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专题08利用二阶导函数解决导数问题
(典型例题+题型归类练)
一、必备秘籍
1、函数极值的第二判定定理：
若f(x)在x=x,附近有连续的导函数f"(x),且f'(x)=0,f"(x,)≠0
(1)若f"(x)<0,则f(x)在点x处取极大值：
(2)若f"(x)>0,则f(x)在点x处取极小值
2、二次求导使用背景
(1)求函数的导数∫'(x),无法判断导函数正负：
(2)对函数f(x)一次求导得到f'(x)之后，解不等式f'(x)>0和f"'(x)<0难度较大甚至根本解不出.
(3)一阶导函数中往往含有e或lnx
3、解题步骤：
设g(x)=f'(x),再求g'(x),求出g'(x)>0和g'(x)<0的解，即得到-函数g(x)的单调性，得到函数g(x)
的最值，即可得到∫'(x)的正负情况，即可得到函数(x)的单调性，
二、典型例题
例题1.（2022辽宁渤海大学附属高级中学模拟预测)已知函数f(x)=xnx-ax的最小值为-1.
(1)求a的值：
2已知/()e3≈1.6487）
第(2)问解题思路
第1步已知f(ke-x受，(meZ,在行+）》
上恒成立
通用方法，变量分离法
第2步：变量分离：m成立
第3步：构造函数：h()=e-xnx宁2m<0
构造函数，等价转化：
，确定解题目标
2h()
第4步：借助导数研究h(x)=e-xnx,
由于导函数H(x)=e-nx-l正负不容易确定，一般
h(x)=e-lnx-1(H(x)正负不容易确定，含有e',
我们会利用二阶导研究h(x)=e-nx-1的正负：
lnx故需要二阶导)
第5步：令：r(x)=i(x)=e-lnx-1,研究r(x)的
①r(x)=e-,()在
上单调递增，利用
正负：r(x)=e-
单调性性质刀-y刀直接判断：
因为r)在行+上单调递增，
=e2-2<0,
②由
=e2-2<0,r(1=e-1>0,
r(1)=e-1>0,
由零点存在定理可以确定存在x,∈
,使得
且r)的图象在行上不间断，所以存在
r(:)=0,（此处是隐零点法，设而不求)得到：
1
使得(x）=0,
即eb-
=0,则x=-lnx,（此处后面需代入替
即e-=0,则6=-n6
换)
③说明(x)的草图可以理解为：
1
所以当x2七时，)单调递减：当x∈(6，+切)
时，(x)单调递增.
则r(x)的最小值为r(x)=e-ln-1=+
11
这样就说明：当x∈
1
时，(x)单调递减当
由对勾函数性质得。七+号2引，
x∈(，+o)时，r(x)单调递增.
所以r(6)=e-1n6-1=6+-1>1>0,
Xo
说明：(x)的最小值为

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