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专题09利用导函数研究函数的隐零点问题
(典型例题+题型归类练)
一、必备秘籍
1、不含参函数的隐零点问题
己知不含参函数f(x),导函数方程'(x)=0的根存在，却无法求出，设方程∫'(x)=0
的根为xo,则有：
①关系式∫'(x,)=0成立：②注意确定x,的合适范围.
2、含参函数的隐零点问题
已知含参函数f(x,a),其中a为参数，导函数方程'(x,a=0的根存在，却无法求
出，设方程∫(x)=0的根为x。,则有
①有关系式'(x,)=0成立，该关系式给出了x,a的关系：②注意确定x的合适范围，
往往和a的范围有关，
3、函数零点的存在性
(1)函数零点存在性定理：设函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)f(b)<0,那么
在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点x∈(a,b),使得
f(x)=0
①若f(a)f(b)<0,则f(x)的零点不一定只有-个，可以有多个
②若f(a)f(b)>0,那么f(x)在[a,b]不一定有零点
③若f(x)在[a,b]有零点，则f(a)f(b)不一定必须异号
(3)若f(x)在[a,b]上是单调函数且连续，则f(a)f(b)<0→f(x)在(a,b)的零点唯一.
二、典型例题
例题1.(2022全国-高三专题练习)己知函数f(x)=e-x+2x2.
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)若存在实数x,使得f(x)≤x2+2x-3+2m成立，求整数m的最小值.
第(2)问解题思路
第1步：变量分离，等价转化：存在实数x,使得f(x)≤x2+2x-3+2m成立，优先考察变
量分离法，将f(x)=e-x+2x代入：e-x+2x2≤x2+2x-3+2m等价转化为：
e+x2-3x+3≤2m
第2步：构造函数：g(x)=e+x2-3x+3,则目标转化为：
28(x)≤m
第3步：借助导数研究8()=+-3x+3:8()=e+2x-3（g'(x)不容易确定正负，
且含有er,通常进行二阶导)：
第4步：求二阶导：g"(x)=e+2,显然g"(x)=e+2>0,从而说明g(x)=e+2x-3在R
上单调递增
第5步：借助零点存在定理，找出g'(x)=e+2x-3=0的根：g'(I)=e-1>0,
份}-6-2<0，所以：
存在x，
使得g(x)=0,即e+2x-3=0,也即e=3-2x
第6步：得到g(x)=e+x2-3x+3的单调性：当xe(-o,x)时，g'(x)<0,g(x)单调递
减。
当x∈(x,+o)时，g(x)>0,g(x)单调递增.
第7步：求g(x):g(x)≥g()=+x2-3+3=3-2x+x2-3x+3
=2-5x+6
当6e分时，2所58(x)安)
第8步：得到结论：由题意m≥8(G),所以整数m的最小值为1.

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