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专题07利用导函数研究函数零点问题
(典型例题+题型归类练)
一、必备秘籍
1、函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)三个等价关系
方程f(x)=0有实数根台函数y=f(x)的图象与x轴有交点的横坐标台函数y=f(x)有零点.
2、函数零点的判定
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(@)f(b)<0,那么函数
y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是f(x)=0的根.我们把
这一结论称为函数零点存在性定理，
注意：单调性+存在零点=唯一零点
3、利用导数确定函数零点的常用方法
(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草
图时注意有时候需使用极限)·
(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极
值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.
4、利用函数的零点求参数范围的方法
(1)分离参数(a=8(x)后，将原问题转化为y=8(x)的值域（最值）问题或转化为直线y=a与y=g(x)的
图象的交点个数问题（优选分离、次选分类）求解：
(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解：
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.
二、典型例题
例愿1.(202四川遂宁高二期末（理）)已知函数f)=t+心2-c+ab∈R)在x=-号和=2处取
得极值。
(1)求a,b的值：
2考函数)=f)的图象与抛物线y-8x+m恰有三个不同交点，求m的取值范围.
第(2)问解题思路
3
函数y=f(x)的图象与抛物线y=二x2-8x+m恰有三个不同交点，等价于：
2
g(x)=f(x)-
2-8x+m=-+4x-m+1,则原题意等价于g)图象与x轴有三个交点
利用导数研究g(x)=x-
7
x2+4x-m+1的图象：
:8国=3-7+4--》，
六由g四>0，解得x>4或x<1,由g<0,解得13
8闭在-1时取得极大值80-多m,8在x号时取得极小值8学-引m,
4、67
要满足g(x)图象与x轴有三个交点，则极大值>0，且极小值<0，即：
5
2
-m>0
解得号-m<0
27
例题2.(202安徽毫州二中高二期末)已知函数f)-世-瓜，
(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围，
第(2)问解题思路
f(x)有两个零点，即：
-ar=0在(0，+o)上有两个不等的实数根，可考虑变量分离
Inx
即a=
在(0，+0)上有两个不等的实数根，等价转化为：
Inr.
y=a,)=是两个函数有两个交点：
利用导数研究()=”的图象：

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