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专题01利用导函数研究函数的切线问题
(典型例题+题型归类练)
目录
角度1：在型求切线方程
角度2：过型求切线方程
角度3：已知切线条数求参数
角度4：公切线问题
一、必备秘籍
1、切线的斜率：函数y=∫(x)在点x=x,处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点
P(x,y)处的切线的斜率k,即k=f'(x).
2、曲线的切线问题（基础题）
(1)在型求切线方程
已知：函数f(x)的解析式计算：函数f(x)在x=x或者(x。,f(x,)》处的切线方程，
步骤：第一步：计算切点的纵坐标f(x,)（方法：把x=x。代入原函数f(x)中)，切点
(x,f(x).
第二步：计算切线斜率k=f'(x)
第三步：计算切线方程切线过切点(x,f(x),切线斜率k=∫(x)。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-f(x。)='(x(x-x)
(2)过型求切线方程
已知：函数f(x)的解析式.计算：过点P(x,y)(无论该点是否在y=f(x)上)的切线方
程
步骤：第一步：设切点B(x,%)
第二步：计算切线斜率k=∫()：计算切线斜率k=》一业
x1-x0
第三步：令：k=fx)=上-立，解出x,代入k=f()求斜率
X-Xo
第四步：计算切线方程根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-%=∫'(x)(x-x).
3、已知f(x),过点(a,b),可作曲线的n（n=1,2,3)条切线问题
第一步：设切点B(x,)
第二步：计算切线斜率k=f(x):
第三步：计算切线方程根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-=∫(x)(x一x,)
第四步：将(a,b)代入切线方程，得：b-=f'(x)(a-x,),整理成关于x得分方程：
第五步：题意已知能作几条切线，关于x,的方程就有几个实数解：
4、已知f(x)和g(x)存在n(n=1,2,3)条公切线问题
第一步
设f()的切点A(x,f(x)
设g(x)的切点B(x2,8(x)
求公切线的斜率
k=f(x)
k=g'(x2)
写出并整理切线
y-f(x)=f(x)(x-x)
y-g(x3)=g'(x2)(x-x3)
整理得：
整理得：
y=f(x).x-f'(x)x+f(x)
y=g'(x2)x-g'(x2)x2+g(x2)
联立已知条件
f'(x)=g'(x)
-f'(x)x+f(x)=-g'(x2)x3+g(x2)
消去x得到关于x2的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点
个数：
消去x,得到关于x,的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个
数：
二、典型例题
角度1：在型求切线方程
例题1.(2022福建莆田一中高二期末)曲线f(x)=lnx-x2在x=1处的切线方程为
解題思路
点评
第1步：根据题意求曲线f(x)=lnx-x在
求切线问题，“在”字标志着该点即为切点，
x=1处的切线方程，即切点为(1，-1)
有了切点，只需求斜率
第2步：求斜率：k=∫'(x)；即由
利用导函数求斜率，公式中k=∫"(x),此
f(x)=1-2x,有f”0)=-1,所以k=-1
时的x。只能代入切点的横坐标；
第3步：求切线方程：y+1=-（x-1),整理
利用点斜式求方程：y-y=k(x-x)
得x+y=0,

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