x)-1=e'-1-1.
因为y=e'-1.令y'>0,解得：t>0;令y<0,解得：t<0:
所以y=e'-t-1在(-oo,0)上单减，在(0，+oo)上单增，所以ymn=e°-0-1=0.
所以y=en+r-(lnx+x)-1≥0.
而x>0,所以-血x+上之0，所以-x+)+12.
当且仅当nx+x=0即x=时等号成立，即h(x)m=1,
从而得到(=l,所以G-a≤1，解得：-5≤a≤1+
2
,即实数a的取值范围为
2
1-51+5
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